2019年湖北省麻城市中考数学模拟试题

2019年湖北省麻城市中考数学模拟试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．如图，将正方体的平面展开图重新折成正方体后，“①”字对面的字是（）
A．①B．②C．③D．④
2．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是（）
A．a＞b B．a>1
b
C．a＜﹣b D．|a|＜|b|
3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出
一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组
43(1)
321
x x
x a
+
⎧
⎨
<-
⎩
…
有解的概率为（）
A．2
9
B．
1
3
C．
4
9
D．
5
9
4．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（）A．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大
C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大
5．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣
21
(1)
n
n n
+
+
x+
1
n(n1)
+
与x轴交于A n，B n两
点，以A n B n表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019的值是（）
A．2019
2018
B．
2018
2019C．
2020
2019
D．
2019
2020
6．如图，直线1l∥2l，△ABC的面积为10，则△DBC的面积( )
A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定
7．如图，O为¶AB所在圆的圆心，∠AOB＝90°，点P在¶AB上运动（不与点A，B重合），AP交OB延长线于点C，CD⊥OP于点D．若OB＝2BC＝2，则PD的长是（）
A．15
13
B．
10
13
C．
5
13
D．
1
2
8．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c，它与x轴交于A、B，且A、B位于原点两侧，与y的正半轴交于C，顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上，则下列说法：①bc＜0；②0＜b＜4；③AB＝4；④S△ABD＝8．其中正确的结论有（）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④9．在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y＝x﹣3与y＝kx+k的交点为整数时，k的值可以取（）
A．2个B．4个C．6个D．8个
10．如图，△ABD是等边三角形，以AD为边向外作△ADE，使∠AED＝30°，且
AE＝3，DE＝2，连接BE，则BE的长为（）
A．4 B C．5 D
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．观察一组关于x 的单项式：
32
x ，254x -，376x ，498x -，…．按照排列规律，第n 个单项式是______． 12．定义一种对正整数n 的“C 运算”：①当n 为奇数时，结果为3n +1；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2
k n 为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如，n ＝66时，其“C 运算”如下：
若n ＝26，则第2019次“C 运算”的结果是_____．
13．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，如果点
A 的坐标为（1，0）
，那么点2019B 的坐标为________．
14．抛物线y ＝x 2﹣3x +2与x 轴交于点A 、B ，则AB ＝_____．
15．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(﹣1，3)，B(﹣1，﹣3)，C(3，﹣3)则△ABC 外接圆半径的长度为_____
16．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，点E 是BC 边的中点，连接AE ，△AB′E 和△ABE 关于AE 所在直线对称，若△B′CD 是直角三角形，则BC 边的长为_____．
17．在直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象经过一、二、三象限，若点()1,m -，()2,n -都在该直线上，则m n 、的大小关系为__________．
18．在一次打靶射击中，某个运动员打出的环数只有8、9、10三种．在作了多于11次
的射击后，所得总环数为100．则该运动员射击的次数为_____，环数为8、9、10的次数分别为_____．
三、解答题
19．先化简，再求值：
22
2
44
4
2
x x
x x x
⎛⎫
+-
+÷
⎪
-
⎝⎭
﹣
2
1
x x
x
-
-
，然后在0，1，2，3中选一个
你认为合适的x值，代入求值．
20．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1、x2，有如下结论：x1+x2
＝﹣b
a
，x1x2＝
c
a
，试利用上述结论，解决问题：已知关于x的一元二次方程3x2﹣x
﹣2019＝0的两根分别为x1、x2，求（x1+2）（x2+2）的值．
21．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．
（1）试说明四边形AECF是平行四边形．
（2）若AC＝8，AB＝6．若AC⊥AB，求线段BD的长．
22．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，A为弧BD中点，连接对角线AC，E在AC上，且AE＝AB求证：
（1）∠CBE＝1
2
∠CAD；
（2）AC2＝BC•CD+AB2．
23．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG ；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC ，AG ，AH 什么关系？请说明理由；
（3）设AE ＝m ，
①△AGH 的面积S 有变化吗？如果变化．请求出S 与m 的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH 是等腰三角形的m 值．
24．如图，已知反比例函数y 1＝1k x
和一次函数y 2＝k 2x+b 的图象相交于点A 、C 两点，其中点A 的横坐标为﹣2，点C 的纵坐标为﹣1，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值．
（3）若A 点关于x 轴的对称点A′在二次函数y 3＝﹣x 2+mx+n 的图象上，请判断二次函数y 4＝x 2+mx ﹣n ﹣3与x 轴的交点个数，并说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“①”与“③”是相对面，
“②”与“④”是相对面，
“⑤”与“⑥”是相对面．
所以，“①”字对面的字是③．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
2．D
【解析】
【分析】
根据有理数a、b、在数轴上的位置求出-2<a<-1,3<b<4, 从而判断出选项的对错.
【详解】
解：根据图可知:-2<a<-1,3<b<4,
∴2>-a>1,
∴a<b,a<1
,a>-b,|a|<|b|,
b
故D选项正确
【点睛】
本题主要考查有理数的大小比较.
3．C
【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是
其发生的概率．【详解】
解：因为关于x的不等式组
43(1)
321
x x
x a
+
⎧
⎨
<-
⎩
…
有解，
可得：
3
21
3
x
a
x
≥
⎧
⎪
-
⎨
<
⎪⎩
，
所以得出：a＞5，
因为a取小于等于9的整数，
可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，
所以使关于x的不等式组
43(1)
321
x x
x a
+
⎧
⎨
<-
⎩
…
有解的概率为：
4
9
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m
n
．
4．B
【解析】
【分析】
先根据根的判别式得出方程有两个不相等的实数根，设方程x2+bx-2=0的两个根为c、d，根据根与系数的关系得出c+d=-b，cd=-2，再判断即可．
【详解】
x2+bx−2=0，
△=b2−4×1×(−2)=b2+8，
即方程有两个不相等的实数根，
设方程x2+bx−2=0的两个根为c、d，
则c+d=−b，cd=−2，
由cd=−2得出方程的两个根一正一负，
由c+d=−b和b<0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，
故答案选：B.
【点睛】
本题考查的知识点是根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根的判别式及根与系数的关系.
5．D
【解析】
【分析】 通过解方程2211(1)(1)n x x n n n n +-+++=0得x 1=1n ，x 2=11n +，则A n ，B n 两点为（1n
，0），（
11n +，0），所以AnBn =1n -11n +，则A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3+…+A 2019B 2019=1-12+12-13+13-14
+…+12019-12020，然后进行分数的混合运算即可． 【详解】
解：当y ＝0时，2211(1)(1)
n x x n n n n +-+++＝0， (x ﹣
1n )(x ﹣11
n +)＝0， 解得x 1＝1n ，x 2＝11
n +， ∴A n ，B n 两点为（1n ，0），（11
n +，0）， ∴A n B n ＝1n ﹣11
n +， ∴A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3+…+A 2019B 2019＝1﹣12+12-13+13-14+…+12019-12020
＝1﹣12020
＝20192020． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．
6．C
【解析】
【分析】
根据等底同高的三角形面积相等即可解题.
【详解】
∵平行线之间的距离是相等的,,
∴以BC 为底边的三角形△ABC 和△DBC 等底同高,
∴△DBC 的面积等于△ABC 的面积等于10,
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形的面积,属于简单题,明确等底同高的三角形面积相等是解题关键. 7．B
【解析】
【分析】
通过证明△OAC ∽△DPC ，可得
23AO PD OC CD ==，可设PD=2x ，CD=3x ，由勾股定理，可求x 的值，即可求解．
【详解】
∵OB =2BC =2，
∴BC =1，OA =OP =2，OC =OB+BC =3，
∵OA =OP ，
∴∠OAC =∠OPA ，
∵∠OPA =∠CPD ，
∴∠OAC =∠CPD ，且∠D =∠AOC =90°，
∴△OAC ∽△DPC ， ∴23
AO PD OC CD ==， ∴设2PD x =，3CD x =，
∵CD 2+OD 2=OC 2，
∴9x 2+(2+2x )2=9，
∴x 1=
513
，x 2=﹣1(不合题意舍去)， ∴PD =2x =1013， 故选：B ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明△OAC ∽△DPC 是正确解答本题的关键．
8．D
【解析】
【分析】
先由抛物线解析式得到a=-1＜0，利用抛物线的对称轴得到b=-2a ＜0，易得c ＜0，于是可对
①进行判断；由顶点D 在y 轴右侧的直线l ：y=4上可得b 的范围，从而可判断②是否正确；
由a=-1及顶点D 在y 轴右侧的直线l ：y=4上，可得抛物线与x 轴两交点之间的距离AB 为定值，故可取b=2进行计算，即可求得AB 的长度及S △ABD 的大小．
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴1a =-＜0， ∵抛物线的对称轴为直线2b x a
=-
＞0， ∴b ＞0，
而抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，
∴c -＞0，则c ＜0，
∴bc ＜0，故①正确；
由顶点D 在y 轴右侧的直线l ：y =4上可得： ()()()2
24144441c b ac b a ⨯-⨯---==⨯-， ∴2416b c =+，
∵04c <-<，
∴1640c -<<，
∴041616c <+<，
∴2016b <<，
∴04b <<，
∴②正确；
∵1a =-，
∴该抛物线的开口方向及大小是一定的，
又∵顶点D 在y 轴右侧的直线l ：y =4上，
∴该抛物线与x 轴两交点之间的距离AB 是定值，
故令2b =，
则3c =-，
此时抛物线解析式为：223y x x =-++，
由2230x x -++=，
得x 1=﹣1，x 2=3，
故AB =4，
∴③正确；
S △ABD =D 11AB 44822
y ⨯⨯=⨯⨯=， 故④正确；
综上，①②③④均正确，
故选：D ．
【点睛】
本题综合考查了二次函数的图象与系数的关系，明确二次函数的相关性质是解题的关键，要求学生熟悉对函数基本性质、函数与坐标轴的交点、顶点等的求解．
9．C
【解析】
【分析】
联立这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．
【详解】
由题意得：3y kx k y x =+⎧⎨=-⎩
， 解得：3141k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
，
∴411441x k y k ⎧=-+⎪⎪-⎨⎪=-+⎪-⎩
， ∵交点为整数，
∴1k -可取1±，2±，4±
∴k 可取的整数解有0，2，﹣1，3，5，﹣3共6个．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，解决本题的难点是根据分数的形式得到相应的整数解．
10．B
【解析】
试题分析：作EF⊥AE，且EF=DE ，连接AF 、DF ， 因为∠AEF=90°，
所以∠DEF=90°-30°=60°，DE=EF ， 所以△DEF 是等边三角形，
所以∠EDF=60°，∠ADF=∠BDE， 因为AD=BD ，DE=EF ，∠ADF=∠BDE，
所以△BDE≌△ADF， 所以
=B ．
点睛：本题主要考查的就是三角形全等证明的应用以及直角三角形勾股定理的应用，解决这个问题的关键就是要能够作出辅助线，将所求的线段转化到直角三角形中，利用勾股定理进行求解．对于这种无法直接计算的题目，我们可以通过旋转，作直角三角形等将所求的线段放到特殊的三角形中，然后来进行求解，特别需要注意的就是题目中出现30°、45°、135°等特殊角的时候．
11．()12112n n n
++-⨯n x
【解析】
【分析】
通过观察发现单项式的系数和次数的变化规律， 即可求解.
【详解】
观察发现单项式的系数可以用通式()12112n n n
++-⨯来表示，次数可以用n x 来表示，则第n 个单项式为()12112n n n
++-⨯
n x . 故答案为()12112n n n ++-⨯n x . 【点睛】
本题考查了单项式的规律探索，解答的关键是仔细观察前几项单项式系数及次数的变化规律，总结出一般的规律.
12．1．
【解析】
【分析】
根据题意，可以写出前几次输出的结果，从而可以发现结果的变化规律，从而可以得到第2019次“C 运算”的结果．
【详解】
解：由题意可得，
当n ＝26时，
第一次输出的结果为：13，
第二次输出的结果为：40，
第三次输出的结果为：5，
第四次输出的结果为：16，
第五次输出的结果为：1，
第六次输出的结果为：4，
第七次输出的结果为：1
第八次输出的结果为：4
…，
∵（2019﹣4）÷2＝2015÷2＝1007…1，
∴第2019次“C 运算”的结果是1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
13．(
【解析】
【分析】
根据图形可知：点B在以O为圆心,以OB为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC 绕点O逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45∘，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.
【详解】
∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB，
由勾股定理得：
由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45∘,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45∘，
∴B1),B2(−1,1),B3,0)，…，
发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，
∴点B2019的坐标为,0)
【点睛】
本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法.
14．1．
【解析】
【分析】
先解方程x2-3x+2=0得到交点A、B的坐标为（1，0），（2，0），然后计算两交点间的距离．【详解】
解：当y=0时，x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，
所以抛物线y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标为（1，0），（2，0），
所以AB=2-1=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
15
【解析】
【分析】
三角形的外心是三边中垂线的交点，设△ABC的外心为M；由A、B、C的坐标知：AB、BC的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到M（1，0），由勾股定理即可求得⊙M的半径长．
【详解】
设△ABC的外心为M，如图：
∵A(﹣1，3)，B(﹣1，﹣3)，
横坐标相等，
∴A、B关于x轴对称，
∵B(﹣1，﹣3)，C(3，﹣3)，
纵坐标相等，
∴A、B关于直线
()
31
1
2
x
+-
==对称，
∴AB、BC的垂直平分线过(1，0)，
故M(1，0)；
MA就是⊙M的半径长，
由勾股定理得：MA==
即△ABC
【点睛】
本题考查了三角形外心的定义和性质．掌握三角形的外心是三边中垂线的交点、确定圆心的位置是解题的关键．
16．4或
【解析】
【分析】
连接BB′，根据直角三角形的判定定理得到∠BB′C＝90°，求得∠B′CD＜90°，（1）如图1，∠B′DC＝90°，（2）如图2，∠CB′D＝90°，则B，B′D三点共线，设AE，BB′交于F，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接BB′，
∵BE＝B′E＝EC，
∴∠BB′C＝90°，
∴∠B′CD＜90°，
（1）如图1，∠B′DC＝90°，
则四边形ABEB′和ECDB′是正方形，
∴BC＝2AB＝4，
（2）如图2，∠CB′D＝90°，
则B，B′D三点共线，
设AE，BB′交于F，
则F，B′是对角线BD的三等分点，∵△BCB′∽△CDB′，
∴
''
'' BC CB BB CD DB CB
==，
∴
2
2
'
' BC BB CD DB
=，
∴BC CD＝，
故答案为：4或．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、折叠的特点及相似三角形的性质.
17．m＞n
【解析】
【分析】
由一次函数y kx b
=+的图象经过一、二、三象限，可知y随x的增大而增大.
【详解】
解：∵一次函数y kx b
=+的图象经过一、二、三象限，
∴y随x的增大而增大，
∵-1＞-2，
∴m＞n；
故答案为：m＞n．
【点睛】
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握函数y值与x值之间的变化关系是解题的关键．18．12 10，0，2或9，2，1或8，4，0
【解析】
【分析】
首先设环数为8，9，10的次数分别为x ，y ，z ，然后根据题意得：
x+y+z ＞11，8x+9y+10z=100，又由8x+9y+10z ≥8×13＞100，即可求得该运动员射击的次数，然后由x ，y ，z 是正整数，则可求得环数为8、9、10的次数分别是多少．
【详解】
设环数为8，9，10的次数分别为x ，y ，z ，
∴x+y+z ＞11，8x+9y+10z =100，
∵若x+y+z≥13，
则8x+9y+10z≥8×13＞100，
故x+y+z =12．
∴该运动员射击的次数为：12．
当x =10时，9y+10z =20，则y =0，z =2，
当x =9时，9y+10z =28，则y =2，z =1，
当x =8时，9y+10z =36，y =4，z =0．
故环数为8、9、10的次数分别为：10，0，2或9，2，1或8，4，0．
故答案为：12；10，0，2或9，2，1或8，4，0．
【点睛】
本题考查了方程与不等式的综合应用．解题的关键是分类讨论思想的应用．
19．2x+2，8
【解析】
【分析】
括号内分式通分后把244x x ++化为完全平方的形式，分子、分母因式分解，将除法运算转化成乘法运算，约分化简，然后在0，1，2，3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
2224442x x x x x
⎛⎫+-+÷ ⎪-⎝⎭﹣21x x x -- ()()()()22214421x x x x x x x x x x x +--⎛⎫+=+÷- ⎪--⎝⎭
()()
()()()
2221221x x x x x x x x x +--=++--n
2x x =++
22x =+；
因为当x 取0，1，2时公分母()()()221x x x x +--为0,所以不能代入0，1，2， 所以只能代入3
原式2228=⨯+=．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法，注意x 不能等于0，1，2．
20．﹣668
13 【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系得到12x x +和12x x 的值，再将()()1222x x ++变形为12x x +2(12x x +)+4代入计算即可求解．
【详解】
122x x =，
∵3a =，1b =-，2019c =-， ∴由一元二次方程的根与系数的关系得到1213b x x a +=-=，12673c x x a
==-， ()()1222x x ++
()121224x x x x =+++
1673243
=-+⨯+ 16683
=-． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根与系数的关系为：
12b x x a +=-，12c x x a
=．
21．（1）见解析；（2）【解析】
【分析】
（1）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 互相平分，OA=OC ，OB=OD ，又E ，F 为OB ，OD 的中点，所以OE=OF ，所以AC 与EF 互相平分，所以四边形AECF 为平行四边形；
（2）首先根据平行四边形的性质可得AO=CO ，BO=DO ，再利用勾股定理计算出BO 的长，
进而可得BD 的长．
【详解】
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA =OC ，OB =OD ，
∵E ，F 为OB ，OD 的中点，
∴OE =OF ，
∴AC 与EF 互相平分，
∴四边形AECF 为平行四边形；
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AO =CO ，BO =DO ，
∵AC =8，
∴AO =4，
∵AB =6，AC ⊥AB ，
∴BO ==
∴2BD BO ==
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
22．（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接BD交AC于F，根据圆的性质得：∠ABD＝∠ACB＝∠ACD，由等腰三角形的性质得：∠ABE＝∠AEB，根据外角的性质得：∠CBE＝∠DBE，从而得结论；
（2）先根据两角相等两三角形相似证明：△ACD∽△BCF和△ABF∽△ACB，列比例式后，化为乘积式后相加可得结论．
【详解】
证明：（1）连接BD交AC于F，
∵A为弧BD中点，
∴弧AB=弧AD，
∴∠ABD＝∠ACB＝∠ACD，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠ACB+∠CBE，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，
∴∠CBE＝∠DBE，
∵∠CAD＝∠CBD＝2∠CBE，
∴∠CBE＝1
2
∠CAD，
（2）∵∠DBC＝∠CAD，∠ACB＝∠ACD，∴△ACD∽△BCF，
∴AC CD BC CF
=，
∴BC•CD＝AC•CF①，
∵∠ABF＝∠ACB，∠BAF＝∠CAB，∴△ABF∽△ACB，
∴AB AF AC AB
=，
∴AB2＝AC•AF②，
①+②得：AB2+BC•CD＝AC•CF+AC•AF＝AC（CF+AF），∴AC2＝BC•CD+AB2．
【点睛】
本题考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用相似三角形的性质解决线段之间的关系问题．
23．（1）=；（2）结论：AC 2＝AG •AH ．理由见解析；（3）①△AGH 的面积不变．②m 的值为83
或2或8﹣．.
【解析】
【分析】
（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG ； （2）结论：AC 2=AG•AH ．只要证明△AHC ∽△ACG 即可解决问题；
（3）①△AGH 的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；
②分三种情形分别求解即可解决问题.
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝CB ＝CD ＝DA ＝4，∠D ＝∠DAB ＝90°∠DAC ＝∠BAC ＝45°
，
∴AC
∵∠DAC ＝∠AHC +∠ACH ＝45°
，∠ACH +∠ACG ＝45°， ∴∠AHC ＝∠ACG ．
故答案为＝．
（2）结论：AC 2＝AG •AH ．
理由：∵∠AHC ＝∠ACG ，∠CAH ＝∠CAG ＝135°
， ∴△AHC ∽△ACG ， ∴AH AC AC AG
， ∴AC 2＝AG •AH ．
（3）①△AGH 的面积不变．
理由：∵S △AGH ＝12•AH •AG ＝12AC 2＝12
×（）2＝16． ∴△AGH 的面积为16．
②如图1中，当GC ＝GH 时，易证△AHG ≌△BGC ，
可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，
∴
1
2 BC BE
AH AE
==,
∴AE＝2
3
AB＝
8
3
．
如图2中，当CH＝HG时，
易证AH＝BC＝4，
∵BC∥AH，
∴BE BC
AE AH
=＝1，
∴AE＝BE＝2．
如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5．
在BC 上取一点M ，使得BM ＝BE ，
∴∠BME ＝∠BEM ＝45°
， ∵∠BME ＝∠MCE +∠MEC ，
∴∠MCE ＝∠MEC ＝22.5°
，
∴CM ＝EM ，设BM ＝BE ＝m ，则CM ＝，
∴m ＝4，
∴m ＝4﹣1），
∴AE ＝4﹣4（2﹣1）＝8﹣42，
综上所述，满足条件的m 的值为
83或2或8﹣． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．（1）14y x =-
，2112
y x =-+；（2）x ＜﹣2或0＜x ＜4；（3）两个交点，见解析 【解析】
【分析】
(1)根据反比例函数1k 的几何意义，得到1k =4，继而得到得1k =-4，可求得A 、C 两点坐标，代入一次函数解析式得关于2k 、b 的二元一次方程组，求得一次函数解析式；
(2)观察图象，2y ＞1y ，即表示2y 的图象位于1y 的图象上方，直接找出对应的x 的取值范围；
(3)由题意可得到n=2m+2，再根据二次函数图象与x 轴交点情况与对应的一元二次方程根
的情况有关，求出24b ac =-⊿的值即可判断．
【详解】
(1)∵S △AOB =2， ∴1k =4， ∵11k y x
=的图象位于第二、四象限， ∴14k =﹣
， ∴14y x
=-， ∴A (﹣2，2)，C (4，﹣1)，
由题意得：22
2241k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得2121
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩； ∴2112
y x =-+； (2)观察图象得：
当x ＜﹣2或0＜x ＜4时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴当x ＜﹣2或0＜x ＜4时，y 2＞y 1；
(3)点 A (﹣2，2)关于x 轴的对称点A′的坐标为(﹣2，﹣2)，
根据题意，点A′ (﹣2，﹣2)在23y x mx n =++﹣的图象上，
∴2
(2)22m n ---+=-，
∴22n m =+，
在243y x mx n =+﹣﹣中，令40y =，得230x mx n +=﹣﹣，
∴()22
4413b ac m n =-=-⨯⨯--⊿ 2412m n =++
()242212m m =+++
2(4)4m =++，
∵2(4)0m +≥，
∴2
(4)40m ++>，即0>⊿，
∴关于x 的一元二次方程230x mx n +=﹣﹣有两个不相等的实数根，
即二次函数243y x mx n =+﹣﹣的图象与x 轴有两个交点． 【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、反比例函数|k|的几何意义、二次函数图象与x 轴交点情况等；解题关键是理解和应用反比例函数|k|的几何意义以及抛物线与坐标轴交点情况的判断方法．。