【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 阶段性测试题十一 算法、框图、复数、推理与证明

阶段性测试题十一
(算法、框图、复数、推理与证明)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(文)复数5i 1－2i
＝( )
A ．2－i
B ．1－2i
C ．－2＋i
D ．－1＋2i [答案] C
[解析]5i 1－2i ＝5i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝5i －10
5＝－2＋i ，选C.
(理)(2013·某某某某一中月考)下面是关于复数z ＝2
－1＋i
的四个命题：其中的真命题为( )
p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1.
A ．p 2，p 3
B ．p 1，p 2
C ．p 2，p 4
D ．p 3，p 4 [答案] C
[解析]∵z ＝2－1＋i ＝2－1－i 2＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2
＝2i ，z 的共轭复数为－1
＋i ，z 虚部为－1，故p 2，p 4为真命题．
2．(文)(2013·某某达州市一诊)如图，程序框图的输出结果是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] C
[解析]程序运行过程依次如下：
x＝1，y＝1→x≤10成立，x＝3×1＝3，y＝1＋1＝2，x≤10仍成立→x＝3×3＝9，y ＝2＋1＝3，x≤10成立→x＝3×9＝27，y＝3＋1＝4，此时x≤10不成立，输出y的值4后结束．
(理)(2013·某某市名校联考)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )
A ．3
B ．4
C ．5 5
D ．6 [答案] B
[解析] 程序运行过程依次为：开始→a ＝1，i ＝0，i ＝0＋1＝1，a ＝1×1＋1＝2，a >50不成立→i＝1＋1＝2，a ＝2×2＋1＝5，a >50不成立→i＝2＋1＝3，a ＝3×5＋1＝16，a >50仍不成立→i＝3＋1＝4，a ＝4×16＋1＝65，a >50成立，输出i 的值为4后结束，故选B.
3．(文)(2013·某某市检测)设a ＝22.5，b ＝2.50
，c ＝(12)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是
( )
A ．a >c >b
B ．c >a >b
C ．b >a >c
D ．a >b >c [答案] D
[解析]a >1，b ＝1,0<c <1，所以a >b >c .故选D.
(理)(2013·某某省二模)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
3
，若直线y ＝kx 与其一个
交点的横坐标为b ，则k 的值为( )
A ．±1 B．± 2 C ．±
3
3
D ．± 3 [答案] C
[解析] 因为椭圆的离心率为
33，所以有c a ＝33，即c ＝33a ，c 2＝13
a 2＝a 2－
b 2
，所以b 2
＝23a 2.当x ＝b 时，交点的纵坐标为y ＝kb ，即交点为(b ，kb )，代入椭圆方程中得b 2
a 2＋k 2b
2
b 2
＝1，即23＋k 2＝1，k 2
＝13，所以k ＝±33
，故选C.
4．(文)(2013·某某某某一中月考)已知a ∈R ，a －i 1＋i
为纯虚数，则a 的值为( )
A ．1
B ．－1 C.2D ．－ 2 [答案] A [解析]∵
a －i
1＋i
＝
a －i
1－i
2
＝
a －1
2
＋
－a －1
2
i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧
a －12
＝0，－a －1
2
≠0.∴a ＝1.
(理)(2013·某某大学附中月考)若复数z ＝(a 2
＋2a －3)＋(a ＋3)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是( )
A ．－3
B ．－3或1
C ．3或－1
D ．1 [答案] D
[解析] 由条件知，{ a 2
＋2a －3＝0，a ＋3≠0.∴a ＝1.
5．(2013·某某惠安三中模拟)下面给出三个类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)；
①“已知a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b ”类比推出“已知a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b ”；
②“已知a ，b ，c ，d ∈R ，若复数a ＋b i ＝c ＋d i ，则a ＝c ，b ＝d ”类比推出“已知a ，
b ，
c ，
d ∈Q ，若a ＋2b ＝c ＋2d ，则a ＝c ，b ＝d ”；
③“已知a ，b ∈R ，若a －b >0，则a >b ”类比推出“已知a ，b ∈C ，若a －b >0，则a >b ”． 其中类比结论正确的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ [答案] A
[解析]①设a ＝m 1＋n 1i ，b ＝m 2＋n 2i(m 1、m 2、n 1、n 2∈R )，若a －b ＝0，则(m 1－m 2)＋(n 1
－n 2)i ＝0，由复数相等的条件知，{ m 1－m 2＝0，n 1－n 2＝0，∴{ m 1＝m 2，n 1＝n 2，∴a
＝b ，故①正确；
②∵a、b、c、d∈Q，a＋2b＝c＋2d，∴(a－c)＋(b－d)2＝0，∵a－c，b－d∈Q，∴{a－c＝0，b－d＝0.∴{a＝c，b＝d.故②正确．
③∵不全为实数的两个复数不能比较大小，故③错．
6．(文)(2013·某某大学附中月考)已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为( )
A.4
5 B.
3
5
C.2
5 D.
1
5
[答案] B
[解析]将n＝k时A的值记作a k，则a1＝0.2，a2＝0.4，a3＝0.8，a4＝0.6，a5＝0.2，a6＝0.4，a7＝0.8，a8＝0.6，显然a n的值呈周期出现，周期为4，当n＝2012时，跳出循环，输出a2012的值后结束，∵a2012＝a4＝0.6，故选B.
(理)(2013·某某十九中期末)如图，该程序运行后输出结果为( )
A．14 B．16
C．18 D．64
[答案] B
[解析]由A＝10，A＝A－1知每循环一次A的值减小1，故A的值从10减小到2，当A＝2时，跳出循环，输出S的值，故共循环8次．由S＝S＋2知，每循环一次，S的值增加2，故最后输出S的值为2×8＝16.
7．设数列{a n}满足a1＝1，a n(2－a n＋1)＝1，则数列{a n}的前2014项的和为( ) A．2013 B．2014
C．2015 D．1
[答案] B
[解析]∵a n(2－a n＋1)＝1，∴a n＋1＝2－1
a n
，
∵a1＝1，∴a2＝1，a3＝1，…，∴a n＝1，
∴S2014＝2014.
8．(文)已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出b的值为16，则循环体的判断框内①处应填的是( )
A．3 B．2 C．4 D．16
[答案] A
[解析]a＝1，b＝1判断后得b＝21＝2，a＝1＋1＝2，再次判断后得b＝22＝4，a＝2＋1＝3，再次判断后得b＝24＝16，a＝3＋1＝4，这时经过判断满足条件，输出b的值16，∴a>3.
(理)(2013·皖南八校二次联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值X围是( )
A．(42,56] B．(56,72]
C．(72,90] D．(42,90]
[答案] B
[解析] 由S 初值为0，S ＝S ＋2k ，k 的初值为1，k ＝k ＋1知，S ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)，∵输出k 的值为9，故S ＝8×(8＋1)＝72，此时S <m 不成立，又S ＝7×(7＋1)＝56时，S <m 成立，∴56<m ≤72，故选B.
9．(文)(2013·某某一中月考)如果复数2＋a i
1＋2i
的实部和虚部互为相反数，那么实数a 等于( )
A.2B ．2 C ．－23D.23
[答案] D [解析]2＋a i 1＋2i
＝
2＋a i 1－2i 1＋2i
1－2i ＝2＋2a ＋a －4i 5＝2＋2a 5＋a －4
5
i ，因为实部和
虚部为相反数，则有2＋2a 5＋a －45＝0，解得a ＝2
3
，选D.
(理)(2013·某某市一调)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )(i 是虚数单位)在复平面上表示的点在第四象限，且z －
·z ＝5，则a ＝( )
A ．2
B ．－2 C.2D ．－ 2 [答案] B
[解析] 由(1＋a i)(1－a i)＝1＋a 2
＝5可得a ＝±2， 又1＋a i 在第四象限，则a ＝－2，故选B.
10．(2013·房山区期末)对于函数f (x )，若在其定义域内存在两个实数a ，b (a <b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的值域是[a ，b ]，则称函数f (x )为“M 函数”．给出下列四个函数
①f (x )＝x ＋1 ②f (x )＝－x 2
＋1 ③f (x )＝2x
－2 ④f (x )＝x －18
其中所有“M 函数”的序号是( ) A ．①③B ．②③ C ．②④D ．②③④ [答案] D
[解析] 对于①，∵f (x )为增函数，∴对任意a ∈R ，b ∈R ，a <b ，有f (a )＝a ＋1，f (b )＝b ＋1，故①不是M 函数；对于②，存在区间[0,1]，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－x 2
＋1∈[0,1]，∴②是M 函数；对于③，∵f (x )是增函数，若f (x )为M 函数，则f (a )＝a ，f (b )＝b ，∴方程f (x )＝x 有两不等实根a 、b ，f (x )＝x 可化为2x
＝x ＋2，∵函数y ＝2x
与y ＝x ＋2的图象
恒有两个交点，∴③是M 函数；对于④，f (x )＝x －1
8是增函数，若f (x )是M 函数，则x －
1
8＝x 应有两不等正根，此方程变形为8x －8x ＋1＝0显然有两不等正根，∴④是M 函数，故选D.
11．(文)(2013·某某市石室中学一模)定义运算a ⊗b ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a
a ≤
b ，b a >b .
则函数f (x )＝
x ⊗1
x
(x >0)的图象大致为( )
[答案] D
[解析] 令x ＝1
x
，∵x >0，∴x ＝1，
由a ⊗b 的定义知，f (x )＝⎩
⎨⎧
x ，0<x ≤1，
1
x
，x >1.
故选D.
(理)(2013·某某二十四中期中)若C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，满足，|P A
→
|＋|P B →|＝45，|P A →|－|P B →|＝25，P A →·P C →|P A →|＝P B →·P C →
|P B →|，P I →＝λIC →，B I →＝B A →
＋
m (A C →|A C →|＋A P →
|A P →|
)，m >0，则λ＝( )
A ．1 B.1
2
C.
23
3
D ．2 [答案] D
[解析] 由⎩⎪⎨
⎪⎧
|P A →|＋|P B →|＝45，
|P A →|－|P B →|＝2 5.
解得，|P A →|＝35，|P B →
|＝ 5.
由P A →·P C →|P A →|＝P B →·P C →|P B →|知，∠APC ＝∠BPC ，
由P I →＝λIC →
知，I 在直线PC 上，
∵B I →＝B A →＋m (A C →|AC →|＋AP →|AP →|)，∴AI →
＝m (AC →|AC →|＋AP →|AP →|
)，
又m >0，∴I 在∠PAC 的平分线上， ∴I 为△PAB 的内心，|PI →
|
|IC →|
＝2.
12．(2013·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、某某中学联考)给出15个数：1,2,4,7,11，…，(第n ＋1项比第n 项大n )，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序框图(如图所示)，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )
A ．i ≤16？；p ＝p ＋i －1
B ．i ≤14？；p ＝p ＋i ＋1
C ．i ≤15？；p ＝p ＋i ＋1
D ．i ≤15？；p ＝p ＋i [答案] D
[解析]①处为判断条件，满足条件时循环，否则跳出循环，输出x 的值，因为i 初值为1，故需循环15次，因此i ＝15时循环最后一次，故条件为i ≤15；
②处为计算数列中下一项的值，因为第n ＋1项比第n 项大n ，故第i ＋1项p 的值应为第i 项p 的值加上i ，即p ＝p ＋i .
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2013·南安一中期末)如图，一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行(n ≥2)的第2
个数为________．
1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9
……
[答案]n2－2n＋3
[解析]第n行的第一个数为a n＝2n－1，第二行的第二个数为a2，n≥3时，第n行的第二个数为a2＋a2＋a3＋a4＋…＋a n－1＝2＋(a1＋a2＋…＋a n－1)＝n2－2n＋3.
14．(文)(2013·某某西工大附中训练)阅读程序框图，若输入m＝4，n＝6，则输出a ＝________，i＝________.
[答案]12 3
[解析]程序运行过程依次为：m＝4，n＝6，i＝1，a＝4×1＝4，a不能被6整除→i ＝1＋1＝2，a＝4×2＝8，a不能被6整除→i＝2＋1＝3，a＝4×3＝12，a能被6整除，输出a＝12，i＝3.
(理)(2013·南安一中期末)执行下边的程序框图，若p＝4，则输出的S＝________.
[答案]1516
[解析] 由条件知，S ＝12＋122＋123＋124＝15
16
.
15．(文)(2013·某某师大附中四模)设函数f 1(x )＝x 1＋|x |，f 2(x )＝f [f 1(x )]＝x
1＋2|x |
，
f 3(x )＝f [f 2(x )]＝
x
1＋3|x |
，…，当n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]＝________.
[答案]f n (x )＝x
1＋n |x |
[解析] 由归纳推理可知f n (x )＝x
1＋n |x |
.
(理)(2013·某某西工大附中训练)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×1
22
＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－1
4×23，…，由以上等式推测得到一个一般
的结论：对于n ∈N *
，
31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋1×1
2
n ＝________. [答案] 1－
1
n ＋12n
[解析] 第n 个等式的左边有n 项，各项都是两数的乘积，其第一个因数依次为
31×2
，42×3，53×4，…，n ＋2n n ＋1，第二个因数依次为12，122，123，…，12
n .等式的右边都是两项的
差，减数的分母依次是：2×2,3×22,4×23，…，(n ＋1)·2n ，故对于n ∈N *
，有31×2×12＋
42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋1×12n ＝1－1n ＋1·2n
. 16．(文)(2013·某某市石室中学一模)设m 是一个正整数，对两个正整数a 、b ，若a －b ＝km (k ∈Z ，k ≠0)，我们称a 、b 模m 同余，用符号a ＝b (Mod m )表示；在6＝b (Mod m )中，当b m
∈N *
，且m >1时，b 的所有可能取值为________．
[答案] 2、3、4
[解析]∵6＝b (Mod m )，∴6－b ＝km (k ∈Z *
且k ≠0)，又b m
∈N *，∴b ＝m ·n (n ∈N *
)，∴6＝m (n ＋k )，∵m 为正整数且m >1，∴m ＝2,3或6，当m ＝2时，n ＋k ＝3，
∵k ≠0，∴{ k ＝1，n ＝2.或{ k ＝2，n ＝1.∴b ＝2或4. 当m ＝3时，n ＋k ＝2，∴{ k ＝1，n ＝1.b ＝3， 当m ＝6时，n ＋k ＝1无解． 综上知b ＝2、3或4.
(理)(2013·苏南四校联考)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系O －xyz 中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面的(点法式)方程为________(化简后用关于x ，y ，z 的一般式方程表示)．
[答案]x ＋2y －z －2＝0
[解析] 类比直线的点法式方程可得平面的点法式方程为：－(x －1)－2(y －2)＋(z －3)＝0，即x ＋2y －z －2＝0.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(文)已知复数z ＝a 2－4a ＋3a ＋2＋(a 3＋a 2
－2a )i(a ∈R )，试某某数
a 分别取何值时，
(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数． [解析] (1)∵z 为实数，∴a 3
＋a 2
－2a ＝0， ∴a ＝0，－2或1， 又a ＋2≠0，∴a ＝0或1.
(2)∵z 为虚数，∴a 3
＋a 2
－2a ≠0， ∴a ≠0，－2,1.
(3)∵z 为纯虚数，∴⎩⎨
⎧
a 2
－4a ＋3
a ＋2
＝0a 3＋a 2－2a ≠0
，∴a ＝3.
(理)有一个均匀的正四面体，它的四个面上分别标有数字0,1，－1,2，现随机投掷两次，记第一次向下一面上的数字为a ，第二次向下一面上的数字为b ，记z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)．
(1)求z 为纯虚数的概率；
(2)求z 在复平面内的对应点在第二象限的概率； (3)若|z |＝2，称z 为“好数”，求所有好数的和与积．
[解析]a 的可能取值有4个，b 的可能取值也有4个，所有(a ，b )的取法，共有4×4＝16种．
(1)记“z 为纯虚数”为事件A ，z 为纯虚数时，a ＝0，b ≠0，这样的(a ，b )有(0,1)，(0，－1)，(0,2)共3个，∴所求概率P (A )＝3
16
.
(2)设“z 在复平面内的对应点在第二象限”为事件B ，则事件B 包含的基本事件有：(－1,1)，(－1,2)共2个，
∴P (B )＝216＝18
.
(3)满足|z |＝2的复数有：1＋i,1－i ，－1＋i ，－1－i ， 它们的和为(1＋i)＋(1－i)＋(－1＋i)＋(－1－i)＝0， 它们的积为(1＋i)(1－i)(－1＋i)(－1－i)＝2×2＝4.
18．(本小题满分12分)(文)(2013·某某十九中质检)已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，其他两个视图是矩形．已知D 是这个几何体的棱A 1C 1的中点．
(1)求出该几何体的体积； (2)求证：直线BC 1∥平面AB 1D ； (3)求证：平面AB 1D ⊥平面AA 1D .
[解析] 由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为3的正三角形，三棱柱的高h ＝3，
(1)∵底面是高为3的正三角形，∴底面边长为2， ∴底面面积S ＝1
2×2×3＝3，
∴体积V ＝Sh ＝3 3.
(2)连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝O ， ∵正三棱柱侧面是矩形， ∴点O 是A 1B 的中点，
因为D 为棱A 1C 1的中点，连接DO ， ∴DO 是△A 1BC 1的中位线，
∴BC 1∥DO ，又DO ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ， ∴BC 1∥平面AB 1D .
(3)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，三角形A 1B 1C 1为正三角形， ∴B 1D ⊥A 1C 1，又由正三棱柱性质知平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，
且平面A 1B 1C 1∩平面ACC 1A 1＝A 1C 1，B 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴B 1D ⊥平面AA 1D ， 又B 1D ⊂平面AB 1D ，∴平面AB 1D ⊥平面AA 1D .
(理)(2013·某某省五模)如图所示，等腰梯形PDAB 中，PB ∥DA ，PB ＝4，AD ＝PD ＝2，C 为PB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，使平面PCD ⊥平面ABCD ，点M 为折叠后棱PB 的中点．
(1)求证：PA ⊥平面CDM ； (2)求二面角D －MC －B 的余弦值．
[解析] 折叠后可得底面ABCD 为边长为2的菱形，△PCD 是边长为2的等边三角形． (1)作PO ⊥CD 于O ，连接OA ，则OD ＝OC ， ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ， 又△ACD 也为等边三角形，∴OA ⊥CD . ∴CD ⊥平面POA ，∴CD ⊥PA .
以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O －xyz ，则A (3，0,0)，P (0,0，3)，
C (0,1,0)，B (3，2,0)，M (
32，1，32)，则CM →＝(32，0，32
)，CB →＝(3，1,0)，PA →
＝(3，0，－3)，
∴PA →·CM →
＝0，PA ⊥CM ， ∵CM ∩CD ＝C ，∴PA ⊥平面CDM . (2)设平面CMB 的法向量为n 1， 由⎩⎪⎨
⎪⎧
n 1·CM →＝0，
n 1·CB →＝0.
得⎩⎪⎨⎪⎧
3
2
x ＋32z ＝0，
3x ＋y ＝0.
取x ＝1，则z ＝－1，y ＝－3，∴n 1＝(1，－3，－1)．
由(1)可取平面CDM 的法向量为n 2＝PA →
＝(3，0，－3)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝105，
由图可知二面角D －MC －B 为钝二面角，所以其余弦值为－
105
. 19．(本小题满分12分)已知数列{a n }的各项全为正数，观察流程图，当k ＝2时，S ＝1
4；
当k ＝5时，S ＝4
13
.
(1)写出k ＝4时，S 的表达式；(用a 1，a 2，a 3，a 4，…表示) (2)求{a n }的通项公式；
(3)令b n ＝2n
a n ，求
b 1＋b 2＋…＋b n . [解析] (1)当k ＝4时，S ＝
1
a 1a 2＋
1
a 2a 3＋
1
a 3a 4
.
(2)由流程图中a i ＋1＝a i ＋d 提供的信息知，{a n }是一个等差数列， 设其公差为d ，依题意d ≠0. 当k ＝2时，S ＝1
a 1a 2＝14； 当k ＝5时，
S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋1a 4a 5＝1d (1a 1－1a 5)＝4
13， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1a 2＝4，1d a 5－a 1a 1a 5
＝4
13.即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1
a 1＋d ＝4，
a 1a 1＋4d ＝13，
解得a 1＝1，d ＝3，即a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2. (3)设T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，
则T n ＝1·21
＋4·22
＋7·23＋…＋(3n －2)·2n
，① 2·T n ＝1·22
＋4·23
＋7·24
＋…＋(3n －2)·2n ＋1
，②
①－②，得
－T n＝1·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n－(3n－2)·2n＋1＝2＋121－2n－1
1－2
－(3n－
2)·2n＋1
＝(5－3n)·2n＋1－10，
所以T n＝(3n－5)·2n＋1＋10.
20．(本小题满分12分)(文)为了解高中三年级学生的身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中三年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2.
表1：男生身高频数分布表
身高(cm)[160,165)[165,170)[170,175)
频数2514
身高(cm)[175,180)[180,185)[185,190]
频数134 2 表2：女生身高频数分布表
身高(cm)[150,155)[155,160)[160,165)
频数1712
身高(cm)[165,170)[170,175)[175,180)
频数63 1
(1)估计该校男生的人数并完成下面的频率分布直方图；
(2)估计该校学生身高(单位：cm)在[165,180)的概率；
(3)在男生样本中，从身高(单位：cm)在[180,190]的男生中任选2人，求至少有1人身高(单位：cm)在[185,190]的概率；
(4)将样本中女生身高落在[150,155)，[155,160)，…，[175,180)内的人数依次记为
A i (i ＝1,2,3,4,5,6)，求下面程序框图运行后的输出结果．
[解析] (1)样本中男生人数为40，
由分层抽样比例为10%可得全校男生人数约为400人． 频率分布直方图如图所示．
(2)由表1、表2知，样本中身高在[165,180)的学生人数为5＋14＋13＋6＋3＋1＝42，样本容量为70，所以样本中学生身高在[165,180]的频率f ＝4270＝3
5
，
故由f 估计该校学生身高在[165,180)的概率p ＝3
5
.
(3)样本中身高在[180,185)的男生有4人，设其编号为1、2、3、4，样本中身高在[185,190]
的男生有2人，设其编号为5、6，从上述6人中任取2人的所有可能的情况为{1,2}、{1,3}、{1,4}、{1,5}、{1,6}、{2,3}、{2,4}、{2,5}、{2,6}、{3,4}、{3,5}、{3,6}、{4,5}、{4,6}、{5,6}，共15种，其中至少有1人身高在[185,190]的可能结果有9种，
故所求概率p ＝915＝3
5
.
(3)由程序框图知，i 初值为6，步长1，当i ＝3时，执行最后一次后i ＝2，此时m ＝
A 6＋A 5＋A 4＋A 3，跳出循环f ＝1
30(A 6＋A 5＋A 4＋A 3)＝130×(1＋3＋6＋12)＝1115
，
故输出结果为“女生身高不低于160cm”的频率为11
15
.
(理)某制造商3月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检测，得到100个球的直径A i (单位：mm ，i ＝1,2,3，…，100)的值，已知A i ∈[39.95,40.03]，将数据分组得到统计数据的程序框图和频率分布表：
程序框图：
频率分布表：
分组频数频率
[39.95,39.97)
[39.97,39.99)
[39.99,40.01)
[40.01,40.03] 0.20
合计100
b，c －a成等比数列，依据所给数据求a、b、c、d的值．
(2)补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并画出频率分布直方图；
(3)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm，试求这批乒乓球的直
径误差不超过0.03mm 的概率；
(4)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．
[解析] (1)由频率分布表中A i 在[40.01,40.03)内的频率为0.20知，d ＝0.20×100＝20.
结合已知条件知⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋b ＝a ＋c ， ①b 2
＝a c －a ， ②
a ＋
b ＋
c ＝80. ③
由①得c ＝a ＋2b ，代入②得b ＝2a ，∴c ＝5a ， 代入③得a ＝10，∴b ＝20，c ＝50. (2)频率分布表如下：
分组 频数 频率 [39.95,39.97) 10 0.10 [39.97,39.99) 20 0.20 [39.99,40.01) 50 0.50 [40.01,40.03]
20 0.20 合计
100
1
(3)误差不超过0.30mm ，即直径落在[39.97,40.03]内，其概率约为0.02＋0.50＋0.20＝0.90.
(4)这批乒乓球直径的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．
21．(本小题满分12分)(文)(2013·某某市新津中学月考)已知数列{a n }满足：a 1＝2，
a n ＋1＝2－1
a n
，n ＝1,2,3,4，….
(1)求证：数列{
1
a n －1
}为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；
(3)令T n ＝ i ＝1
n
a i ＋1a i ，证明：T n >n －3
4
. [解析] (1)证明：∵a n ＋1＝2－1
a n
，
∴
1a n ＋1－1－1
a n －1
＝
12－1
a n
－1
－
1a n －1
＝
a n
a n －1－1a n －1＝a n －1a n －1
＝1. ∴数列{
1
a n －1
}为等差数列． (2)由(1)得，{1a n －1}为等差数列，公差为1，首项为12－1
＝1， ∴
1
a n －1
＝1＋(n －1)＝n .
∴a n ＝1＋1n ＝n ＋1
n
.
(3)∵a n ＋1＝n ＋2
n ＋1
， ∴
a n ＋1a n ＝n n ＋2n ＋12＝1－1
n ＋1
2
. ∴T n ＝n －[122＋132＋142＋…＋
1
n ＋1
2
]．
当n ≥2时，T n >n －[122＋12×3＋1
3×4＋…＋
1
n n ＋1
] ＝n －34＋1n ＋1>n －3
4
.
当n ＝1时，T 1＝1－122＝34>1－34.
综上所述：T n >n －3
4
.
(理)(2013·某某鱼台一中质检)已知数列{a n }的相邻两项a n ，a n ＋1是关于x 的方程x 2
－2n x ＋b n ＝0(n ∈N *
)的两根，且a 1＝1.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，问是否存在常数λ，使得b n －λS n >0对任意n ∈N *
都成立，若存在，求出λ的取值X 围；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)∵a n ，a n ＋1是关于x 的方程x 2
－2n x ＋b n ＝0(n ∈N *
)的两根，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ＋a n ＋1＝2n
，b n ＝a n a n ＋1.
由a n ＋a n ＋1＝2n ，得a n ＋1－13×2n ＋1＝－(a n －13
×2n
)，
故数列{a n －13×2n }是首项为a 1－23＝1
3，公比为－1的等比数列．
∴a n －13×2n ＝13×(－1)n －1
，
即a n ＝13
[2n －(－1)n
]．
∴b n ＝a n a n ＋1＝19[2n －(－1)n ]·[2n ＋1－(－1)n ＋1
]
＝19[22n ＋1－(－2)n
－1]． (2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n
＝13{(2＋22＋23＋…＋2n )－[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n
]} ＝13[2n ＋1－2－－1n
－12]． ∵b n －λS n >0对任意n ∈N *
都成立，
∴19[22n ＋1－(－2)n －1]－λ3[2n ＋1－2－－1n
－12]>0(*)对任意n ∈N *都成立． 当n 为正奇数时，由(*)式得19[22n ＋1＋2n －1]－λ3(2n ＋1
－1)>0，
即19(2n ＋1－1)(2n
＋1)－λ3(2n ＋1－1)>0， ∵2
n ＋1
－1>0，∴λ<13(2n ＋1)对任意正奇数n 都成立．当且仅当n ＝1时，13
(2n
＋1)有最
小值1.∴λ<1.
②当n 为正偶数时，由(*)式得19[22n ＋1－2n －1]－λ3(2n ＋1
－2)>0，
即19(2n ＋1＋1)(2n
－1)－2λ3
(2n －1)>0， ∵2n
－1>0，∴λ<16(2n ＋1＋1)对任意正偶数n 都成立．
当且仅当n ＝2时，16(2n ＋1＋1)有最小值3
2
.
λ<32
.
综上所述，存在常数λ，使得b n －λS n >0对任意n ∈N *
都成立，λ的取值X 围是(－∞，1)．
22．(本小题满分14分)(文)定义：已知函数f (x )与g (x )，若存在一条直线y ＝kx ＋b ，使得对公共定义域内的任意实数x 均满足g (x )≤f (x )≤kx ＋b 恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y ＝kx ＋b 为曲线f (x )与g (x )的“左同旁切线”．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝1－1
x
.
(1)证明：直线y ＝x －1是f (x )与g (x )的“左同旁切线”；
(2)设P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))是函数f (x )图象上任意两点，且0<x 1<x 2，若存在实数x 3>0，使得f ′(x 3)＝
f x 2－f x 1
x 2－x 1
.请结合(1)中的结论证明：x 1<x 3<x 2.
[解析] (1)要证明结论即证1－1
x
≤ln x ≤x －1(x >0)．
令h (x )＝ln x －x ＋1(x >0)，则h ′(x )＝1x －1＝1－x
x
，
易知h (x )在x ＝1处取得最大值h (1)＝0，
所以ln x －x ＋1≤0，即ln x ≤x －1(x >0)，等号在公共点(1,0)处成立．
再令φ(x )＝ln x －1＋1x (x >0)，则φ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x
2，易知φ(x )在x ＝1处取得最
小值φ(1)＝0，
所以ln x －1＋1x ≥0，即ln x ≥1－1
x
(x >0)，等号在公共点(1,0)处成立．
故对任意x ∈(0，＋∞)，恒有1－1
x
≤ln x ≤x －1(x >0)成立，即直线y ＝x －1是f (x )与
g (x )的“左同旁切线”．
(2)因为f ′(x )＝1x ，所以f ′(x 3)＝1x 3＝ln x 2－ln x 1x 2－x 1＝ln
x 2x 1x 2－x 1，所以x 3＝x 2－x 1
ln x 2
x 1
.
解法1：(作差法，利用(1)的结论) 因为x 3－x 1＝
x 2－x 1ln x 2x 1－x 1>x 2－x 1
x 2x 1
－1－x 1＝x 1－x 1＝0， x 3－x 2＝x 2－x 1ln x 2x 1－x 2<x 2－x 1
1－x 1x 2
－x 2＝x 2－x 2＝0，
所以x 1<x 3<x 2.
解法2：(反证法：利用(1)的结论)假设x 3≤x 1，则
x 3＝x 2－x 1ln x 2x 1
≤x 1⇔x 2－x 1≤x 1ln x 2x 1<x 1(x 2
x 1－1)＝x 2－x 1，
显然自相矛盾，故x 1<x 3；同理可证x 3<x 2.
(理)(2013·东北三省第一次大联考)已知函数f (x )＝ln x －
a x －1
x ＋1
.
(1)若函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，求a 的取值X 围．
(2)设m 、n 为正实数，且m >n ，求证：m －n ln m －ln n <m ＋n
2
.
[解析] (1)f ′(x )＝1x －a x ＋1－a x －1
x ＋12
＝x 2＋2－2a x ＋1
x x ＋12
，
∵f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，
∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴x 2
＋(2－2a )x ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立， 当x ∈(0，＋∞)时，
由x 2
＋(2－2a )x ＋1≥0得，2a －2≤x ＋1x
，
设g (x )＝x ＋1
x
，x ∈(0，＋∞)，∵g (x )≥2
x ·1
x
＝2，当且仅当x ＝1时，g (x )有最小值2，∴2a －2≤2，
∴a ≤2，∴a 的取值X 围是(－∞，2]．
(2)要证m －n ln m －ln n <m ＋n
2，只要证m n －1ln m n
<m n ＋12
，
即证ln m n >2m n －1m n ＋1，即证ln m
n －2m
n －1m
n
＋1
>0，
设h (x )＝ln x －
2
x －1
x ＋1
，由(1)知，h (x )在(0，＋∞)上为增函数，
又m n >1，∴h (m n
)>h (1)＝0， 即ln m
n －2m
n －1m
n
＋1
>0，
∴
m －n ln m －ln n <m ＋n
2
.。