上海市华东师范大学第二附属中学沪科版高中数学复习 高中所有数学公式 素材

高中数学常用公式及结论
一、集合与常用逻辑用语：
1 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个。

5
是p 的必要条件；
（2）、p q ⇒，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ⇒，则P 是q 的必要不充分条件；
(4)、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。

(5)、B A ⊆ , A 是B 的充分条件(小范围⇒大范围)
二、函数：
1 二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式2
()(0)f x ax bx c a =++≠;
(2) 顶点式2
()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时） 2 函数单调性:
增函数： )()(,2121x f x f x x << ⇒ f （x ）在x ∈D 上是减函数。

（y 随x 的增大而增大）
减函数： )()(,2121x f x f x x >< ⇒ f （x ）在x ∈D 上是减函数。

（y 随x 的增大而减小） 等价关系：
(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --<⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔<--上是减函数. (2)设)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 增；如果0)(<'x f ，则)(x f 减. 单调性性质：(1)增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；（两个函数定义域交集）
(2)增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数；
(3)
)(,)
(1
x f x f -与)(x f 单调性相反，)(x f 与)(x f 单调性相反。

（有意义的前提） 复合函数的单调性：[])(x g f y =，由)(u f y =和)(x g u =复合，同真异减。

3 函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：在前提条件下，若有
()()()()0f x f x f x f x -=--+=或，则f （x ）就是奇函数。

性质：（1）奇函数的图象关于原点对称；
（2）奇函数在x >0和x <0上具有相同的单调区间； （3）定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 .
偶函数：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。

性质：（1）偶函数的图象关于y 轴对称；
（2）偶函数在x >0和x <0上具有相反的单调区间；
奇偶函数间的关系：
(1)奇函数·偶函数=奇函数； 奇函数·奇函数=偶函数； (2)偶奇函数·偶函数=偶函数； 偶函数±偶函数=偶函数；
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 4 函数的周期性： 定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ）⇒ T 是f （x ）的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：
(1)f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ；
（2）f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2m n - ； (3)1
()()
f x m f x +=-
，此时周期为2m ; (4)两条对称轴：b x a x ==,，此时周期为b a T -=2；（形如x y x y cos ,sin ==）
(5)两个对称点：)0,(),0,(b a ，此时周期为b a T -=2；（形如x y x y cos ,sin ==）
(6)一条对称轴：一个对称点：)0,(,b a x =，此时周期为b a T -=4；（形如x y x y cos ,sin ==） 5 对称性：对于函数)(x f y =(R x ∈), ①()()f x f x -= ⇔ 函数)(x f 关于y 轴对称 ②)()(x f x f -=- ⇔ 函数)(x f 关于原点对
③)()(x b f a x f -=+ ⇔ 函数)(x f 的对称轴是2
b
a x +=
特别地：)2()(x a f x f -= ⇔ 函数)(x f 的对称轴是a x =
④)()(x b f a x f --=+ ⇔ 函数)(x f 关于点（2
b
a +，0）对称
特别地：)2()(x a f x f --=⇔ 函数)(x f 的对称点)0,(a
⑤)(x f y =与)(x g y =互为反函数 ⇔ )(x f y =与)(x g y =关于x y =对称 特别地：),(b a 与),(a b 关于x y =对称
6 图像变换：
①平移变换：)(x f y =沿x 轴方向平移a 个单位长度 )(a x f y += 左加右减
)(x f y =沿y 轴方向平移b 个单位长度 )(b x f y += 上加下减
②对称变换：)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称 )(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称
)(x f y =与)(x f y --=关于原点对称
)(x f y =与)2(x a f y -= 关于a x =成轴对称 )(x f y =与)2(x a f y --=关于)0,(a 成点对称
③伸缩变换：)(x f y =纵坐标伸缩为原来的A 倍 )(x Af y =
)(x f y =横坐标伸缩为原来的A
1
倍 )(Ax f y =
④翻折变换：
)(x f y =：作出)(x f y =的图像，保留x 轴上方图像，将x 轴下方图像沿着x 轴翻折上去。

)(x f y =：作出)(x f y =的图像，保留y 轴右方图像，将其沿着关于y 轴翻折到左边，右边不变。

（)(x f y =是偶函数）
7 分数指数幂与根式的性质：
(1)m n
a
=0,,a m n N *>∈，且1n >）.
（2
）1
m n
m n
a
a -
=
=
0,,a m n N *
>∈，且1n >）.
（3
）n
a =.
（4）当n
a =；当n
,0
||,0
a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩.
8 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>. 9 指数与指数函数： 指数性质：
(1)1、1p
p
a
a
-=
； （2）、0
1a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r
s
r s
a a a
a r s Q +⋅=>∈ ； (5)
、m n
a = ；
指数函数：(1)、 (1)x
y a a =>在定义域内是单调递增函数；
（2）、 (01)x
y a a =<<在定义域内是单调递减函数。

注： 指数函数图象都恒过点（0，1）
10 对数与对数函数：
对数性质： 若0,0,1,0>>≠>N M a a ，则
(1)、 log log log ()a a a M N MN += ；（2）、 log log log a a a
M
M N N
-= ； (3)、 log log m a a b m b =⋅ ；(4)、 log log m n a a n
b b m
=
⋅ ； (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ； (7)、 log a b
a b =
对数的换底公式 :log log log m a m N
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).
对数函数： (1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数； （2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数； 注： 对数函数图象都恒过点（1，0）
(3)、 log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >⇔∈∈+∞或
(4)、log 0(0,1)(1,)a x a x <⇔∈∈+∞则 或 (1,)(0,1)a x ∈+∞∈则 11 幂函数:幂函数在第一象限的情况：
(1)所有的图形都通过(1，1)这点，a 大于0，函数过(0，0)；
(2)当a 大于0时，幂函数为单调递增的，而a 小于0时，幂函数为单调递减函数。

12 平均增长率的问题（负增长时0p <）：
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x
y N p =+.
三、导数：
1 )(x f 在0x 处的导数（或变化率）：
瞬时速度：00()()()lim lim t t s s t t s t s t t t
υ∆→∆→∆+∆-'===∆∆.
瞬时加速度：00()()
()lim lim
t t v v t t v t a v t t t
∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 2 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切
线方程是))((000x x x f y y -'=-. 3 几种常见函数的导数：
(1) 0='C （C 为常数）.(2) 1
()()n n x nx
n Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='.
(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1
)(ln ='；1(log )log a a x e x
'=.
(6) x x e e =')(; a a a x
x ln )(='.
4 导数的运算法则：
（1）'
'
'
()u v u v ±=±.（2）'
'
'
()uv u v uv =+.（3）''
'2
()(0)u u v uv v v v -=
≠. 5 复合函数的导数：
[])(x g f y =，由)(u f y =和)(x g u =复合，[]'''
)()()(x g u f x g f y ⋅==。

6 导数在函数中的应用：
（1）)(x f y =在区间()b a ,的单调性与导数： 在()b a ,内恒有0)('>x f ⇒)(x f y =递增
在()b a ,内恒有0)('<x f ⇒)(x f y =递减 在()b a ,内恒有0)('
=x f ⇒)(x f y =是常数函数 )(x f y =在()b a ,递增⇒0)('
≥x f
)(x f y =在()b a ,递减⇒0)('≤x f （2）判别)(0x f 是极大（小）值的方法：
当函数)(x f 在点0x 处连续时，
（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 7 定积分的性质：
（1）
（2）
（3）
（4）如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则
8 微积分基本定理：
如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F ′(x)=f(x)，那么()()a F b F x F dx x f b
a
b
a
-==⎰)()(
9 定积分的几何意义：由连续曲线)(x f y =（()0≥x f ）和b x a x ==,及0=y 围成的平面图形
AabB 称为曲边梯形．
1)若,0)(≤x f 如图5-8所示，则面积为
2)把由直线y =c ，y =d (c <d )及两条连续曲线x =g 1(y )，x =g 2(y )(g 1(y ) ≤g 2(y ))
所围成的平面图形称为Y －型图形． 阴影部分的面积：[]⎰-=d
c dy x g x g S )()(12
3)
]-
dx x f )()1
10 定积分在物理上的应用。

（1）变速)0)((≥=t t v v 时间在[]b a ,段，路程⎰
=
b
a
dt t v S )(
（2）变力),(x F F =物体沿力的方向从a 移动到b ，做功⎰
=
b
a
dx x F W )(
四、三角函数：
1 三角不等式：
（1）若(0,)2
x π
∈，则sin tan x x x <<.
(2) 若(0,
)2
x π
∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.
2 同角三角函数的基本关系式 ：22
sin cos 1θθ+=，tan θ=θ
θ
cos sin ， 3 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 4 和角与差角公式
sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
ϕ=
). 5 二倍角公式及降幂公式 6 三角函数的周期公式
函数sin()y x ωϕ=+及函数cos()y x ωϕ=+(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||
T πω=； 函数tan()y x ωϕ=+，,2
x k k Z π
π≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||
T πω=
. 三角函数的图像： 7 正弦定理 ：2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 8 余弦定理： 9 面积定理：
（1）111
222
a b c S ah bh ch =
==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. y =f 2(x )
（2）111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B =
==. 10 三角形内角和定理 ：
在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+
五、平面向量：
1 实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：
(1) 结合律：λ(μa r )=(λμ) a r
;
(2)第一分配律：(λ+μ) a r =λa r +μa r
;
(3)第二分配律：λ(a r +b r )=λa r
+λb r .
2 a r 与b r 的数量积(或内积)：a r ·b r =|a r ||b r
|cos θ。

3 平面向量的坐标运算：
(1)设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则a r +b r
=1212(,)x x y y ++.
(2)设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则a r -b r
=1212(,)x x y y --.
(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r
.
(4)设a r =(,),x y R λ∈，则λa r
=(,)x y λλ.
(5)设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则a r ·b r
=2121y y x x +.
4
求夹角：cos ||||a b a b θ⋅==⋅r r r r a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ).
求长度：2
2212x x a a +==ρρ
5 平面两点间的距离公式：
,A B d
=||AB =u u u r
=11(,)x y ，B 22(,)x y ).
6 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b ρ存在实数λ，使a ρ
＝λb ρ。

（1）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>OB y OA x OC +=（其中1=+y x ）
（2）与a ρ
共线的单位向量为a
a ρρ
±
7 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r
与向量,a b r r 共面的条件是存在实数
,x y 使
p xa yb =+r r r。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP +=
8 向量的平行与垂直 ：设a r
=11(,)x y ,b r =22(,)x y ，且b r ≠0r ，则：
a r ||
b r ⇔b r =λa r
12210x y x y ⇔-=.（交叉相乘差为零） a r ⊥b r (a
r ≠0r )⇔ a r ·b r
=012120x x y y ⇔+=.（对应相乘和为零） 9 线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且
12PP PP λ=u u u r u u u r ，则12
1
211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
⇔12
1OP OP OP λλ+=+u u u r u u u r u u u r ⇔12
(1)OP tOP t OP =+-u u u r u u u r u u u r （11t λ=+）. 10 三角形的重心坐标公式： △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC
的重心的坐标是123123
(,)33
x x x y y y G ++++.
11 三角形四“心”向量形式的充要条件：
设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则
（1）O 为ABC ∆的外心（外接圆的圆心，中垂线的交点）222
OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r .
（2）O 为ABC ∆的重心（中线的交点，三等分点（中位线比））0OA OB OC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r
.
（3）O 为ABC ∆的垂心（高的交点）OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
.
（4）O 为ABC ∆的内心（内切圆的圆心，角平分线的交点）0aOA bOB cOC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r
. 六、数列：
1 等差数列：
（1）通项公式： （1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数
（2
（注：该公式对任意数列都适用）
（2）前n 项和： （1）1()2n n n a a S +=
d n n na 2
)
1(1-+= ；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。

（2）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）
（3）常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；
注：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+⇔n 、m 、p 成等差。

（2）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。

（3）、{}n a 为等差数列，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。

（4）、,,0p q p q a q a p a +===则 ；
（4）等差数列的判定方法：
①定义法：d a a n n =-+1或)2(1≥=--n d a a n n （d 为常数）}{n a ⇔是等差数列 ②中项公式法：}{221n n n n a a a a ⇔+=++是等差数列
③通项公式法：q pn a n +=（q p ,为常数）}{n a ⇔是等差数列
④前n 项和公式法：Bn An S n +=2
（B A ,为常数）}{n a ⇔是等差数列
注意：①②是用来证明}{n a 是等差数列的理论依据。

2 等比数列：
（1）通项公式：（1） 1
*11()n n
n a a a q
q n N q
-==
⋅∈ ，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比。

（2
（注：该公式对任意数列都适用）
（2）前n 项和：（1）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）
（2）1
1(1)(1)
(1)
1n n na q S a q q q =⎧⎪
=-⎨≠⎪-⎩
（3）常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a ⋅=⋅ ；
注：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2
m n p a a a =⋅⇔n 、m 、p 成等比。

（2）、若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ⋅为等比数列。

（3）、{}n a 为等比数列，则232,,m m m m m S S S S S --也成等比数列。

（4）等比数列的判定方法： ①定义法：
q a a n n =+1或)2(1
≥=-n d a a
n n （q 是不为零的常数）}{n a ⇔是等比数列 ②中项公式法：}{)0(2122
1n n n n n n n a a a a a a a ⇔≠⋅=++++是等差数列
③通项公式法：n
n cq a =（q c ,是不为零常数）}{n a ⇔是等差数列
④前n 项和公式法：k kq S n -=2
（1
1
-=
q a k 是常数）}{n a ⇔是等差数列 注意：①②是用来证明}{n a 是等比数列的理论依据。

3 分期付款(按揭贷款) ：每次还款(1)(1)1
n
n
ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 七、不等式：
1 一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2
ax bx c ++同号，则
其解集在两根之外；如果a 与2
ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：
2 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.
3 常用不等式：
（1）,a b R ∈⇒2
2
2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +
∈⇒
2
a b
+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）333
3(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>
（4）b a b a b a +≤+≤-.
（5）22ab a b a b +≤≤≤
+当且仅当a ＝b 时取“=”号)。

4 不等式定理:已知y x ,都是正数，则有
（1）求和的最小值：xy y x 2≥+，当且仅当y x =取等号；
33xyz z y x ≥++，当且仅当z y x ==取等号。

n n n a a a n a a a K K 2121≥+++当且仅当n a a a ==K 21取等号。

（2）求积的最大值：2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+≤y x xy ，当且仅当y x =取等号；
3
3⎪⎭
⎫
⎝⎛++≤z y x xyz ，当且仅当z y x ==取等号。

（3）已知,,,a b x y R +
∈，若1ax by +=则有
（4）已知 ，若1a b
x y
+=则有
5 柯西不等式：()()()22
222bd ac d c b a +≥++当且仅当bc ad =时，（d
b c a =）等号成立。

()()
()2
332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++当且仅当3
32211b a b a b a ==等号成立。

柯西不等式的一般形式：(
)()
()222112222
1
2
2221n n n n b a b a b a b b b
a a a +++≥++++++K K K
当且仅当)2,1(0n i b i K ==或存在一个数k ，使)2,1(n i kb a i i K ==时，等号成立。

八、立体几何： 1 线线平行的判断：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

③垂直于同一平面的两直线平行。

2 线线垂直的判断：
①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

②在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

③若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

3 线面平行的判断：
①如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

②两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

4 面面平行的判断：
①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内两相交直线，这两个平面平行。

②垂直于同一条直线的两个平面平行。

5 线面垂直的判断：
①如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

④如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

6 面面垂直的判断：
一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

7 空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）
（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。

异
o
o
900≤<α；
注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。

有的还可以通过
补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。

（2o
o
（3）二面角：关键是找出二面角的平面角。

方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；
定义法：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线民主两条射线所成的叫叫做二面角的平面角。

注意：还可以用射影法：S
S '
cos =
θ；其中θ为二面角βα--l 的大小，S 为α内的一个封闭几 何图形的面积；'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。

一般用于解选择、填空题。

8 夹角公式：
设a r
＝123(,,)a a a ，b r
＝123(,,)b b
b ，则cos ,a b <>=
r
r
（1）线线夹角θ（共面与异面）]90,0[O
O
⇔两线的方向向量2,1n n 的夹角或夹角的补角，
><=,cos cos n n θ
（2）线面夹角θ]90,0[O
O
：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.><=n AP ,cos sin θ
（3）面面夹角（二面角）θ
]180,0[O O ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量2
,1n n 的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. ><±=21,cos cos n n θ
9 求点到面的距离的方法：
①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；
③体积法：利用三棱锥体积公式。

④向量法：B 到平面α的距离：||||
AB n d n ⋅=
u u u r u u r
r （n r
为平面α的法向量，A α∈，AB 是α的斜线段）. 10 空间向量的坐标运算：设a r
＝123(,,)a a a ，b r ＝123(,,)b b b 则：
(1) a r ＋b r
＝112233(,,)a b a b a b +++；
(2) a r －b r
＝112233(,,)a b a b a b ---；
(3)λa r
＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；
(4) a r ·b r
＝112233a b a b a b ++；
11 球的半径是R ，则其体积3
43
V R π=,其表面积24S R π=．
12 球的组合体：
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,
正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为a
(
的14),
(
的34
). 13 多面体：
（1）棱柱：两底面互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等
棱柱斜棱柱
直棱柱
正棱柱；
四棱柱平行六面体直平行六面体
侧棱不垂直于底面
侧棱垂直于底面
底面是正多边形
底面是平行四边形
侧棱垂直于底面
底面是矩形
长方体正四棱柱正方体。

（2）正棱锥：底面是正多边形，侧面是等腰三角形，顶点在底面内的射影是底面中心
性质：
Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，
截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；
Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形POH Rt ∆，POB Rt ∆，
PBH Rt ∆，BOH Rt ∆实现边，高，斜高间的换算
③面积：'
2
1
ch S =正棱锥（c 为底周长，'h 为斜高） ④体积：Sh V 3
1
=
棱锥（S 为底面积，h 为高） （3）正四面体：
对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为
a 2
2的正方体问题。

对棱间的距离为
a 2
（正方体的边长） 正四面体的高
a 6（正方体体对角线l 3
2
=） 正四面体的体积为
32a （正方体小三棱锥正方体V V V 3
1
4=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2
1
61=
） 外接球的半径为
a 6（是正方体的外接球，则半径正方体体对角线l 2
1
=） 内切球的半径为a 6（是正四面体中心到四个面的距离，则半径正方体体对角线l 61
=） 九、平面解析几何： 1 斜率公式 ：21
21
y y k x x -=
-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.y=tan a
2 直线的五种方程：
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．
（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
11
2121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠)).
两点式的推广：211211()()()()0x x y y y y x x -----=（无任何限制条件！）
底面是正方形
棱长都相等
A B
C
D
P
O
H
(4)截距式 1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
3 点到直线的距离
：d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
4 两平行线间距离：222
1B
A C C d +-=
5 圆的四种方程：
（1）圆的标准方程 2
2
2
()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程 2
20x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).
（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ
=+⎧⎨
=+⎩.
（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).
6 点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种： (直接代点简单)
若d =d r >⇔点P 在圆外;
d r =⇔点P 在圆上;
d r <⇔点P 在圆内.
7 直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：
(2
2
B
A C Bb Aa d +++=
)
8 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，则：
9 椭圆方程的定义：为端点的线段
以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,
2,
2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ
①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12
22
2φφb a b y a
x
=+
. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12
22
2
φφb a b x a y
=+
.
②一般方程：)0,0(122φφB A By Ax =+.
③椭圆上点到焦点的距离最大值和最小值在长轴端点取得（近日点和远日点）
焦点到对应准线的距离(焦准距)2
b p c
=。

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：a
b 2
2.
10 若P 是椭圆：
12
22
2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan
2θ
b
（用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2
cot 2θ
⋅b .
11 椭圆的的内外部:
（1）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的内部22
00
221x y a b ⇔
+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的外部2200
221x y a b
⇔
+>. 12 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线
以无轨迹
方程为双曲线
21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-φπ
①双曲线标准方程：
)0,(1),
0,(12
22
22
22
2φφb a b
x a
y b a b
y a
x =-
=-
.
②一般方程：)0(122πAC Cy Ax =+.
③准线到中心的距离为2a c ，焦点到对应准线的距离(焦准距)2
b p c
=。

④过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：a
b 2
2.
13 双曲线的方程与渐近线方程的关系:
(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a
b
y ±=.
(2)若渐近线方程为x a
b
y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .
(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x
（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b 。

（会推，可以不记）
14 抛物线方程：设0φp ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
注：①通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.
②px y 22
=（或py x 22
=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩
⎨⎧==2
22pt y pt
x ）（t 为参数）. 15 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =2122124)(1x x x x k -++=
16 圆锥曲线的统一定义..
1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++L .
分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =⨯⨯⨯L 2 排列数公式 ：m
n A =)1()1(+--m n n n Λ=
！
！)(m n n -.(n ，m ∈N *
，且m n ≤)．规定1!0=.
3 组合数公式：m
n C =m n m m
A A =m m n n n ⨯⨯⨯+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *
，m N ∈，且m n ≤).
组合数的两个性质:(1)m n C =m
n n C - ;
(2) m
n C +1
-m n
C =m n C 1+.规定10
=n C .
4 二项式定理 n
n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ;
二项展开式的通项公式r
r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=.
2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++L 的展开式的系数关系：
5 事件的关系与运算 ①关系：
如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：B A ⊂ 并事件（和事件）：A 、B 中至少有一个发生的事件：A Y B ，或者A +B 。

且事件（积事件）：A 、B 同时发生：A I B ，或者AB 。

互斥事件：A I B=φ，表示A 与B 不可能同时发生。

基本事件是互斥的。

对立事件：Ω-A 称为事件A 的逆事件，记为A 。

A I B =φ且I B A =⋃
属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者B A ，它表示A 发生而B 不发生的事件。

②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) (A ∪B)∩C=(AC)∪(BC)
6 德摩根率：Y I
∞
=∞
==1
1i i
i i A A
B A B A I Y =，B A B A Y I =
7 古典概型
1° {
}n ωωωΛ21,=Ω，2° n
P P P n 1
)()()(21===ωωωΛ。

设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有
P(A) =)()()(21m P P P ωωω+++Λn
m =
基本事件总数所包含的基本事件数A =
8 几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每
一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。

对任一事件A ，)
()
()(Ω=
L A L A P 。

其中L 为几何度量（长度、面积、体积）。

9 条件概率 设A 、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)
()
(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=
)/(A B P )
()
(A P AB P 。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1⇒P(B /A)=1-P(B/A)
10 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．
n 个互斥事件分别发生的概率的和：
P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．
11 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B).
n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．
12 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k
n n P k C P P -=-
13 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++L L
数学期望的性质
（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=.
(3) 若ξ服从几何分布,且1
()(,)k P k g k p q
p ξ-===，则1E p
ξ=
. 14 方差：()()()2
2
2
1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+L L
标准差：σξ=ξD . 方差的性质：
(1)()2
D a b a D ξξ+=；
(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. (3) 若ξ服从几何分布,且1
()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2
q D p ξ=
. 方差与期望的关系：()2
2
D E E ξξξ=-.
15 正态分布密度函数：(
)()()2
2
26,,x f x x μ--
=
∈-∞+∞，
式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2
(,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-⎛⎫
=Φ
⎪⎝⎭
. 十一、数系的扩充与复数的引入
1 复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部注：a bi +称为复数z 的代数形式12
-=i
2 复数(,)a bi a b R +∈与实数的关系：
3 复数的相等：,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）
4 共轭复数：
1.复数z a bi =+的共轭复数记作z ，即z a bi =-
2.i 的性质：如果*
n N ∈，则有 44142431,,1,n n n n i i
i i i i +++===-=-
3.法则（分母实数化法）： 5 复数的几何意义
1.复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面；x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 注：实轴上的点表示实数；虚轴上的点（除原点）都表示纯虚数
2.复数z a bi
=+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b
3.复数z a bi =+←−−−
→一一对应
复平面上的平面向量OZ uuu r
规定：相等的向量表示同一复数 4.模：向量OZ uuu r 的模叫做复数z a bi =+的模，记作z 或a bi +，则 22
z a bi a b =+=+
6 复平面上的两点间的距离公式： 十二、常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r 的圆
(02)r ρθπ=≤<
圆心为(,0)r ,半径为r 的圆
2cos ()2
2
r π
π
ρθθ=-
≤<
圆心为(,
)2
r π
,半径为r 的圆
)0(sin 2πθθρ<≤=r
过极点,倾斜角为α的直线
(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或
(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和 过点(,0)a ,与极轴垂直的直线
cos ()2
2
a π
π
ρθθ=-
<<
过点(,
)2
a π
,与极轴平行的直线
sin (0)a ρθθπ=<<。