苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)---第四章4.11-4.13#5(延边大学)三年级

4.11 已知波函数cos sin i i e e αβδχδ⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算它的极化矢量p ，并求能将χ旋转为10⎛⎫
⎪⎝⎭
态的转动
矩阵R U 。

解： *
()122Re()2Re(cos sin )2cos()cos sin i x p C C e βαδδβαδδ-===-
*()122Im()2Im(cos sin )2sin()cos sin i y p C C e βαδδβαδδ-===-
22
2212cos sin z p C C δδ=-=-
其中12cos ,sin i i C e C e αβδδ==
故222cos()cos sin 2sin()cos sin cos sin p βαδδβαδδδδ-⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
由转动矩阵的定义，知：
10⎛⎫
⎪⎝⎭
＝R U χ 设11122122R a a U a a ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则： 10⎛⎫ ⎪⎝⎭＝11122122a a a
a ⎛⎫
⎪⎝⎭
cos sin i i e e αβδδ⎛⎫
⎪⎝⎭
故：11122122cos sin 1cos sin 0
i i i i a e a e a e a e αβ
αβ
δδδδ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 所以：11122122sin sin()cos sin sin()sin 0
a a a a β
βαδ
α
αβδ=
-=-==
即：11122122sin sin sin()cos sin()sin 00
R a a U a a βα
βαδαβδ
⎛
⎫⎛⎫
⎪--== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝
⎭
4.12 由下述三个纯态不相干混合而成的角动量为1的粒子体系，假定每个态都等概率，这三个态是：
(1)
100ψ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
；(2)001001ψ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭；(3)
001ψ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（1） 求这个体系的密度矩阵ρ，并证明1tr ρ=。

（2） 选
1=，角动量为1的矩阵是
010********;0;0002201000001x y z i L L i i L i -⎫⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪==-=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

求x y z L L L 、、的平均值。

解：（1）()
()
()(1)
1110001000000000ρ
χχ
+⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()
(
)
(2)
200001
1002211022ρ
χχ
+⎛
⎫⎛
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎝ ⎪ ⎪⎝⎭
()()
()(3)
3000000010001001ρχχ
+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因为三个纯态不相干，故
()()()
12300
0100000111111()0000
0003332230000011
102
210031106611062ρρρρ⎛
⎫
⎪
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
⎛⎫
⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
故111
1362
tr ρ=
++=，得证。

（2
）1000030101
1()010126612121260101106
2124
12x x L tr L tr tr ρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎛⎫⎪ ⎪ ⎪
⎪====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭
1
000063001
1()0
00266121212001106
2y
y i L tr L tr i i tr i ρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪
⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪
⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
1
10000331001111()00000066660011110006
22z z L tr L tr tr ρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
4.13讨论两个由同样的谐振子组成的体系：体系A 中有半数振子处在基态，半数振子处在第一激发态；体系B 中所有振子在0t =
[01+态，求： （1）在0t =时，体系A 和体系B 的密度矩阵A ρ和B ρ；
（2）对于这两个体系，x 的平均值x ，p
的平均值p 是否随t 变化？说明理由。

解：（1）在0t =时，
()()10011120110101220
2A n n n n ρ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯+⨯⨯=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭
11
122
11
22
A
n
n
ρ
⎛⎫
⎪
=⨯⨯= ⎪
⎪
⎪
⎝⎭
其中，n为谐振子数。

（2）对于体系A：
1
1
0,
2
1
1,
2
p
p
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
x的平均值
11
0011
22
x x x
=+
p的平均值
11
0()01()1
22
p i i
x x
∂∂
=-+-
∂
∂
上两式中：
2222
11
22
44
0,1,()
x x m
xe
ααω
α
ππ
--
===都与时间无关，故在体系A 中x的平均值
x，p的平均值p都不随t变化。

对于体系B：由于体系B中所有振子在0
t=
[01
+态，故在t时刻：
01
[01]
E E
i
t i t
e e
--
+态。

则：
x的平均值
00
11
00
11
1
(01)][(01)]
2
1
{00110110}
2
E E
E E
i t i t i t i t
E E
E E
i t i t i t
i t
x e e x e e
x x x e e x e e
--
--
=++
=+++
由于01
x和10
x均不等于0，故在体系B中x的平均值x，随t变化。

p的平均值
00
11
00
11
1
(01)]()[(01)]
2
1
{0()01()10()11()0} 2
E E
E E
i t i t i t i t
E E
E E
i t i t i t i t
p e e i e e
x
i i i e e i e e
x x x x
--
--
∂
=+-+
∂
∂∂∂∂
=-+-+-+-
∂∂∂∂
由于0()1
i
x
∂
-
∂
和1()0
i
x
∂
-
∂
均不等于0，故在体系B中p的平均值p，随t变化。