专题6 平面向量的概念及其线性运算高一数学下学期期中专项复习(北师大版2019必修第二册)(解析版)

专题06 平面向量的概念及其线性运算【专项训练】-2020-2021学年高一数学
下学期期中专项复习（北师大2019版）
一、单选题
1．（2021·江苏高一课时练习）下列说法错误的是（ ） A ．若0a =，则||0a = B ．零向量是没有方向的 C ．零向量与任一向量平行 D ．零向量的方向是任意的 【答案】B 【分析】
由零向量的性质：长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，即可判断各项正误. 【详解】
A ：由零向量的模为0，故正确；而由零向量的长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，故
B 错误，
C 、
D 正确； 故选：B
2．（2021·浙江高一单元测试）下列说法正确的是（ ） A ．向量AB 与向量BA 是相等向量
B ．与实数类似，对于两个向量,a b 有a b =，a b >，a b <三种关系
C ．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D ．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【分析】
由相等向量和平行向量的定义进行判断 【详解】
解：对于A ，向量AB 与向量BA 是相反向量，所以A 错误；
对于B ，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B 错误； 对于C ，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C 错误；
对于D ，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，
所以D 正确， 故选：D
3．（2021·浙江高一单元测试）化简AC BD CD AB -+-得（ ） A ．AB B ．DA C ．BC D ．0
【答案】D 【分析】
根据向量加法减法运算法则即可化简. 【详解】
原式()()0AC AB CD DB BC CB =-++=+=. 故选：D.
4．（2021·浙江高一期末）已知AM 是ABC 的BC 边上的中线，若,AB a AC b ==，则AM 等于（ ） A ．
()
1
2
b a - B ．
()
1
2
a b + C ．
()
1
2
a b - D ．()
1
2
a b -
+ 【答案】B 【分析】
利用平面向量的线性运算可求得结果. 【详解】
因为AM 是ABC 的BC 边上的中线，所以M 为BC 的中点， 所以AM AB BM =+1
2
AB BC =+
()
12AB AC AB =+-
1111
2222
AB AC a b =
+=+. 故选：B
5．（2021·全国高一课时练习）已知R λμ∈、，下面式子正确的是（ ） A ．a λ→
与a →
同向 B ．0·a →
＝0
C ．()a a a λμλμ→
→
→
+=+
D ．若b a λ→
→
=，则b a λ→
→
=
【答案】C 【分析】
根据向量数乘运算的定义依次判断各选项即可得答案. 【详解】
对于A 选项，对a →
，当0λ>时正确，当0λ<时错误，故A 选项错误；
对于B 选项，根据数乘运算的结果为向量，故0·a →
是向量而非数0，故B 选项错误； 对于C 选项，根据数乘运算的分配率即可得()a a a λμλμ→→→
+=+，故C 选项正确； 对于D 选项，若b a λ→
→
=，则b a λ→
→
=，故D 选项错误． 故选：C.
6．（2021·全国高一课时练习）设a ，b 不共线，AB ＝a ＋k b ，AC ＝m a ＋b (k ，m ∈R )，则A ，B ，C 三点共线时有（ ） A ．k ＝m B ．km －1＝0 C ．km ＋1＝0 D ．k ＋m ＝0
【答案】B 【分析】
由A ，B ，C 三点共线得AB 与AC 共线，然后由向量共线的定理求解可得． 【详解】
若A ，B ，C 三点共线，则AB 与AC 共线，
所以存在唯一实数λ，使AB AC λ=，即()a kb ma b λ+=+，即a kb ma b λλ+=+，
所以1,m k λλ=⎧⎨=⎩
，所以km ＝1，即km －1＝0.
故选：B ．
7．（2021·全国高一课时练习）设a ，b 都是非零向量.下列四个条件中，使||||
a b
a b =成立的条件是（ ）
A ．a b =-
B ．//a b
C ．2a b =
D ．//a b 且=a b
【答案】C 【分析】 根据
a a
、
b b
的含义，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
a a
、
b b
分别表示与a 、b 同方向的单位向量，
对于A ：当a b =-时，
a b a
b
=-
，故A 错误；
对于B ：当//a b 时，若,a b 反向平行，则单位向量方向也相反，故B 错误； 对于C ：当2a b =时，
22a b b a
b
b
=
=
，故C 正确；
对于D ：当//a b 且=a b 时，若a b =-满足题意，此时a b a
b
=-
，故D 错误.
故选：C
8．（2021·全国高一课时练习）4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于（ ） A ．2a b - B ．a C ．6a b - D ．8a b -
【答案】D 【分析】
根据向量的运算法则，计算化简，即可求得答案. 【详解】
原式4(a －b )－3(a ＋b )－b ＝44338a b a b b a b ----=-. 故选：D
9．（2021·全国高一课时练习）如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共
线且模相等的向量共有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．6个
D ．7个
【答案】D 【分析】
根据题中条件，由共线向量的概念，结合图形，即可得出结果. 【详解】
因为点O 是正六边形ABCDEF 的中心，所以OA OB OC OD OE OF =====， 且////OA EF BC ，,,O A D 三点共线；
所以除向量OA 外，与向量OA 共线且模相等的向量有：AO ，BC ，CB ，DO ，OD ，EF ，FE ，共7个． 故选：D.
10．（2021·浙江高一单元测试）在直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足1
()2
OP OA AB AC =+⋅+，则||AP 等于（ ） A ．2 B ．1 C ． 1
2
D ．4
【答案】B 【分析】
利用向量的减法可得AP ＝1
2
(AB ＋AC )，从而可得AP 为Rt ABC 斜边BC 的中线，即求. 【详解】
∵OP ＝OA ＋
12(AB ＋AC )， ∴OP －OA ＝
1
2
(AB ＋AC )，AP ＝
1
2
(AB ＋AC )， ∴AP 为Rt ABC 斜边BC 的中线，∴1AP =.
故选：B
二、多选题
11．（2021·江苏高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）
A ．A
B D
C = B ．A
D AB AC += C ．AB AD BD -= D ．0AD CB +=
【答案】ABD 【分析】
应用几何图形进行向量加减运算，结合向量的概念、三角形及平行四边形法则，即可判断各项正误. 【详解】
在平行四边形ABCD 中，根据向量的加减法法则：AB AD DB -=、AD AB AC +=，结合相等、相反向量的定义：AB DC =、0AD CB +=. 故选：ABD.
12．（2021·全国高一课时练习）已知m ，n 是实数， ,a b 是向量，则下列命题中正确的为（ ） A ．()m a b ma mb -=- B ． ()m n a ma na -=- C ．若ma mb =，则a b = D ．若ma na =，则m ＝n
【答案】AB 【分析】
根据数乘向量的运算法则，化简整理，即可得答案. 【详解】
对于A ：根据数乘向量的原则可得：()m a b ma mb -=-，故A 正确； 对于B ：根据数乘向量的原则可得：()m n a ma na -=-，故B 正确；
对于C ：由ma mb =可得()m a b b -=，当m ＝0时也成立，所以不能推出a b =，故C 错误； 对于D ：由ma na =可得()0m n a -=，当0a =，命题也成立，所以不能推出m ＝n . 故D 错误；
故选：AB 三、填空题
13．（2021·全国高一课时练习）已知向量a ，b 满足=3a ，=5b ，且=a b λ，则实数λ的值是________.
【答案】3
5
± 【分析】
根据=a b λ，可得=a b b λλ=，代入数据，即可得答案. 【详解】
由=a b λ得：=a b b λλ=， 所以35
a
b λ=
=，即35λ=±，
故答案为：3
5
±
14．（2021·全国高一课时练习）设a ，b 是两个不共线的向量.若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________. 【答案】－4 【分析】
由向量平行求得k 值，排除方向相同的参数值即可得． 【详解】
因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒82k k λ
λ
=⎧⎨=⎩⇒k ＝－4(因为方向相
反，所以λ＜0⇒k ＜0). 故答案为：4-．
15．（2020·山东高三月考）如图，在矩形ABCD 中，2BE EC =，F 为DE 的中点，若AF m AB n AD =⋅+⋅，则m n +=____.
【答案】43
【分析】
根据平面向量线性运算可得到15
26
=+AF AB AD ，由此确定,m n 的值，从而求得结果. 【详解】
由F 为DE 的中点，利用向量平行四边形法则可得：11
22
=
+AF AE AD 利用向量三角形法则知：22
33
AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+
121
15232
26⎛⎫∴=++=+ ⎪⎝⎭AF AB AD AD AB AD
AF mAB nAD =+，12m ∴=
，56n =，154
263
∴+=+=m n . 故答案为：
4
3
. 16．（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考）点C 在线段AB 上，且2
3
AC AB =
，则AC =______BC .
【答案】2- 【分析】
根据题意得出,,A B C 三点的位置，根据数乘向量的概念即可得结果. 【详解】 由2
3
AC AB =
可得,,A B C 三点的位置如图所示：
其中C 为AB 的三等分点（靠近C ） 所以2AC BC =-， 故答案为：2-. 【点睛】
本题主要考查了数乘向量的概念，得到C 的位置是解题的关键，属于基础题. 四、解答题
17．（2021·江苏高一课时练习）如图，已知向量a ，b ，请化简并求作出向量：(3-a 2b )﹣2(1
2
a
b ).
【答案】1(32)232a b a b a b ⎛⎫
--+=- ⎪⎝⎭
，作图答案见解析. 【分析】
根据向量的数乘运算去括号，再由加减运算化简即可． 【详解】
(32a b -)﹣2(1
2
a
b )=3223a b a b a b ---=-. 作出向量(32a b -)﹣2(1
2
a b )如下图：
18．（2021·全国高一课时练习）设两个非零向量12,e e 不共线，已知AB ＝21e ＋k 2e ，CB ＝1e ＋32e ，
CD ＝21e －2e .
问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 【答案】存在，k ＝－8. 【分析】
先利用12,e e 表示向量,DB AB ，再由AB DB λ=求解. 【详解】
设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线，
∵()()
12121212324,2DB CB CD e e e e e e AB e ke =-=+--=-+=+
又∵A ，B ，D 三点共线，
AB DB λ∴=，∴()
121224e ke e e λ+=-+，
24k λλ=-⎧∴⎨=⎩
，解得8k =-，
∴存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线. 19．（2021·全国高一课时练习）计算： （1）111
(2)(32)()342
a b a b a b ++
---； （2）
1271
37(32)236276a b a b a b a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+---++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣
⎦. 【答案】（1）72
123
a b +；（2）0. 【分析】
（1）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案. （2）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案. 【详解】 （1）1
1113111(2)(32)()3423324222
a b a b a b a b a b a b ++
---=++--+ =13121172342322123a b a b ⎛⎫⎛⎫
+-+-+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
（2）
1271
37(32)2362
76a b a b a b a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+---++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ =
17737171023676262a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
20．（2020·全国高一课时练习）如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，AC 与BD 相交于E ，
12
DM
DE ，1
4EN EC =，设AB a =，AD b =，试用基底{}
,a b 表示向量AM ，AN ，MN .
11 【答案】1344A a b M =+，5588A b N a =+，3188
M a b N =- 【分析】
利用平面的向量的线性运算法则：共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则，依次可求得到答案.
【详解】 ABCD 是平行四边形，12DM DE ，14EN EC =，AB a =，AD b = ∴()()
11111132242444
AM AD AE AD AC AD AB AD a b =+=+=++=+， 11115552428888
AN AE EN AC EC AC AC AC a b =+=+=+==+， 551331884488MN AN AM AB AD AB a b AD =-=+--=-. 【点睛】
方法点睛：本题考查平面向量的线性运算，常见类型及解题策略：
（1）向量加法或减法的几何意义，向量加法和减法均适合三角形法则．
（2）求已知向量的和，一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．。