广东省佛山市高三数学第一次模拟考试试题 理(含解析)

2013年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）
A．B．C．D．
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：计算题．
分析：把给出的复数分子分母同时乘以2﹣i，然后整理成a+bi（a，b∈R）的形式即可．
解答：
解：=．
故选A．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．
2．（5分））命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（）
A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1
考点：V enn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算．
专题：规律型．
分析：全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“∀x∈R，都有有x2+1≥1”，易得到答案．
解答：解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”
∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：
∃x∈R，使x2+1＜1．
故选C．
点评：本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，是解答此类问题的关键．
3．（5分）（2013•佛山一模）已知=（1，2），=（0，1），=（k，﹣2），若（+2）⊥，则k=（）
A．2B．﹣2 C．8D．﹣8
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：平面向量及应用．
分析：
由向量的坐标运算易得的坐标，进而由可得它们的数量积为0，可得关于k的方程，解之可得答案．
解答：
解：∵=（1，2），=（0，1），
∴=（1，4），
又因为，
所以=k﹣8=0，
解得k=8，
故选C
点评：本题考查平面向量数量积和向量的垂直关系，属基础题．
4．（5分）（2013•淄博一模）一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如下，则几何体的体积为（）
A．8B．9C．10 D．11
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：三视图复原的几何体是四棱柱去掉一个三棱锥，的几何体，结合三视图的数据，求出体积即可．
解答：解：三视图复原的几何体是底面是正方形边长为2，棱长垂直底面高为3，上底面是一个梯形一边长为1，
四棱柱去掉一个三棱锥，所以几何体的体积是：2×2×3﹣=11
故选D．
点评：本题考查由三视图求体积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．
5．（5分）（2013•佛山一模）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）
A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．
专题：计算题．
分析：根据茎叶图所给的两组数据，做出甲和乙的平均数，把两个人的平均数进行比较，得到乙的平均数大于甲的平均数，得到结论．
解答：解：由茎叶图知，
甲的平均数是=82，
乙的平均数是=87
∴乙的平均数大于甲的平均数，
从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，
故选D．
点评：本题考查两组数据的平均数和稳定程度，这是经常出现的一个问题，对于两组数据通常比较他们的平均水平和稳定程度，注意运算要细心．
6．（5分）（2013•潮州二模）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣3 B．C．5D．6
考点：简单线性规划．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=﹣1时，z取得最大值5．
解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，
其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）
设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（2，﹣1）=5
故选：C
点评：题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
7．（5分）（2013•佛山一模）已知集合M={x||x﹣4|+|x﹣1|＜5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N={2，b}，则a+b=（）
A．6B．7C．8D．9
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：集合M中的不等式表示数轴上到1的距离与到4的距离之和小于5，求出x的范围，确定出M，由M与N的交集及N，确定出a与b的值，即可求出a+b的值．
解答：解：由集合M中的不等式，解得：0＜x＜5，
∴M={x|0＜x＜5}，
∵N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（2，b），
∴a=2，b=5，
则a+b=2+5=7．
故选B
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
8．（5分）（2013•佛山一模）对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：
①f（x）在[m，n]内是单调的；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）=存在“和谐区间”，则a
的取值范围是（）
D．（1，3）
A．（0，1）B．（0，2）C．
（）
考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域．
专题：压轴题；新定义；函数的性质及应用．
分析：易得函数在区间[m，n]是单调的，由f（m）=m，f（n）=n可得故m、n是方程ax2﹣（a+1）x+a=0的两个同号的实数根，由△=（a+1）2﹣4a2＞0，解不等式即可．
解答：
解：由题意可得函数f（x）=在区间[m，n]是单调的，
所以[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），则f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程的两个同号的实数根，
即方程ax2﹣（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，注意到mn==1＞0，
故只需△=（a+1）2﹣4a2＞0，解得＜a＜1，
结合a＞0，可得0＜a＜1
故选A
点评：本题考查函数单调性的判断和一元二次方程的根的分布，属基础题．
二、填空题：必做题（9～13题）每小题5分．
9．（5分）（2013•佛山一模）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则f（f（））的值等于﹣1 ．
考点：对数的运算性质；函数的值．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：
由已知可得f（﹣x）=﹣f（x），结合已知可求f（）=﹣2，然后再由f（﹣2）=﹣f（2），代入已知可求
解答：解：∵y=f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∵当x＞0时，f（x）=log2x，
∴=﹣2
则f（f（））=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1
故答案为：﹣1
点评：本题主要考查了奇函数的性质的简单应用，属于基础试题
10．（5分）（2013•淄博一模）已知抛物线x2=4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是±4．
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据点P到焦点的距离为5利用抛物线的定义可推断出P到准线距离也为5．利用抛物线的方程求得准线方程，进而可求得P的坐标．
解答：解：根据抛物线的定义可知P到焦点的距离为5，则其到准线距离也为5．
又∵抛物线的准线为y=﹣1，
∴P点的纵坐标为5﹣1=4．
将y=4 代入抛物线方程得：4×4=x2，解得x=±4
故答案为：±4．
点评：活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
11．（5分）（2013•佛山一模）函数y=sinx+sin（x﹣）的最小正周期为2π，最大值是．
考点：两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：利用两角和与差的正弦函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出函数的周期与最大值．
解答：
解：因为函数y=sinx+sin（x﹣）=sinx+sinx﹣cosx=sin（x﹣）．
所以函数的周期为T==2π （2分）；
函数的最大值为：（3分）
故答案为：2π；．
点评：本题考查三角函数的化简求值，函数周期的求法，考查基本知识的应用．
12．（5分）（2013•佛山一模）某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望Eξ的值为．
ξ0 1 2 3
P a b
考点：离散型随机变量的期望与方差．
专题：概率与统计．
分析：①学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，有两门取得A等级有以下3种情况：政、史；政、地；地、史．再利用相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式即可得到P（ξ=2）；②根据概率的规范性可得：P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3），据此即可得出P（ξ=1）．利用离散型随机变量的数学期望即可得出Eξ．
解答：解：①学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，有两门取得A等级有以下3种情况：政、史；政、地；地、史．
∴P（ξ=2）=+=，
②根据分布列的性质可得：P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）
==，
∴Eξ=0×+==．
故答案为．
点评：熟练掌握相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、离散型随机变量的数学期望是解题的关键．
13．（5分）（2013•佛山一模）观察下列不等式：
①＜1；②+；③；…则第5个不等式为
．
考点：归纳推理；进行简单的合情推理．
专题：压轴题；规律型．
分析：前3个不等式有这样的特点，第一个不等式含1项，第二个不等式含2项，第三个不等式含3项，且每一项的分子都是1，分母都含有根式，根号内数字的规律是2；2，6；2，12；由此可知，第n个不等式左边应含有n项，每一项分子都是1，分母中根号内的数的差构成等差数列，不等式的右边应是根号内的序号数．
解答：
解：由①＜1；
②+；
③；
归纳可知第四个不等式应为；
第五个不等式应为．
故答案为．
点评：本题考查了合情推理中的归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理．是基础题．
三、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）5分
14．（5分）（2013•崇明县二模）在极坐标系中，直线过点（1，0）且与直线（ρ∈R）垂直，则直线的极坐标方程为．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：计算题．
分析：
先将直线极坐标方程（ρ∈R）化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解过点
（1，0）且与直线（ρ∈R）垂直的直线方程，最后再化成极坐标方程即可．
解答：
解：由题意可知直线（ρ∈R）的直角坐标方程为：x﹣y=0，
过点（1，0）且与直线x﹣y=0垂直的直线方程为：y=﹣（x﹣1），
即所求直线普通方程为x+y﹣1=0，
则其极坐标方程为．
故答案为：．
点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．
15．（2013•佛山一模）（几何证明选讲）如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M 分别交AD，AC于点E，F．若AD=3AE，则AF：FC= 1：4 ．
考点：向量在几何中的应用．
专题：压轴题．
分析：利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理即可得出．
解答：解：如图所示，设直线l交CD的延长线于点N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．
∵M是边AB的中点，∴．
∴，∴．
故答案为1：4．
点评：熟练掌握平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
四、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•崇明县二模）如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2．记锐角∠ADB=α．且满足cos2α=．
（1）求cosα；
（2）求BC边上高的值．
考点：正弦定理；二倍角的余弦．
专题：计算题；解三角形．
分析：（1）由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，可求cosα
（2）方法一、由可求sinα，而∠CAD=∠ADB﹣∠C=α﹣45°，利用sin∠CAD=sin（）=sin，代入可求sin∠CAD，最后再
由正弦定理，可求AD，从而可由h=ADsin∠ADB求解
方法二、作BC 边上的高为AH，在直角△ADH中，由（1）可得，设出AD，则可表
示DH，AH，结合△AHC为等腰直角三角形，可得CD+DH=AH，代入可求
解答：
解：（1）∵cos2α=2cos2α﹣1=，
∴，
∵，
∴cosα=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）方法一、由（1）得=，
∵∠CAD=∠ADB﹣∠C=α﹣45°，
∴sin∠CAD=sin（）=sin
==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
在△ACD中，由正弦定理得：，
∴AD==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
则高h=ADsin∠ADB==4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
方法二、如图，作BC 边上的高为AH
在直角△△ADH中，由（1）可得=，
则不妨设AD=5m则DH=3m，AH=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
注意到C=45°，则△AHC为等腰直角三角形，所以CD+DH=AH，
则1+3m=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
所以m=1，即AH=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
点评：本题主要考查了同角平方关系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式
17．（12分）（2013•佛山一模）数列{a n}的前n项和为S n=2n+1﹣2，数列{b n}是首项为a1，公差为d（d≠0）的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．
（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；
（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．
考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
（1）利用、等差数列的通项公式、等比数列的定义即可得出；
（2）利用“错位相减法”即可得出．
解答：解析：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2n=2n，
又，也满足上式，
所以数列{a n}的通项公式为．
b1=a1=2，设公差为d，由b1，b3，b11成等比数列，
得（2+2d）2=2×（2+10d），化为d2﹣3d=0．
解得d=0（舍去）d=3，
所以数列{b n}的通项公式为b n=3n﹣1．
（2）由（1）可得T n=，
∴2T n=，
两式相减得T n=，
==．
点评：
熟练掌握、等差数列的通项公式、等比数列的定义、“错位相减法”是解题的关键．
18．（14分）（2013•潮州二模）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=DB，
点C为圆O上一点，且BC=AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直⇒线面垂直，再由线面垂直⇒线线垂直；
（2）通过作出二面角的平面角，证明符合定义，再在三角形中求解．
解答：解析：（1）连接OC，由3AD=BD知，点D为AO的中点，
又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，
∵AC=BC，∴∠CAB=60°，
∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，
∴PD⊥CD，PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴PA⊥CD．
（2）过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，
由（1）知CD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，
∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，
∴PB⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，
∴CE⊥PB，
∴∠DEC为二面角C﹣PB﹣A的平面角．
由（1）可知CD=，PD=BD=3，
∴PB=3，则DE==，
∴在Rt△CDE中，tan∠DEC==，
∴cos∠DEC=，即二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．
点评：本题考查线线垂直的判定、二面角的平面角及求法．二面角的求法：法1、作角（根据定义作二面角的平面角）﹣﹣证角（符合定义）﹣﹣求角（解三角形）；
法2、空间向量法，求得两平面的法向量，再利用向量的数量积公式求夹角的余弦值．
19．（14分）（2013•佛山一模）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产里x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额R（单位：元）与日产量x满足函数关系式
，已知每日的利润L=S﹣C，且当x=2时，L=3
（I）求k的值；
（II）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．
考点：函数模型的选择与应用；函数最值的应用．
专题：计算题；应用题．
分析：（I）根据每日的利润L=S﹣C建立函数关系，然后根据当x=2时，L=3可求出k的值；
（II）当0＜x＜6时，利用基本不等式求出函数的最大值，当x≥6时利用函数单调性求出函
数的最大值，比较两最大值即可得到所求．
解答：
解：（I）由题意可得：L=
因为x=2时，L=3
所以3=2×2++2
所以k=18
（II）当0＜x＜6时，L=2x++2
所以L=2（x﹣8）++18=﹣[2（8﹣x）+]+18≤﹣2+18=6
当且仅当2（8﹣x）=即x=5时取等号
当x≥6时，L=11﹣x≤5
所以当x=5时，L取得最大值6
所以当日产量为5吨时，毎日的利润可以达到最大值6．
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．
20．（14分）（2013•潮州二模）设椭圆的左右顶点分别为A（﹣2，0），B（2，
0），离心率e=．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|=|PC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点C的轨迹E的方程；
（3）设直线AC（C点不同于A，B）与直线x=2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．
考点：轨迹方程；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）根据题意建立关于a、c的方程组，解出a=2，c=，从而得到b2的值，即可求出椭圆的方程；
（2）设C（x，y）、P（x0，y0），可得x0=x且y0=y，结合点P（x0，y0）在椭圆上代入化简得
到x2+y2=4，即为动点C的轨迹E的方程；
（3）设C（m，n）、R（2，t），根据三点共线得到4n=t（m+2），得R的坐标进而得到D（2，）．由CD斜率和点C在圆x2+y2=4上，解出直线CD方程为mx+ny﹣4=0，最后用点到直线
的距离公式即可算出直线CD与圆x2+y2=4相切，即CD与曲线E相切．
解答：
解：（1）由题意，可得a=2，e==，可得c=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∴b2=a2﹣c2=1，
因此，椭圆的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）设C（x，y），P（x0，y0），由题意得，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
又，代入得，即x2+y2=4．
即动点C的轨迹E的方程为x2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（3）设C（m，n），点R的坐标为（2，t），
∵A、C、R三点共线，∴∥，
而=（m+2，n），=（4，t），则4n=t（m+2），
∴t=，可得点R的坐标为（2，），点D的坐标为（2，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
∴直线CD的斜率为k==，
而m2+n2=4，∴﹣n2=m2﹣4，代入上式可得k==﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣（12分）
∴直线CD的方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得mx+ny﹣4=0，
∴圆心O到直线CD的距离d===2=r，
因此，直线CD与圆O相切，即CD与曲线E相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
点评：本题给出椭圆及其上的动点，求椭圆的方程并用此探索直线CD与曲线E的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与圆的位置关系和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．
21．（14分）（2013•佛山一模）设g（x）=e x，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是常数，且0＜λ＜1．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式成立；
（3）设，且λ1+λ2=1，证明：对任意正数a1，a2都有：．
考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：压轴题；导数的综合应用．
分析：（1）首先对函数求导，使得导函数等于0，解出x的值，分两种情况讨论：当f′（x）＞0，当f′（x）＜0，做出函数的极值点，求出极值．
（2）由于，再将原不等式化为，即e x﹣（1+a）
x﹣1＜0，令g（x）=e x﹣（1+a）x﹣1，利用导数研究此函数的极值，从而得出存在正数x=ln （a+1），使原不等式成立．
（3）对任意正数a1，a2，存在实数x1，x2使a1=e，a2=e，则
•=，，将原不等式
⇔≤⇔g（λ1x1+λ2x2）≤λ1g（x1）+λ2g（x2），下面利用（1）的结论得出≤即
可．
解答：解：（1）∵f′（x）=λg[λx+（1﹣λ）a]﹣λg′（x），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
由f′（x）＞0得，g[λx+（1﹣λ）a]＞g′（x），
∴λx+（1﹣λ）a＞x，即（1﹣λ）（x﹣a）＜0，解得x＜a，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
故当x＜a时，f′（x）＞0；当x＞a时，f′（x）＜0；
∴当x=a时，f（x）取极大值，但f（x）没有极小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）∵，
又当x＞0时，令h（x）=e x﹣x﹣1，则h′（x）=e x﹣1＞0，
故h（x）＞h（0）=0，
因此原不等式化为，即e x﹣（1+a）x﹣1＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣（6分）
令g（x）=e x﹣（1+a）x﹣1，则g′（x）=e x﹣（1+a），
由g′（x）=0得：e x=（1+a），解得x=ln（a+1），
当0＜x＜ln（a+1）时，g′（x）＜0；当x＞ln（a+1）时，g′（x）＞0．
故当x=ln（a+1）时，g（x）取最小值g[ln（a+1）]=a﹣（1+a）ln（a+1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
令s（a）=，则s′（a）=．
故s（a）＜s（0）=0，即g[ln（a+1）]=a﹣（1+a）ln（a+1）＜0．
因此，存在正数x=ln（a+1），使原不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
（3）对任意正数a1，a2，存在实数x1，x2使a1=e，a2=e，
则•=，，
原不等式⇔≤，
⇔g（λ1x1+λ2x2）≤λ1g（x1）+λ2g（x2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）由（1）f（x）≤（1﹣λ）g（a）
故g[λa+（1﹣λ）a]≤λg（x）+（1﹣λ）g（a）
令x=x1，a=x2，λ=λ1，1﹣λ=λ2
从而g（λ1x1+λ2x2）≤λ1g（x1）+λ2g（x2）
故≤成立，得证（14分）
点评：本小题主要考查函数在某点取得极值的条件、导数在最大值、最小值问题中的应用及应用所学导数的知识、思想和方法解决问题的能力，属于中档题．。