陈奕戴高峰谢欢欣b题-平面连杆摆动机构 原理研究

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平面连杆摆动机构
原理研究
华东师范大学
戴高峰陈奕谢欢欣
摘 要
本题研究的对象是某平面连杆摆动机构的原理及其实际应用问题。

首先，根据装置的结构图，由几何关系得出该机构中滑块运动的位移和摆杆的摆角的函数关系满足22(sin )cos x l h r r ββ=±---，该函数关系并不是唯一的，与滑块的运动位置有一定关系。

当PQ 杆与水平轴的夹角为锐角时，
22(sin )cos x l h r r ββ
=---；夹角为钝角时，22(sin )cos x l h r r ββ=----。

然后，在此函数的基础上，分析该连杆摆动机构中摆角β的变化范围、滑块
P 的行程（即滑动的最大距离）及滑块P 运动速度的均匀性。

发现对应于不同的l 、r 和h 的取值，这三个问题的结果不尽相同。

于是建立了三个模型，分别就l 、r 和h 的三种不同的长度关系（0≤h-l<r ，0<l-h<r ，l h r -≥）进行讨论。

当0≤h-l<r 时，β在[arcsin
h l r -,arcsin h l
r
π--]范围内运动，P Q O 共线位移达到最大值和最小值，位移取值范围为2222[(),()]l r h l r h -+-+-。

当0<l-h<r 时，β在[0,arcsin
][2arcsin ,2]l h l h
r r
πππ--+- 范围内运动，P Q O 共线达到最大值和最小值，位移取值范围为2222[(),()]l r h l r h -+-+-。

当l h r -≥时，β在[0,2]π范围内运动，P Q O 共线达到最大值和最小值，位移取值范围为2222[(),()]l r h l r h --+-。

三种模型的运动均匀性讨论是通过对位移与摆角的函数关系式进行二次求
导后分析滑块运动的加速度大小变化来具体分析的。

从图象可以分析出不同的模型对应的均匀性时不同的。

第一种关系模型的加速度波动范围很大，当h 和r 取定值后，改变l 的值，l 的值越接近h ，波动范围越小，均匀性越好。

因此可以通过改变连杆的长度来实现对滑块速度均匀性的控制。

在第二种关系模型中，在满足模型假设条件的前提下，随着l 的值越远离h ，滑块运动加速度波动的范围越小，均匀性越好。

在第三种关系模型中，加速度的波动范围随着l 取值的变化没有很大的波动，且波动范围都比较小，均匀性很好。

三种模型都采用了作图法进行研究。

再用Matlab 程序核对。

对结果进行系统地分析。

发现理论结果和实验结果均比较吻合。

特别的，我们还讨论了模型三的一个特例，假设在h=0的情况下滑块的行程及加速度的最值，得出加速度近似公式，并分析了其均匀性。

最后，对这三个模型进行评价。

讨论惯性在这三个模型中的作用并评价实际应用中怎样利用惯性等因素来完成特定的工作要求。

并举例说明这种平面摆动机构在实际生活中为人们所利用。

评价该机构的利弊。

一、问题描述
某种平面连杆摆动机构的结构和某时刻的位置如图1所示，摆杆OQ绕O点摆动，通过连杆PQ带动滑块P水平往复运动，设摆杆长OQ＝r，连杆长PQ＝l，摆角中心O到滑轨O’P的距离为h，且r<h<l+r.
根据这个摆动机构使用的一般要求，作出适当的假设，解决以下问题：
1）P的位移x与摆角β的函数关系；
2）摆角β的变化范围；
3）滑块P的行程（即滑动的最大距离）；
4）讨论滑块P运动速度的均匀性。

图1 某平面连杆摆动机构结构图
二、问题分析
从图上可以直观看出，如果连杆PQ和OQ的夹角保持不变，那么由三角形余弦定理得出OP的长度是固定的。

随着摆角β的变化，P点的竖直位置是在变化的。

这样就不能保证滑块P水平往复运动。

据此我们可以得出连杆PQ和OQ的夹角是在不断变化的。

根据问题描述，我们经计算得出滑块P的位移x与摆角β的函数关系。

在此基础上，建立三个模型分析了当l、r和h的长度关系满足三种不同的关系（0≤h-l<r，0<l-h<r，l h r
-≥）时，受到连杆长度的限制，摆角的范围及滑块位移的具体变化情况。

行程即为最大位移值-最小位移值。

而对于滑块运动速度的均匀性，先对滑块P的位移x进行二次求导，得到加速度的解析式，再分析其大小变化情况来判断均匀性。

三、模型假设、建立与求解
3．1 问题1）的求解
图2 位移与摆角关系图
根据上图，由几何关系可得：
{
sin sin cos cos r l h
x r l βαβα+==-+ ①
解得:
22(sin )cos x l h r r ββ=±--- ②
②式即为P 的位移x 与摆角β的函数关系。

由①，②式可以看出：22(sin )l h r β±--=cos l α，从而得出
22(sin )cos l h r βα--和的符号相同。

所以： 2222cos 0,[0,](sin )cos 2cos 0,(,](sin )cos 2
l h r r l h r r π
ααββ
π
ααπββ
≥∈---<∈---即时，x=即时，x=-
3．2 问题2）、3）、4）的求解
（一）第一种关系假设模型
1、模型假设
（1）滑轨O ’P 为X 轴，O'为坐标原点，X 轴正向向左； （2）摆角中心O 到滑轨O ’P 的距离为h ； （3）摆杆长OQ=r ，连杆长PQ ＝l ；
（4）l 、r 和h 的长度关系满足：0≤h-l<r,l>0；
0400035（5）杆OQ与水平轴负向的夹角β（0≤β≤2π）；
（6）杆PQ与X轴负向的夹角α（0≤α≤π）；
（7）滑块P的位移x；
（8）摆角的变化是均匀的；
（9）滑块运动初始位置取β为最小值时的位置。

2、模型的建立
满足第一种关系假设的模型如下图所示：
图3 第一种关系假设模型结构图
3、模型的求解
（1）摆角β的范围求解
要求这种情况下的摆角β变化范围，就要借助图象来分析。

以下分析摆角β取到最值的情况：
①当l=h时，显然β的最小值是0°；最大值是180°。

（如图4）
图4 l=h时，β取到最值时候的位置示意图
②当l<h时，β在α=90°时取到最值。

分析如下：
若连杆可以从OQ位置继续向OQ1位置移动，则存在小于图中β的值，且滑块在水平轴上运动。

由图中虚线可知，Q1到X轴的垂直距离大于l，所以不存在PQ1=l，使得上述情况成立。

由此说明，当点P位于X轴负方向且α=90°时（即
图5中P点的位置），β取到最小值arcsin h l
r
-。

由对称性，当点P位于X轴正
方向且α=90°(即图5中P''点的位置)时，β取到最大值arcsin h l r
π
-
-。

综上
所述，β的取值范围为：[arcsin h l
r
-
,arcsin
h l
r
π
-
-]。

图5 0<h-l<r时，β取到最值时候的位置示意图（2）位移x的范围求解
图6 0<h-l<r时，滑块P运动位移范围变化示意图
如图6所示,连杆运动到摆角最小值之后，当β逐渐增大时,P 点的运动趋势应为向X 轴负方向。

当Q 点变换到Q'' 时，滑块P 运动到P''点,此时O 、Q''、P''三点共线，对应的摆角为β’。

此位置为滑块X 轴负半轴上距离原点最远点
''''''90,''''''OM MP OP MP N MN MP M MN OP X β+>∠>>+>∴ （由三角形两边和大于第三边得，又故。

O 与实际矛盾。

因此当摆角从继续增大时滑块不会再往轴负方向运动。

P 是滑块运动的最远点。

）
此时滑块P 的最小位移为22
()l r h -+-，由该机构的对称性可得，滑块在X 轴正
半轴上的最远点也是在两杆位于同一直线时刻取到。

所以滑块P 的行程为：
22
2()l r h +-。

（3）滑块P 运动速度的均匀性分析
首先分析滑块的整体运动情况。

摆角从初始位置开始运动，滑块向X 轴正方向运动。

直至运动到摆角最大值为止对应的α90≤ ，位移随摆角变化的函数关系式应为22(sin )cos l h r r ββ---x=。

此过程中滑块运动的均匀性由
22
x
β∂∂=-1/(l^2-(h-r*sin(a))^2)^(3/2)*(h-r*sin(a))^2*r^2*cos(a)^2-1/(l^2-(h-r*sin(a))^2)^(1/2)*r^2*cos(a)^2-1/(l^2-(h-r*sin(a))^2)^(1/2)*(h-r *sin(a))*r*sin(a)+r*cos(a)的图象来判断。

而当α90> 时，位移随摆角变化的函数关系式应为22(sin )cos l h r r ββ---x=-。

此过程中滑块运动的均匀性由
22
x
β∂∂=1/(l^2-(h-r*sin(a))^2)^(3/2)*(h-r*sin(a))^2*r^2*cos(a)^2+1/(l^2-(h-r*sin(a))^2)^(1/2)*r^2*cos(a)^2+1/(l^2-(h-r*sin(a))^2)^(1/2)*(h-r*sin(a))*r*sin(a)+r*cos(a)的图像来判断。

用Matlab 作出满足第一种关系模型假设条件的滑块运动的加速度图象如下：
00.51
1.52
2.53-25
-20
-15
-10
-5
a
00.51
1.52
2.53
5
10
15
20
25
a
图7-1 α<90° 图7-2 α>90°
图7 r=2，h=5，l=5时加速度图象
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6 1.8
2
2.2
2.4
2.6
-40
-35-30-25-20-15-10-50a
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6 1.82
2.2 2.4 2.6
0510152025303540a
图8-1 α<90° 图8-2 α>90° 图8 r=2，h=5，l=4时加速度图象
由上图可见第一种关系模型中滑块运动是不均匀的。

因为加速度不是零而且不是恒定的，加速度的大小变化较大。

（二）第二种关系假设模型
1、 模型假设
（l ）r 和h 的长度关系满足：0<l-h<r （2）其余假设条件同模型（一） 2、 模型建立
满足第二种关系假设的模型如下图所示：
图9 第二种关系假设模型结构图
3、 模型求解
（1）摆角β的范围求解
图10 0<l-h<r 时，β取到最值时候的位置示意图
图中所示位置分别是第二种条件假设模型中该连杆机构摆角β的范围边际位置。

当杆r 位于图中所示位置时，若可以继续想下摆动，则Q 点（Q''点）的竖直位置下降，此时Q 点（Q''点）到X 轴的最小距离大于l ，这是不可能的。

因此连杆运动到图中两种位置以后均不会继续向下摆动。

由几何关系得，摆角β
的范围为：[0,arcsin ][2arcsin ,2]l h l h
r r
πππ--+-
（2）位移x 的范围求解
图11 0<l-h<r 时，滑块P 运动位移范围变化示意图
模型二的位移边际情况分析同模型一，因此这里就不赘述了。

当O 、Q 、P （O 、Q'、P'）在同一直线上时，位移取到最大值。

位移范围为：
O
2222[(),()]r l h r l h -+-+-。

（2）滑块P 运动速度的均匀性分析
-0.5
00.51
1.52
2.53
3.5-18-16-14-12-10-8-6-4-20a
-0.500.51
1.52
2.53
3.5
24681012141618a
图12-1 α<90° 图12-2 α>90°
图12 r=2，h=5，l=6对应的加速度图象
第二中关系模型中的滑块运动也是不均匀的。

且加速度的变化也是不均匀的。

如图12所示。

（三）第三种关系假设模型
1、模型假设
（l ）r 和h 的长度关系满足：l h r -≥。

（2）其余假设条件同模型（一） 2、模型建立
满足第三种关系假设的模型如下图所示：
图13 第三种关系假设模型结构图
3、模型求解
该摆动机构的运作可以参见偏置曲柄滑块机构.swf 文件（见附录） （1）摆角β的范围求解
该模型可以视为模型二的延伸。

模型二中由于l-r<h ，当连杆运动到图8中最低点后无法再继续向下摆动。

而根据第三种关系模型的假设，l-r>=h ，因此连杆可以继续向下摆动，其摆动轨迹是一个以r 为半径的圆周。

摆角的范围为
[0,2]π。

（2）位移x 的范围求解
图14 l h r -≥时，滑块P 运动位移范围变化示意图
由问题中给出的连杆摆动机构某时刻滑块的位置开始逆时针旋转，随着摆角β的增大，P 点的运动方向是X 轴的正向。

当O 、P 、Q 点位于同一直线，即图中O 、Q'、P'点的位置关系时，位移取到X 轴正方向上最大值。

证明如下：若下一时刻P 的位置随着摆角β增大继续向X 轴正向移动，则假设它运动至P 点左边的某点记作B 点。

由于OA+AP'>OP'，又因为∠BP'A>90°，所以BA>AP'，可知OA+AB>OP'，但事实上连杆长度是不变的，矛盾。

所以当滑块运动至P'后，下一时刻的运动方向应变为X 轴负向。

位移开始减小。

直至滑块运动至图中所示的P''点时不再向继续向右运动。

原因是随着摆角的增大，Q''运动至D 点，若滑块能够继续向右运动，假设其能运动到图中所示的C 点，在三角形ODC 中，OD+OC>CD ，而∠P''CO>90°，所以OP''〉OC 。

OP''+OD>CD 。

不符合事实。

因此当滑块到达P''点后又开始向X 轴正方向运动。

随着连杆的圆周运动滑块在P 点到P''点之间进行往复运动。

特别地，当l h r -=时滑块可以运动到O'（即位移可以为零）。

位移变化范围为2222[(),()]l r h l r h --+-。

若起始位置在问题的图象中未给
出，则应讨论起始位置的影响。

起始位置若在X 轴正半轴上则如上述分析情况运动，若起始位置在X 轴负半轴，则滑块在与上述情况对称的负半轴上作相同的运动。

那种情况下的位移变化范围是2222[(),()]l r h l r h -+----。

（3）滑块P 运动速度的均匀性分析
由于在第三种关系模型中，滑块只能在X 轴正轴上运动。

因此α>90°。

位移和摆角的函数关系唯一。

为22(sin )cos l h r r ββ---x=，用Matlab 作图如下：
1
2
34
5
6
34
5
6
7
8
x
-2 cos(x)+(49-(4-2 sin(x))2)1/2
图15 r=2，h=4，l=7时位移和摆角的函数关系图
1
2
3
4
5
6
-3-2
-101234a
图16 r=2，h=4，l=7时加速度随摆角的变化函数图
由图16看出，在此模型中，加速度的取值范围随着l 取值的变化而变化，但是波动范围都比较小，故均匀性较好。

（4）特例：当h=0时，该机构为对心曲柄滑块机构
在求解上述问题时，我们假定r=100(mm),l=3r=300(mm),w=240(r/min). 下面对上述问题进行理论分析：
1、滑块的位移和行程 利用（1.1）、（1.6）得到图形
显然行程为200mm.
2、滑块的加速度及其最值
由精确表达式（1.3）及近似式(1.8)、(1.10)绘得图形如下（单位：mm/s^2）。

事实上由下表可知，用加速度的近似公式计算，a2效果较好，a1结果稍微差一点，但除了在θ=5π/12处误差较大以外，其他点处误差仍较小（不超过6%）。

考虑到在应用近似模型时，表达式的推导和有关工作计算量将明显的减少，因此在某种情况下，这样的方法还是合适的。

θ a a1 a2
0 -84220.6 -84220.6 -84220.6
π-79463.5 -79461.5 -79247.5
/12
π-65837.4 -65815.3 -65230.5
2/12
π-45302.0 -45249.6 -44664.7
3/12
π-21086.8 -21055.2 -21055.2
4/12
π2739.2 2684.8 1885.9
5/12
π22332.4 22224.9 21055.2
6/12
π35463.1 35381.7 34582.7
7/12
π42078.6 42110.3 42110.3
8/12
π44027.5 44079.9 44664.7
9/12
π43568.4 43590.5 44175.3
10/12
π42562.8 42564.8 42778.9
11/12
π42110.3 42110.3 42110.3
加速度绝对值最大值可从表中得到。

无论何种模型，均在θ=0时有
2184220.6
a a a ===
至于加速度绝对值最小值，显然是加速度的零点。

从表上看出，零点在
451212ππ和之间，可运用Newton 法，对于三个表达式，分别可以得出
211.27720.407,0
1.27730.407,0
1.28620.409,0a a a θπθπθπ=≈==≈==≈=时时时
四、模型分析及评价
2
4
6
-2024x
-2 cos(x)+(25-(5-2 sin(x))2)1/20
2
4
6
-1
0123x
-2 cos(x)+(16-(5-2 sin(x))2)1/2
2
4
6
-20246x
-2 cos(x)+(36-(5-2 sin(x))2)1/20
2
4
6
468
x
-2 cos(x)+(64-(5-2 sin(x))2)1/2
图17 l=h, l<h, 0<l-h<r ，l-h ≥r 的摆角及位移取值情况比较
比较结果是:h 和r 取定值后,改变l 的值,l 的值越大摆角的取值范围越大,第三种关系模型中的摆角是可以取到任意值的。

在图中四个分图中可以看出，不同的关系模型中对应的位移取值是不同的。

位移的取值也是随着摆角范围的越来越大而越来越大。

但是在第三种模型中位移的取值范围比较小。

1
2
3
-20
-10
a
-...+2 cos(a)
1
2
3
-30
-20-100a
-...+2 cos(a)
1
1.52
2.5
-40
-30-20-100a
-...+2 cos(a)
1.2
1.4
1.6 1.8
2
-80
-60-40-200a
-...+2 cos(a)
图18-1 0h l r ≤-<的加速度比较图
（注：均取r=2,h=5,左上l=5;右上l=4.8;左下l=4;右下l=3.2）
1
2
3
-20
-15-10
-5
0a
-...+2 cos(a)
1
2
3
-15
-10
-5
a
-...+2 cos(a)
1
23
-10
-50a
-...+2 cos(a)
2
3
4
-8
-6
-4-20a
-...+2 cos(a)
图18-2 0l h r ≤-<的加速度比较图
（注：均取r=2,h=5,左上l=5.1;右上l=5.6;左下l=6.1;右下l=6.8）
2
46
-4-3
-2-10a
-...+2 cos(a)
2
46
-2
024
a
-...+2 cos(a)
2
4
6
-202a
-...+2 cos(a)
2
4
6
-20
2
a
-...+2 cos(a)
图18-3 l h r -≥的加速度比较图
（注：均取r=2,h=5,左上l=7;右上l=8;左下l=10;右下l=12）
从图18-1、18-2、18-3分别中可以比较出，第一种关系模型的加速度波动范围很大，当h 和r 取定值后,改变l 的值，l 的值越接近h ，波动范围越小。

均
匀性越好。

因此可以通过改变连杆的长度来实现对滑块速度均匀性的控制。

在第二种关系模型中，在满足模型假设条件的前提下，随着l的值越远离h，滑块运动加速度波动的范围越小。

均匀性越好。

在第三种关系模型中，加速度的波动范围随着l取值的变化没有很大的波动，且波动范围都比较小。

因此在这种模型下滑块运动速度的均匀性总体上来说都是很好的。

这里还要讨论一个影响位移变化的因素----惯性。

在滑块往复运动过程中，考虑到惯性因素就可以正确判断滑块在摆杆的制动下下一时刻的运动方向。

机构的“死点”位置就是连杆与从动件共线的位置,驱动力对从动件的驱动力矩等于零,此时从动件和整个机构静止不动(即卡死、自锁)或产生运动不确定的现象的位置。

对于需连续转动的机构来说，如果存在死点位置，则对传动不利，必须避免机构由死点位置开始起动，同时采取措施使机构在运动过程中能顺利通过死点位置并使从动件按预期方向运动。

例如家用缝纫机中的曲柄摇杆机构（将踏板往复摆动变换为带轮单向转动），就是借助于带轮的惯性来通过死点位置并使带轮转向不变的。

而当该机构正好停于死点位置时，则需在人的帮助下用手转动带轮来实现由死点位置的再次起动。

在不计摩擦时，为了使机构能顺利通过死点位置而正常运转，可借助于构件惯性或采取相同机构错位排列的方法，工程上也常利用死点来实现特定的工作要求。

曲柄滑块机构是具有一个曲柄和一个滑块的平面四杆机构（模型三即属于曲柄滑块机构）。

曲柄滑块机构广泛应用于往复活塞式发动机、压缩机、冲床等的主机构中。

活塞式发动机以滑块为主动件，把往复移动转换为不整周或整周的回转运动；压缩机、冲床以曲柄为主动件，把整周转动转换为往复移动。

偏置曲柄滑块机构的滑块具有急回特性，锯床就是利用这一特性来达到锯条的慢进和空程急回的目的。

五、参考文献
[1] 马永林主编，《机械原理》，北京，高等教育出版社，1992
[2] 忻重义、万福永等，《几何画板在数学教学中的应用》，上海，华东师范大学出版社，2001
[3] 陆品、秦彦斌，《机械原理导教·导学·导考》，西安，西北工业大学出版社，2004
[4] 《平面连杆机构的工作特性》，
/art_5390.Html，2008.5.2
[5] 《曲柄滑块机构的运动规律》，
/jidi/sxsy/case_set/qubing/qubin1.Htm，2008.5.2
0400035
平面连杆摆动机构原理研究 20 附录程序：Matlab
程序一：
代码：syms l h r a
diff((l^2-(h-r*sin(a))^2)^0.5-r*cos(a),'a',2)
运行结果：ans =
-1/(l^2-(h-r*sin(a))^2)^(3/2)*(h-r*sin(a))^2*r^2*cos(a)^2-1/(l^2-(h-r *sin(a))^2)^(1/2)*r^2*cos(a)^2-1/(l^2-(h-r*sin(a))^2)^(1/2)*(h-r*sin(a))*r*sin(a)+r*cos(a)
程序二：22(sin )cos x l h r r ββ=----时，x 关于β的二次导数（代码中‘a ’为此处的β）
代码：syms l h r a
diff(-(l^2-(h-r*sin(a))^2)^0.5-r*cos(a),'a',2)
运行结果：ans =
1/(l^2-(h-r*sin(a))^2)^(3/2)*(h-r*sin(a))^2*r^2*cos(a)^2+1/(l^2-(h-r*sin(a))^2)^(1/2)*r^2*cos(a)^2+1/(l^2-(h-r*sin(a))^2)^(1/2)*(h-r*sin(a ))*r*sin(a)+r*cos(a)
程序三：
clear;
syms x a
r=…;h=…;l=…;
x=-1/(l^2-(h-r*sin(a))^2)^(3/2)*(h-r*sin(a))^2*r^2*cos(a)^2-1/(l^2-(h -r*sin(a))^2)^(1/2)*r^2*cos(a)^2-1/(l^2-(h-r*sin(a))^2)^(1/2)*(h-r*si n(a))*r*sin(a)+r*cos(a);
ezplot(x,[0,pi]);
title('')。