2020_2021学年高中数学第一章三角函数5.2余弦函数的图象与性质再认识课后习题含解析北师大版必

5.2余弦函数的图象与性质再认识
课后篇巩固提升
基础达标练
1.下列关于函数f(x)=cosx
x
的说法正确的是()
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
{x|x≠0,x∈R},且f(-x)=cos(-x)
-x =-cosx
x
=-f(x),故f(x)是奇函数.
2.函数y=-cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为()
A.π
2
,1 B.(π,1)
C.(0,1)
D.(2π,1)
y=-cos x(x>0)的图象如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1).
3.函数y=-3cos x+2的值域为()
A.[-1,5]
B.[-5,1]
C.[-1,1]
D.[-3,1]
-1≤cos x≤1,所以-1≤-3cos x+2≤5,即值域为[-1,5].
4.函数y=|cos x|的一个单调递减区间是()
A.[-π
4,π
4
]B.[π
4
,3π
4
]
C.[π,3π
2]D.[3π
2
,2π]
y=|cos x|的图象(图略),由图象可知A,B都不是单调区间,D为单调递增区间,C为单调递减区间,故选C.
5.函数y=cos x在区间[-π,a]上是增加的,则a的取值范围为.
y=cos x 在区间[-π,0]上单调递增,
所以-π<a ≤0.
-π,0]
6.cos 110°,sin 10°,-cos 50°的大小关系是 .
sin10°=cos80°,-cos50°=cos(180°-50°)=cos130°,
而y=cos x 在区间[0,π]上单调递减, 所以cos80°>cos110°>cos130°, 即sin10°>cos110°>-cos50°.
°>cos 110°>-cos 50°
7.方程2x =cos x 的实根有 .
y=2x 与y=cos x 的图象(图略),可知两图象有无数个交点,即方程2x =cos x 有无数个实数根.
8.已知函数y=3cos(π-x ),则当x= 时,函数取得最大值.当x= 时,函数取得最小值.
3cos(π-x )=-3cos x ,当cos x=-1,即x=2k π+π,k ∈Z 时,y 有最大值3.x=2k π,k ∈Z 时,y 有最大值-3.
k π+π,k ∈Z 2k π,k ∈Z
9.画出函数y=cos x (x ∈R )的简图,并根据图象写出y ≥1
2时x 的集合.
y=cos x 的简图,如图所示.
过点(0,1
2
)作x 轴的平行线,从图象中看出:
在区间[-π,π]上,y=1
2与余弦曲线交于点(-π3,1
2),(π3,1
2),故在区间[-π,π]内,当y ≥1
2
时,x 的集合为{x |-π3
≤x ≤π
3
}.
当x ∈R 时,若y ≥12
,则x 的集合为x -π3
+2k π≤x ≤π3
+2k π,k ∈Z .
能力提升练
1.函数y=cos x+|cos x|,x ∈[0,2π]的大致图象为
( )
cos x+|cos x|={2cosx ,x ∈[0,π
2]⋃[3π
2,2π],
0,x ∈(π2
,3π
2
),
根据选项,只有D 符合,故选D .
2.在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x 的取值范围是 ( )
A.π4
,3π
4
B.π4,π
2
∪5π4
,
3π2
C.
π4,π
2
D.
5π4
,
7π4
解析因为sin x>|cos x|,所以sin x>0,所以x ∈(0,π),在同一平面直角坐标系中画出y=sin x ,x ∈(0,π)与y=|cos x|,x ∈(0,π)的图象,观察图象易得x ∈
π4
,
3π4
.
3.(多选)关于三角函数的图象,有下列命题正确的是 ( )
A.y=sin |x|与y=sin x 的图象关于y 轴对称
B.y=cos(-x )与y=cos |x|的图象相同
C.y=|sin x|与y=sin(-x )的图象关于x 轴对称
D.y=cos x 与y=cos(-x )的图象关于y 轴对称
B,y=cos(-x )=cos x ,y=cos |x|=cos x ,故其图象相同;对D,y=cos(-x )=cos x ,故其图象关于y 轴对称,由作图可知AC 均不正确.
4.若函数y=2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( ) A.4
B.8
C.2π
D.4π
,图形S 1与S 2,S 3与S 4都是对称图形,有S 1=S 2,S 3=S 4,因此函数y=2cos x 的图象与直线y=2所围成的图形面积等于矩形OABC 的面积.因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S 矩形=2×2π=4π.
5.已知函数f (x )=cos x ,x ∈(π
2,3π),若函数f (x )=m 有三个从小到大不同的实数根α,β,γ,且β2=αγ,则实数m 的值是( ) A .-1
2
B .1
2
C .-√22
D .√22
f (x )=m 有三个不同的实数根,则m ∈(-1,0),
由题意知三个根分别为α,β,γ,且α<β<γ,则π
2<α<β<3π2,5π
2
<γ<3π,且α+β=2π,β+γ=4π,
又β2=αγ,所以β2=(2π-β)(4π-β),解得β=4π
3,
则m=f (4π
3)=cos 4π
3=-1
2,故选A .
6.已知函数f (x )={cosx (-π≤x <0),
sinx (0≤x ≤π).
(1)作出该函数的图象; (2)若f (x )=1
2,求x 的值.
作出函数f (x )={cosx (-π≤x <0),
sinx (0≤x ≤π)
的图象,如图①所示.
①
(2)因为f (x )=1
2,所以在图①基础上再作直线y=1
2,如图②所示,则当-π≤x<0时,由图象知x=-π
3,当0≤x ≤π时,由图象知x=π
6
或x=5π
6
.
②
综上,可知x 的值为-π
3或π
6或
5π6
.
素养培优练
画出函数y=12cos x+1
2|cos x|的图象,并根据图象讨论其性质.
y=12cos x+1
2|cos x|={cosx (cosx ≥0),0(cosx <0),利用五
点法画出函数在[-π2,
3π
2
]上的图象,如图所示.
将图中的图象左右平移2k π(k ∈Z )个单位长度,即得函数y=1
2cos x+1
2|cos x|的图象(图略). 由图象可知函数具有以下性质: 定义域:R ; 值域:[0,1]; 奇偶性:偶函数;
周期性:最小正周期为2π;
单调性:在区间[2kπ,2kπ+π
2](k ∈Z )上单调递减,在区间[2kπ-π2,2kπ](k ∈Z )上单调递增.。