上海民办明珠中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(答案解析)

一、选择题
1．已知F 是双曲线2
2
:13
y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ．
25
B ．
45
C ．
15
D ．
23
2．双曲线22
2:19x y C b
-=的左、右焦点分别为1F 、2,F P 在双曲线C 上，且12PF F ∆是等
腰三角形，其周长为22，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
89
B ．
83
C ．
149
D ．
143
3．已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，
若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4
3
y x =±
B ．34
y
x C ．35
y x =±
D ．53
y x =±
4．若点)
0到双曲线C :22
221x y a b
-=(0a >,0b >)的离心率为（ ）
A B ．
2
C 2
D 5．已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，
使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A ．)+∞
B ．
C ．)+∞
D ．
6．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，若
1F PQ 为等边三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A ．
2
B ．
3
C ．
2
D ．
3
7．已知双曲线221(0,0)x y m n m n
-=>>和椭圆22
174x y +=有相同的焦点，则11m n +的
最小值为（ ）
A ．
12
B ．
32
C ．
43
D ．9
8．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，P 是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =.若直线1PF
与圆222
x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．
4
3
B ．
53
C ．2
D ．3
9．已知1F ，2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点
2F 到直线1AF ，则离心率e 的取值范围是（ ）
A ．⎛ ⎝⎭
B ．⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
C ．⎛ ⎝⎭
D ．⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
10．已知椭圆2
2:12
x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中
垂线交x 轴于M 点，则
2
||
||FM AB 的取值范围为（ ） A ．11,164⎛⎫
⎪⎝
⎭ B ．11,
84⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．11,162⎛⎫
⎪⎝
⎭ D ．11,
82⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
11．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，
B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（ ）
A B C ．
12
D 12．双曲线2
214
x y -=的离心率为（ ）
A B C D 二、填空题
13．点()8,1P 平分双曲线2244x y -=的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为_________________.
14．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且焦点
________ 15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为45︒的直线与该抛物线交于P ，Q 两点，P ，Q 在x 轴上的射影分别为R ，S.若梯形PRQS 的面积为12，则p 的值为____________.
16．双曲线()22
2:103
x y C a a -=>的一条渐近线的倾斜角为60，1F 、2F 为左、右焦
点，若直线2x =与双曲线C 交于点P ，则12PF F △的周长为____________.
17．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>与直线11:2l y x =，21:2l y x =-，过椭圆上一点P
作12,l l 的平行线，分别交12,l l 于,M N 两点，若||MN 为定值，则
a
b
=__________. 18．已知直线1y x =-+与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于,A B 两点，且线段AB 的中
点M 在直线20x y -=上，则椭圆的离心率为_______.
19．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果AF BF =，那么AKF ∆的面积是______.
20．已知1F ，2F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，第一象限的点P 在
渐近线上，满足12F PF 2
π
∠=
，直线1PF 交双曲线左支于点Q ，若点Q 是线段1PF 的中
点，则该双曲线的离心率为_____.
三、解答题
21．已知圆2
2
19:24E x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭，经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点
12,F F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线，直线l 交椭圆C 于两
点M ，N ，且(0)MN OA λλ=≠. （1）求椭圆C 的方程；
（2）当AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程.
22．如图，设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点.
（1）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为
1P ，2P ，3P ，4P ，求1234PP P P +的值；
（2）若直线m 与抛物线相交于M ，N 两点，且与圆相切，切点D 在劣弧AB 上，求
MF NF +的取值范围.
23．已知坐标平面内第一象限的点P 到两个定点()1,0M -，()1,0N 距离的比
PM PN
=
（1）若点P P 的横坐标；
（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PM 的点法向式方程和直线PN 的点方向式方程．
24．椭圆2
212
x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，经过1F 作倾斜角为60的直线l 与椭圆相交
于A B ，两点． 求（1）线段AB 的长； （2）2ABF 的面积．
25．已知圆22:1O x y +=切线l 与椭圆22:34C x y +=相交于A 、B 两点. （1）求椭圆C 的离心率； （2）求证：OA OB ⊥.
26．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线过点(2,1)P ； （1）求抛物线的标准方程；
（2）过点P 作直线l 与抛物线有且只有一个公共点，求直线l 的方程.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF
=+.
【详解】
由题意，双曲线2
2
:13
y C x -=中，2221,3,4a b c ===，
设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()
2
22324MF =+=，
根据双曲线的性质可知，
2QF QE a -=，则MQF 的周长为
26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，
当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，
此时直线ME 的方程为)32y x =+，
联立)221332y x x y ⎧==+-
⎪⎨⎪⎩
，消去y 得450x +=，解得54x =-，则33y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭
， 过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，
则2
2
22
533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
614544=+=， 所以椭圆的离心率4
5
EF
e QE QF ==+.
故选：B. 【点睛】
本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
2．C
解析：C 【分析】
由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得b ，进一步求得c ，则双曲线的离心率可求． 【详解】
如图，由22
219x y b
-=，得229c b =+，29c b =+．
设1||PF m =，2||PF n =， 由题意，6m n -=， 若2229n c b ==+
26629m n b =+=++
则2266922m n c b ++=++，解得b ∈∅； 若2229m c b ==+
26296n m b =-=+．
则2269622m n c b ++=+=，解得2115
9
b =
． ∴222115196
999c a b =+=+
=，143
c =． 14
14339
c e a ∴===．
【点睛】
本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．
3．A
解析：A 【分析】
结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程. 【详解】
设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥， 取线段2PF 的中点N ，连接1NF ， 由于1122PF F F c ==， 则122,NF PF NP NF ⊥=，
由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==， 则22442NP c a b =
-=，
即有24PF b =，
由双曲线的定义可得212PF PF a -=， 即422b c a -=， 即2,2b c a c b a =+=-，
所以()2
22
2b a a b -=+，
化简得2
434,34,
3
b b ab b a a ===， 所以双曲线的渐近线方程为43
y x =±. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.
4．A
解析：A 【分析】
先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=，根据点)
30，到双曲线C 的渐近线
2223c a =，即可求得双曲线的离心率. 【详解】
由题意，双曲线C :22
221x y a b
-=的其中一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，
因为点)
0到双曲线C
=
=2232b c =，即222332c a c -=，即223c a =，
所以=
=c
e a
故选：A. 【点睛】
本题考查了双曲线的标准方程及几何性质，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．
5．A
解析：A 【分析】
由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】
设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=， 点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a
，2a =，可得()a n m c b =+，
则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，
可得()
44244224
20b a x a cx a c a b ----=，
A 在右支上，4224
44
0a c a b b a
--∴<-，即440b a ->，即220b a ->， 即2220c a ->
，则可得e >
故选：A. 【点睛】
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
6．D
解析：D 【分析】
利用1F PQ 为等边三角形可得2
1222b PF PF a
==，利用椭圆定义得,,a b c 的方程，消
去b 后可得()
222
32a c a -=，从而可得离心率.
【详解】
不妨设椭圆的标准方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
半焦距为c ，左右焦点为12,F F ，设P 在第一象限，则()2,0F c .
令x c =，则22221c y a b +=，解得2P b y a =，故2
2b
PF a
=，
1F PQ 为等边三角形，则1PF PQ =，即2
1222b PF PF a
==，
由椭圆定义得122PF PF a +=，故232b a a
⨯
=，即()222
32a c a -=，
故2
13e =
，解得e =
故选：D. 【点睛】
圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．
7．C
解析：C 【分析】
本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出3m n +=，然后将
11
m n
+转化为123m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】
因为双曲线221x y m n
-=和椭圆22174x y +=有相同的焦点，
所以743m n ，
则
()111111233m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛
⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 14
2233
m n n m
，当且仅当m n =时取等号， 故
11m n
+的最小值为43，
故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用，双曲线有222+=a b c ，椭圆有222a b c =+，考查利用基本不等式求最值，是中档题.
8．B
解析：B 【分析】
设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，根据三角形中位线性质可求得
2AF ；结合双曲线定义可求得1AF ，在12Rt AF F △中利用勾股定理可构造关于,a c 的齐
次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果. 【详解】
设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，连接2,OB AF ，
212PF FF =，A 为1PF
中点，21AF PF ∴⊥， 圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，1OB PF ∴⊥且OB a =，
2//OB AF ∴，又O 为12F F 中点，222AF OB a ∴==；
由双曲线定义知：122PF PF a -=，即112122PF
F F PF c a -=-=， 111
2
AF PF a c ∴=
=+，又122F F c =，21AF PF ⊥， 2
2
2
2112AF AF F F ∴+=，即()2
2244a a c c ++=，
整理可得：223250c ac a --=，即23250e e --=，解得：5
3
e =
或1e =-（舍去）， ∴双曲线的离心率为5
3
.
故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题，解题关键是能够在直角三角形中，利用勾股定理构造出关于,a c 的齐次方程，进而配凑出关于离心率的方程.
9．D
D
【分析】
设直线1AF 的方程，利用点2F 到直线的距离建立等式，解出斜率k ，因为0b
k a
<<，从而求出,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围. 【详解】
设1AF ：()y k x c =+，因为点A 在右支上，则0b k a
<<
，
，所以222
222343a b k c a a =<-，即22
47c a >
，解得：2e > 故选：D . 【点睛】
本题考查双曲线求离心率，属于中档题.
方法点睛：（1）利用点到直线的距离建立等量关系； （2）解出斜率k 与,a b 的关系；
（3）由点在右支和左焦点的位置关系，求出斜率k 的范围； （4）利用斜率k 的范围，建立,a c 的不等式，求出离心率的范围.
10．B
解析：B 【分析】 当l ：0y =时，
2
||1
||8
FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()2
22210m
y my +--=， 然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得
21,02M m ⎛⎫
- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2
||||FM AB 求解. 【详解】
椭圆2
2:12
x C y +=的左焦点为()1,0F -,
当l ：0y =
时，(
))
(),,0,0A B M
，1,FM AB ==
所以
2||1
||8
FM AB =， 设():10l x my m =-≠与椭圆联立22
112
x my x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，可得： ()2
22210m
y my +--=，
由韦达定理得：12212222
12m y y m y y m ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=
⎪+⎩，
取AB 中点为22
2,22m D m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
， 所以AB 的中垂线方程为：
2212:22
DM m l x y m m m ⎛⎫=-
-- ⎪++⎝⎭， 令0y = ，得2
1,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
， 所以221
||2
m MF m +=+，
又
()
()
2
22
2281||2m AB m +=
=+， 所以2222||121111=1(,)||818184
FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
， 故选：B. 【点睛】
思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长为
AB =
=
=k 为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．
11．A
解析：A 【分析】
由0OA OB ⋅=可得OAB 是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率．
【详解】
椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两
点，
由2
b x
c y a
=⇒=±，
若0OA OB ⋅=，则OAB 是等腰直角三角形(O 为坐标原点），
可得2
b c a =，即22a c ac -=，可得210e e +-=且(0,1)e ∈，
解得e =
． 故选：A ． 【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查．
12．C
解析：C 【解析】
双曲线2214x y -=中，22222
4,1,5,2
a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.
二、填空题
13．【分析】设弦的两端点分别为A （x1y1）B （x2y2）由AB 的中点是P （81）知x1+x2＝16y1+y2＝2利用点差法能求出这条弦所在的直线方程【详解】设弦的两个端点分别为则两式相减得因为线段的中 解析：2150x y --=
【分析】
设弦的两端点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由AB 的中点是P （8，1），知x 1+x 2＝16，y 1+y 2＝2，利用点差法能求出这条弦所在的直线方程． 【详解】
设弦的两个端点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，则221144x y -=，222
2
44x y -=， 两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +--+-=，
因为线段AB 的中点为()8,1P ，所以1216x x +=，122y y +=，所以
()
1212121224y y x x
x x y y -+==-+，
所以直线AB 的方程为()128y x -=-代入2244x y -=满足0∆>，即直线方程为
2150x y --=.
故答案为：2150x y --=. 【点睛】
本题考查弦的中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．
14．【分析】由题意画出图形再由抛物线方程求出焦点坐标得到双曲线的焦点坐标由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式求解离心率即可【详解】如图由抛物线方程得抛物线的焦点坐标即双曲线的右焦点坐标为双曲线的渐近线方程 解析：2
【分析】
由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式，求解离心率即可． 【详解】 如图，
由抛物线方程24y x =，得抛物线的焦点坐标(1,0)F ，
即双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点坐标为(1,0)F ，
双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±． 不妨取b
y x a
=，化为一般式：0bx ay -=． 22
3
a b =
+，即222433b a b =+， 又221a b =-，联立解得：2
14
a =
，12a ∴=．
则双曲线的离心率为：1
2
12
c e a =
== 故答案为：2． 【点睛】
本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率与渐近线，还考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
15．【分析】求出过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程然后与抛抛物线联立利用根与系数的关系与三角形的面积转化求解即可【详解】解：由题意可知直线方程为代入抛物线方程可得设可得所以因为过抛物线的焦点作倾斜角为的
【分析】
求出过抛物线的焦点且倾斜角为45︒的直线方程，然后与抛抛物线联立，利用根与系数的关系与三角形的面积转化求解即可 【详解】
解：由题意可知直线方程为2p y x =-，代入抛物线方程，可得22
304
p x px -+=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，可得2
12123,4
p x x p x x +==，
所以12x x -=
==，
因为过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为45︒的直线与该抛物线交于P ，Q 两点，P ，Q 在x 轴上的射影分别为R ，S ，且梯形PRQS 的面积为12，
所以
()
2
121
122
x x -=，可得21
8122
p ⨯=，解得p
【点睛】
此题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题
16．【分析】根据题意求得的值假设点为第一象限内的点求出点的坐标求得以及进而可求得的周长【详解】由于双曲线的一条渐近线的倾斜角为则可得所以双曲线的焦距为设点为第一象限内的点联立解得易知因此的周长为故答案为 解析：12
【分析】
根据题意求得a 的值，假设点P 为第一象限内的点，求出点P 的坐标，求得1PF 、2PF 以及12F F ，进而可求得12PF F △的周长. 【详解】
由于双曲线()222:103
x y C a a -=>的一条渐近线的倾斜角为60，则
tan 603==
可得1a =，所以，双曲线C
的焦距为124F F ==，
设点P 为第一象限内的点，联立22213x y x =⎧⎪
⎨-=⎪
⎩
，
0y >，解得2
3x y =⎧⎨=⎩
，
易知()12,0F -、()22,0F ，
15PF ∴=
=
，23PF =
=，
因此，12PF F △的周长为121253412PF PF F F ++=++=. 故答案为：12. 【点睛】
本题考查双曲线焦点三角形周长的计算，同时也考查了利用双曲线渐近线的倾斜角求参数，考查计算能力，属于中等题.
17．4【解析】当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以所以为定值则所以点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系此类问题的解答中主要特例法的应用
解析：4 【解析】
当点(0,)P b 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11
,22
y x b y x b =
+=-+， 联立1212y x b y x
⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，可得(,)2b M b ，同理可得(,)2b N b -，所以2MN b =,
当点(,0)P a 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11,2222
a a
y x y x =
-=-+， 联立12212a y x y x
⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，可得(,)24a a M ，同理可得(,)24a a N -，所以2a MN =,
所以MN 为定值，则22a
b =
，所以4a b
=. 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，此类问题的解答中主要特例法的应用，是解答选择题的一种方法，本题的解答中取点P 分别为长轴和短轴的端点，联立方程组，求得
MN ，得出,a b 的关系式是解答关键，平时应注意特殊值等方法在选择题解答中的应用. 18．【分析】设联立直线与椭圆的方程利用韦达定理求得线段的中点M 的坐标根据点M 在直线上求解【详解】设由得由韦达定理得所以线段的中点M 又M 在直线上所以即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置
解析：
2
【分析】
设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得线段AB 的中点M 的坐标，根据点M 在直线20x y -=上求解. 【详解】
设()()1122,,,A x y B x y ，
由222211
y x x y a
b =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222222220a b x a x a a b +-+-=， 由韦达定理得2
2
221
2
2
1
22
22
22,,10a b x x y y a b a b a b ∆
，
所以线段AB 的中点M
222
2
2
2
,a b a b
a b ，
又M 在直线20x y -=上， 所以
22
2
222
20a b a b a b ，
即2222222a
b a
c ==-， 所以222
a c =， 解得e =
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，离心率的求法以及弦中点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．【分析】计算得到故为正三角形计算面积得到答案【详解】抛物线的焦点准线为l ：由抛物线的定义可得由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得即有为正三角形由F 到l 的距离为则的面积是故答案为：【点睛】本题 解析：【分析】
计算得到AF AK =，FK AF =，故AKF ∆为正三角形，4AK =，计算面积得到答案. 【详解】
抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为l ：1x =-，由抛物线的定义可得AF AK =， 由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得FK AF =， 即有AKF ∆为正三角形，由F 到l 的距离为2d =，则4AK =，
AKF ∆的面积是
3
1643⨯=. 故答案为：43.
【点睛】
本题考查了抛物线中的面积问题，确定AKF ∆为正三角形是解题的关键.
20．【分析】由题意结合渐近线的性质可得则把点坐标代入双曲线方程可得化简即可得解【详解】点在第一象限且在双曲线渐近线上又直线的斜率为又点是线段的中点又在双曲线上化简得因为故解得故答案为：【点睛】本题考查了 51
【分析】
由题意结合渐近线的性质可得(,)P a b ，则,22a c b Q -⎛⎫
⎪⎝
⎭，把Q 点坐标代入双曲线方程可得22
2
222()44
a c
b b a a b -⋅-⋅=，化简即可得解. 【详解】
12F PF 2
π
∠=
，点P 在第一象限且在双曲线渐近线上，∴121
||2
OP F F c =
=， 又直线OP 的斜率为
b
a
，∴(,)P a b ， 又 1(,0)F c -，点Q 是线段1PF 的中点，∴,22a c b Q -⎛⎫
⎪⎝⎭
， 又 ,22a c b Q -⎛⎫ ⎪⎝
⎭在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>上，
∴22
2
222()44
a c
b b a a b -⋅-⋅=，化简得222222()5420b a
c a b a ac c ⋅-=⇒--+=， ∴2240e e --=，因为1e >
，故解得1e =
1. 【点睛】
本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.
三、解答题
21．（1）22
142
x y +=；（2
）20x +=
或20x -=.
【分析】
（1）由题可先求出焦点坐标得出c ，由点1F ，E ，A 共线，可得21AF =，1||3AF =，则可求出a ，即可得出椭圆方程；
（2）设出直线方程，联立直线与椭圆，利用韦达定理求出弦长，得出面积，即可求出最值，得出此时的直线方程. 【详解】
(1)由2
2
1
9
()2
4
x y +-=
，令0y =
得x =
1(F ∴
，2F ∴
由点1F ，E ，A 共线，知E 为1AF 中点，则221AF OE ==，
1||3AF =，242a a ∴=⇒=，∴2222b a c =-=，
所求椭圆方程为：22
142
x y +=；
(2)
可知)
A
,
由(MN OA λλ=
=，可得直线l 的斜率为2
，
设直线l 的方程为2
y x m =
+，11(,)M x y ，22(,)N x
y ， 由22
14
2y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪
+=⎪⎩，得2220x m +-
=， 由()
22
Δ)420m =-->，得22m
-<<，
12x x +=，2122x x m =
-，
12||MN x ∴=-==，
又点A 到直线l
的距离为||d m =
，
∴1||||2AMN
S
MN d m =
=
)
22
42
m m -+=≤
=，
当且仅当224m m -
=，即m =时，等号成立，
综上，直线l
的方程为2
y x =
+
2y x =. 【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.
22．（1
）1234PP P P +=
2）2,22⎡⎤⎣⎦
. 【分析】
（1）由题意可得直线l 的方程为1y x =+,设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，
()444,P x y
，则可得()()12342413PP P P x x x x +=+-+⎤⎦，然后分别联立直线与圆的
方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组，消元后利用根与系数的关系，可得结果； （2）将圆的方程和抛物线方程联立方程组可求出A ，B 两点的坐标，设()00,D x y ，则切线00:12m x x y y +=，直线方程式与抛物线方程式联立方程组，消元后，再由根与系数的
关系可得22
000022
20000
424484244824
4M N x y y y y y y y y y +-++===
+-，而02y ≤≤而可求出M N y y +的范围，进而可得MF NF +的取值范围. 【详解】
解：由题意，()0,1F ，直线l 的方程为1y x =+
设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，()444,P x y
，则)1221PP x x =
-
，
)3443P P x x =-，
∴)()()123424132413PP P P x x x x x x x x +=
+--=+-+⎤⎦
故分别联立直线与圆的方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组：
22
112y x x y =+⎧⎨+=⎩；21
4y x x y
=+⎧⎨=⎩，分别消去y ，整理得：222110x x +-=；2440x x --= ∴131x x +=-，244x x +=，
∴1234PP P P +=（2）由222124x y x y
⎧+=⎨=⎩
解得：()
2A -
，()
2B ，设()00,D x y ，则
220012x y +=；
切线00:12m x x y y +=
，其中02y ≤≤；设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则
002
12
4x x y y x y
+=⎧⎨=⎩，消去x ，整理得： ()2220004241440y y x y y -++=，
∴22
000022
20000
424484244824
4M N x y y y y y y y y y +-++===+-
∵02y ≤≤
∴20M N y y ⎡⎤+∈⎣⎦
∵2M N MF NF y y +=++，
∴MF NF +
的取值范围为2,22⎡⎤⎣⎦
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，第2问解题
的关键是将切线方程与抛物线方程联立方程组00212
4x x y y x y +=⎧⎨=⎩
，进而利用根与系数的关系
可得22
000022
20000
424484244824
4M N x y y y y y y y y y +-++===+-，再利用抛物线的定义可求得MF NF +的取值范围，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 23．（1
）3±；（2
）)10x y ++=；111
x y
-=±. 【分析】
（1
）根据直接法，利用
PM PN
=(),P x y ，代入化简即可得到点P 的轨迹方程，
由P
（2）根据几何关系，因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒
，
PM k =，求出直线方程，代入圆的方程求得P 点坐标，即可得解. 【详解】
（1）设(),P x y ，因为PM PN
=
=
化简得22610x y x +-+=，
令y 2630x x -+=，解得3x =±
所以点P 的横坐标为3
（2）因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，
所以30PMN ∠=︒，PM k =，
所以直线PM 的方程为)1y x =+
把)1y x =+代入22610x y x +-+=， 得2410x x -+=，
解得12x =22x =
所以点P 的坐标为(2++或(21-
或(
21-或(2，
所以直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+，
所以直线PM 的点法向式方程为)10x y ++= 直线PN 的点方向式方程为111
x y
-=±. 【点睛】
本题考查了求轨迹方程，考查了直线和圆的位置关系以及直线的点法向式方程和点方向式方程，有一定的计算量，属于中档题. 本题的关键点有：
（1）直接法求轨迹方程，利用条件直接列式求方程；
（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力，需强化训练.
24．（1）7
；（2 【分析】
（1）求出椭圆的左焦点1(1,0)F -，根据点斜率式可得AB 的方程，直线方程与椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦AB 的长；
（2）利用点到直线的距离公式求出三角形的高，结合（1）的结论，再利用三角形面积公
式可得答案. 【详解】
椭圆方程为2
212
x y +=，
∴焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，
直线AB 过左焦点1F 倾斜角为60︒，
∴
直线AB 的方程为1)y x =+，
将AB 方程与椭圆方程消去y ，得271240x x ++= 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得
12127x x +=-
，124
7
x x =
12||x x ∴-=
因此，12||||AB x x =-=
． (2）2F （1，0)到直线AB 的距离为：
d =
=
2
12ABF S
AB d =
= 【点睛】
求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用
12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.
25．（12）证明见解析. 【分析】
（1）将椭圆C 的方程化为标准方程，求出a 、c ，进而可求得椭圆C 的离心率； （2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l 的斜率不存在时，求出A 、B 两点的坐标，计算出0OA OB ⋅=；在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，利用直线l 与圆O 相切可得出221m k =+，并将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的数量积并结合韦达定理计算得出0OA OB ⋅=.综合可证得结论成立. 【详解】
（1）将椭圆C 方程化为标准形式22
1
4
43
x y +=， 24a ∴=，2
43b =
，222
48433c b a =-=-=，则2a =
，c =， 因此，椭圆C
的离心率为323
c e a ===
；
（2）若切线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为1x =±，
联立椭圆C 的方程可解得：()1,1A 、()1,1B -或者()1,1A -、()1,1B --. 此时0OA OB ⋅=，即OA OB ⊥成立；
若切线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 直线l 与圆2
2
:1O x y +=
相切，则1=
，化简得221k m +=，
联立22
34
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得到()222
316340k x kmx m +++-=， 由韦达定理可得122631km x x k +=-+，2122
34
31
m x x k -=-+， ∴()()()2
2
12121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，
()()22121212121OA OB x x y y k x x km x x m ∴⋅=+=++++， 将122631km x x k +=-+，2122
34
31
m x x k -=-+代入上式得： ()222
2
22234613131
m k m OA OB k m k k -⋅=+-+++，
又∵221k m +=，所以
()2
2
224242422
22223463466320032
323232
m m k m m m m m m m OA OB m m m m m ---++-⋅=
-+===----，
OA OB ∴⊥.
综上所述，OA OB ⊥一定成立. 【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
26．（1）24x y =；（2）10x y --=或2x =. 【分析】
（1）设出抛物线，代入点(2,1)P 即可求出；
（2）可知斜率不存在时满足题意，斜率存在时，设出直线方程，联立直线与抛物线，利用判别式即可求出. 【详解】
（1）设抛物线的标准方程为22x py =，把点(2,1)P 代入可得42p =，所以2p =，故所求的抛物线的标准方程为24x y =；
（2）①当斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意；
②当斜率存在时，设直线方程为1(2)y k x -=-，即21y kx k =-+， 联立方程2
21
4y kx k x y
=-+⎧⎨
=⎩可得整理可得24840x kx k -+-=。

因为直线与抛物线只有一个公共点， 所以21632160k k ∆=-+=，所以1k =， 综上可得，直线l 的方程为10x y --=或2x =. 【点睛】
易错点睛：本题考查已知直线与抛物线公共点个数求直线方程，注意需要先讨论直线斜率不存在时的情况，这是往往容易漏掉的地方.。