2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)·理科数学

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷
Ⅱ)·理科数学
总分数 160分时长:不限
题型单选题填空题综合题
题量12 4 7
总分60 20 80
一、选择题（共12题 ,总计60分）
1.（5分）=
A.
B.
C.
D.
2.（5分）设集合，.若，则B=
A.
B.
C.
D.
3.（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A. 1盏
B. 3盏
C. 5盏
D. 9盏
4.（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
5.（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是
A. -15
B. -9
C. 1
D. 9
6.（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A. 12种
B. 18种
C. 24种
D. 36种
7.（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.
看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则
A. 乙可以知道四人的成绩
B. 丁可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩
D. 乙、丁可以知道自己的成绩
8.（5分）执行右面的程序框图，如果输入的a=-1，,则输出的S=
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.（5分）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为
A.
B.
C.
D.
10.（5分）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
11.（5分）若是函数的极值点，则的极小值为
A.
B.
C.
D.
12.（5分）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则
的最小是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共4题 ,总计20分）
13.（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则=____1____.
14.（5分）函数的最大值是____1____.
15.（5分）等差数列的前项和为，，，则
____1____.
16.（5分）已知时抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则____1____.
三、解答题（共7题 ,总计80分）
17.（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知
.
(1)(6分)求；
(2)(6分)若，的面积为2，求.
18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）.其频率分布直方图如下：
(1)(4分)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低
于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
(2)(4分)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方
法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法
新养殖法
(3)(4分)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确
到0.01）.
附：
19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
，，E是PD的中点.
(1)(4分)证明：直线CE平面PAB
(2)(8分)点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D
的余弦值.
20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.
(1)(5分)求点P的轨迹方程；
(2)(7分)设点Q在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直
线l过C的左焦点F.
21.（12分）一直函数，且.
(1)(4分)求a；
(2)(8分)证明：存在唯一的极大值点，且.
22.（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)(5分)M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求
点P的轨迹的直角坐标方程；
(2)(5分)设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大
值.
23.（10分）已知.证明：
(1)(5分)；
(2)(5分).
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷
Ⅱ)·理科数学
参考答案与试题解析
一、选择题（共12题 ,总计60分）
1.（5分）=
A.
B.
C.
D.
【解析】由复数除法的运算法则有：，故选D.
【答案】D
2.（5分）设集合，.若，则B=
A.
B.
C.
D.
【解析】由得，即是方程的根，所以，，，故选C.
【答案】C
3.（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A. 1盏
B. 3盏
C. 5盏
D. 9盏
【解析】设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B.
【答案】B
4.（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积
，故该组合体的体积.故选B. 【答案】B
5.（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是
A. -15
B. -9
C. 1
D. 9
【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示，目标函数即：y=-2x+z，其中z表示斜率为k=-2的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，，故选A.
【答案】A
6.（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A. 12种
B. 18种
C. 24种
D. 36种
【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种.故选D.
【答案】D
7.（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则
A. 乙可以知道四人的成绩
B. 丁可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩
D. 乙、丁可以知道自己的成绩
【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.
【答案】D
8.（5分）执行右面的程序框图，如果输入的a=-1，,则输出的S=
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【解析】阅读程序框图，初始化数值a=-1，k=1，S=0. 循环结果执行如下：
第一次：S=0-1=-1，a=1，k=2；
第二次：S=-1+2=1，a=-1，k=3；
第三次：S=1-3=-2，a=1，k=4；
第四次：S=-2+4=2，a=-1，k=5；
第五次：S=2-5=-3，a=1，k=6；
第六次：S=-3+6=3，a=-1，k=7；
循环结束，输出S=3,故选B.
【答案】B
9.（5分）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为
A.
B.
C.
D.
【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的离心率.故选A.
【答案】A
10.（5分）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
【解析】如图所示，补成直四棱柱，则所求角为，
，，，易得，因此，故选C.
【答案】C
11.（5分）若是函数的极值点，则的极小值为
A.
B.
C.
D.
【解析】由题可得，
因为，所以，，故，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A.
【答案】A
12.（5分）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则
的最小是
A.
B.
C.
D.
【解析】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，设，所以，，，所以，
，当
时，所求的最小值为，故选B.
【答案】B
二、填空题（共4题 ,总计20分）
13.（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则=____1____.
【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，可得
.
【答案】1.96
14.（5分）函数的最大值是____1____. 【解析】化简三角函数的解析式，则
，由可得，当，函数取得最大值1. 【答案】1
15.（5分）等差数列的前项和为，，，则
____1____.
【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有，解得，数列的前项和，裂项可得，
所以，
.
【答案】
16.（5分）已知时抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则____1____.
【解析】如图所示，不妨设点位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作
与点，于点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故.
【答案】6
三、解答题（共7题 ,总计80分）
17.（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知
.
(1)(6分)求；
(2)(6分)若，的面积为2，求.
【解析】
(1)略
(2)略
【答案】
(1)由题设及，可得，故. 上式两边平方，整理得，解得（舍去），
.
(2)由得，故。

又，则.由余弦定理及得：
，
所以.
18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）.其频率分布直方图如下：
(1)(4分)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低
于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
(2)(4分)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方
法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法
新养殖法
(3)(4分)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确
到0.01）.
附：
【解析】
(1)略
(2)略
(3)略
【答案】
(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由题意知，
旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为，故的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为，故的估计值为0.66.
因此，事件A的概率估计值为.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法62 38
新养殖法34 66
的观测值，由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关
.
(3)因为新养殖法箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积为
，
箱产量低于55kg的直方图的面积为，
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为（kg）.
19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
，，E是PD的中点.
(1)(4分)证明：直线CE平面PAB
(2)(8分)点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D
的余弦值.
【解析】
(1)略
(2)略
【答案】
(1)取PA的中点F，连接EF，BF.
因为E是PD的中点，所以，，由得，
又，所以，四边形BCEF是平行四边形，.
又，，故.
(2)由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图的空间直角坐标系A=xyz，
则，，，，，
，
设，则，，
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，
所以，，即
,①
由M在棱PC 上，设，则.②
由①②解得（舍去），.
所以，从而.
设是平面ABM的法向量，则，即
所以可取.于是，
因此二面角M-AB-D的余弦值为.
20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.
(1)(5分)求点P的轨迹方程；
(2)(7分)设点Q在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直
线l过C的左焦点F.
【解析】
(1)略
(2)略
【答案】
(1)设，，设，，. 由得.
因为在C上，所以.
因此点P的轨迹方程为.
(2)由题意知.设，，
则，，，，
.
由得，又由，故，
所以，即.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.（12分）一直函数，且.
(1)(4分)求a；
(2)(8分)证明：存在唯一的极大值点，且.
【解析】
(1)略
(2)略
【答案】
(1)的定义域为.
设，则，等价于.
因为，，，而，，得.
若a=1，则,.当0<x<1时，，单调递减；
当x>1时，，单调递增.所以x=1是的极小值点，故. 综上，a=1.
(2)由（1）知，.
设，则.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，
且当时，；当时，,当时，. 因为，所以是的唯一极大值点.
由得，故.
由得.
因为s是在的最大值点，
由，得.
所以.
22.（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)(5分)M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求
点P的轨迹的直角坐标方程；
(2)(5分)设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大
值.
【解析】
(1)略
(2)略
【答案】
(1)设P的极坐标方程为，M的极坐标方程为，
由题设知，.
由得的极坐标方程.
因此的直角坐标方程为.
(2)设b的极坐标为，由题设知，，于是
的面积
.
当时，取得最大值，所以面积的最大值为.
23.（10分）已知.证明：
(1)(5分)；
(2)(5分).
【解析】
(1)略
(2)略
【答案】
(1)
(2)因为
所以，因此.。