不同效用函数下考虑部分信息的投资组合问题

不同效用函数下考虑部分信息的投资组合问题
张金燕;刘宣会;张柯妮
【摘要】通过假设股票价格不仅受布朗运动的驱动,而且受到马尔科夫调制参数的影响,建立了部分信息下的投资组合模型.运用非线性滤波估计技术和随机控制的方法,分别得到了指数效用函数和对数效用函数下的最优投资策略.%By assuming that stock prices not only by Brownian motion drive, but also the effects of parameters by markov modulation, partial information of the investment portfolio model was established. By using nonlinear filtering technology and the method of stochastic control, the optimal investment strategies about index utility function and logarithmic utility function are obtained.【期刊名称】《西安工程大学学报》
【年(卷),期】2012(026)005
【总页数】5页(P672-676)
【关键词】部分信息;投资组合;马尔科夫调制参数;非线性滤波;HJB方程
【作者】张金燕;刘宣会;张柯妮
【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安710048;西安工程大学理学院,陕西西安710048;西安工程大学理学院,陕西西安710048
【正文语种】中文
【中图分类】O231.3
在金融市场上，传统的投资方式主要有股票投资和债券投资，股票投资的收益率比较高，但是相对来说风险也比较大，债券投资虽然收益率比较低，但是风险却很小．作为一个投资者，既要考虑风险，又要考虑收益，所以要考虑将资金按照一定的比例分配到不同的市场，这就出现了最优投资组合问题．当然，在传统的金融市场投资模式中，很多研究者对此问题的研究，考虑的是模型中的股票价格方程中的布朗运动和漂移系数是可以观测的完全信息模型，而事实上投资者只能观测到过去股票价格生成的信息流，即｛Gt｝0≤t≤T，这才是符合实际的，也就是本文中所说的部分信息．当然，部分信息下的投资组合问题的研究在近几年也有了很大的进展［1－7］．首先文献［1］将部分信息的情况考虑进去，引进了鞅方法，将部分信息下的投资组合向前推动了一大步；之后文献［2］讨论了部分信息下的均值－方差套期模型；文献［3］讨论了部分信息下极大终止时期望对数效用及其价值测算；文献［4］考虑部分信息的情况，考虑幂效用函数，并且考虑部分信息与完全信息下的结果；文献［5］考虑也将投资组合问题扩展到了部分信息的情况下，并且考虑到了投资时机的问题；文献［6］考虑股票价格的漂移项是线性的一个马尔科夫链的部分信息的投资组合问题；文献［7］考虑部分信息的情况，对于不连续市场中的投资组合问题进行了研究．本文将讨论部分信息情况下，股票价格受布朗运动和马尔科夫调制参数共同控制下的最优投资组合问题．
1 建立模型
本文研究投资者在［0，T］时间内的最优投资组合问题，在此考虑完备的概率空间（Ω，F，Ρ），用它来刻画金融市场中的风险环境．假设市场上有两种资产，一是无风险资产，假设它是某债券，其价格过程记为S0，另一种是风险资产，假设它是某股票，其价格过程记为S，则它们分别满足随机微分方程
其中0≤t≤T，r（t，α（t））表示债券的利率，W 1t，W 2t 是标准的布朗运动，并且相互独立，σ（t，α（t））为确定性过程，a，b，c为常数，α（t）取值为｛1，2，…，l｝，转移概率矩阵为Q＝（qij）l×l 的马尔科夫链，其状态转移概
率的定义为
记Ft ＝Δ｛Su，μ（u，α（u））：0≤u≤t｝，Gt ＝Δ｛Su：0≤u≤t｝，由此可
知Ft是完全信息的信息流，Gt是部分信息的信息流．
假设1 X 0为投资者具有的初始财富，采用自融资交易策略，在时间段［0，T］内，设∀t （0≤t≤T），将比例为u t的购买股票，（1－ut）比例的购买债券，
那么t时刻投资者财富过程X t满足随机微分方程
这里0≤t≤T．
假设投资者具有的效用函数记为U（·），若相应u的终止财富满足E［U（）］＜∞，则称策略π是容许的，容许策略组成的集合为Π，则投资者的投资组合问题
可以表述为约束条件为
其中0≤t≤T．
2 部分信息下的模型
考虑一维状态方程和观测方程
这里的W 1t，W 2t 是标准的布朗运动，相互独立．定义信息流为（0≤t≤T），
关于A（t，ξ），B（t，ξ），a（t，ξ），bi（t，ξ）（i＝1，2）的泛函都可测．引理1 假设状态和观测过程方程θt，ξt满足式（4），记，如果
假设（1）～（3）成立，则
所以部分信息的模型转化为完全信息的模型为
3 指数效用
对于问题（7）的最优投资策略，考虑运用随机动态规划的方法．
根据Bellman原理，有
假定J是连续可微的，对式（9）做泰勒级数扩展
把约束条件的离散形式
代入式（10）并注意根据随机微积分法则对式（10）右侧括号中各项运行期望算子，然后等式两边同时除以Δt，并令Δt趋于0，得
引理2 假设H∈C1，2是问题（11）的解，令（t，x，m，i）是最优策略，使财
富过程U（）最大，且（t，x，m，i）满足方程
在这里首先考虑指数效用函数U（·）＝ξ－（λ／η）exp（－ηx），其中ξ，λ，η都为常数，并且λ＞0，η＞0，同时满足边界条件J（T，x，m，i）＝ξ－（λ／η）exp（－ηx）．
定理1 函数
是方程（11）的解，并且满足相应的边界条件，其中
这里D（t，i），E（t，i），F（t，i）分别满足常微分方程
证明假定带有边界条件的随机最优控制问题（11）的解H∈C1，2，则H有形式
H（t，x，m，i）＝ξ－（λ／η）exp（－ηx exp（r（T－t））＋C（t，m，i）），这里C（·，·）是可测函数，由J（T，x，m，i）＝ξ－（λ／η）exp（－ηx）可知C（t，m，i）≡0．将式（13）代入方程（11）整理得
4 对数效用函数
考虑对数效用函数的情况来重新考虑方程（11）的问题，区别于一般的鞅方法，
在这里考虑一种比较简单的方法．首先，假设使对数效用最大化的问题满足上面指数效用最大化的条件．
是方程（11）的解，并且满足相应的边界条件，其中p（t，m，i）满足常微分方程
证明假定带有边界条件的随机最优控制方程（11）的解Z∈C1，2，则Z有下面的形式：Z（t，，x，m，i）＝log x＋p（t，m，i），这里p（·，·）是可测函数，由J（t，，x，m，i）＝log x，可知p（t，m，i）≡0，将式（20）代入方程（11）整理得
5 结束语
本文考虑了一种投资组合模型，并且考虑了部分信息的情况．运用滤波技术使其转化成了完全信息的情况，考虑指数效用和对数效用的情况对最优投资组合问题求解．在今后的研究中，会考虑将漂移项中的2个布朗运动之间的相关性之间的联系．
【相关文献】
［1］ LAKNER P．Utility maximization with partical information［J］．Stochastic Process Appl，1995，56：247－273．
［2］ PHAM H．Mean－variance hedging under partial observation［J］．Theoretical and Applied Finance，2001，4：263－284．
［3］杨招军．部分信息下极大化终止时刻期望效用［J］．控制理论与应用，2005，22（5）：708－712．
［4］ BRENDLE Simon．Portfolio selection under incomplete information ［J］．Stochastic Processes and Their Applications，2006，116：701－723．
［5］ KLEIN M．Investment timing under incomplete information［J］．Math oper res，2009，34（2）：249－254．
［6］ RUDIGER Frey．Portfolio optimization under partial information with expert opinions［D］．Leipzig：Department of Mathematics，University of Leipzig，2011：1－17．
［7］ CALLEGARO G，DI Masi G，RUNGGALDIER W．Portfolio optimization in discontinuous markets under incomplete ionformation［J］．Asia－Pac Financ Mark，2006，13：373－394．
［8］ BFIHLMANN H．An economic premium principle［J］．Astin Bulletin，1980，11：52－60．
［9］ FLEMING W H，SONER H M．Controlled markov processes and viscosity solutions ［M］．New York，Berlin：Springer，1993．
［10］ ZHANG Xin，SIN Tak Kuen，MENG Qingbin．Portfolio selection in the enlarged Markovian Regime－switching market［J］．Society for industrial and Applied Mathematic，2010，48（5）：3 368－3 388．
［11］ HU Y，IMKELLER P，MULLER M．Utility maximization in incomplete markets ［J］．The Annals of Applied Probability，2005，15：1 691－1 712．。