恩施州咸丰县八年级下《勾股定理》质量测查数学试卷附解析

恩施州咸丰县八年级下《勾股定理》质量测查数学试卷及解析
湖北省恩施州咸丰县八年级（下）质检数学试卷（勾股定理）
一、选择题（将正确答案代号填入下表中，每题 3 分，共 36 分）
1．以以下数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（）
A．4，6，8B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，12
2．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则以下说法正确的选项是（）
A ．该命题为假命题 B．该命题为真命题
C．该命题的抗命题为真命题D．该命题没有抗命题
3．一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm，高为 32cm，则桶内所能容下的木棒最长为（）
A ．20cm B．50cm C． 40cm D． 45cm
4．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）
A．4 B．C．2 D．3
5．如图，将三边长分别为3，4，5 的△ ABC 沿最长边翻转 180°成△ ABC 1，则 CC1的长等于（）
A．B．C．D．
6．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ ABC 的形状为（）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D ．以上答案都不对
7．如图，△ ABC 和△ DCE 都是边长为 4 的等边三角形，点B、C、 E 在同一条直线上，连接BD ，则 BD 的长为（）
A．B．C．D．
8．长方形的一边长为4，对角线与长方形别的一条边相差2，则长方形的面积为（）
A．8 B．4 C．6 D．12
9．在直角三角形中，若是有一个角是30°，这个直角三角形的三边之比最有可能的是（）A．3：4：5B．1：1：C．5：12：13 D．1：：2
10．设 a、b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为 2.5，则 ab 的值是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
11．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为 2dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）
A ．4 dm B．2 dm C． 2 dm D． 4dm
12．如图，在 6 个边长为 1 的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从 A 点到 B 点的最短距离的走法共有（）
A．1 种B．2 种 C．3 种 D．4 种
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 3 分，共 12 分．把答案填在题中横线上）
13．若是三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为．
14．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线 AE 折叠（点 E 在边 DC 上），折叠后端点
D 恰好落在边 OC 上的点 F 处．若点 D 的坐标为（ 10，8），则点
E 的坐标为．
15．如图，以 Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=a，则图中阴影部分的面积为．
16．以下列图，在△ ABC 中， AB ：BC：CA=3 ：4： 5，且周长为 36cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 1cm 的速度搬动；点 Q 从点 B 沿 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度搬动，假好像时出发，则过 3 秒时，△ BPQ 的面积为cm2．
三、解答题（本大题共8 小题，共 72 分，解答应写出计算过程）
17．在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°．
（1）已知 c=25，b=15，求 a；
（2）已知 a=，∠ A=60°，求b、c．
18．如图，已知在△ ABC 中， CD⊥AB 于 D，BD=9 ，BC=15，AC=20．
（1）求 CD 的长；
（2）求 AB 的长；
（3）判断△ ABC 的形状．
19．如图，在 Rt△ ABC 中， AB=9 ，BC=6，∠ B=90°，将△ ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN ，求线段 BN 的长．
20．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵绽开的美丽的红莲，它高出水面 3 尺．突然一阵暴风吹过，红莲被吹至一边，花朵恰好齐及水面，若是知道红莲搬动的水平距离为 6 尺，请问水深多少？
21．如图，△ ABC ，△ AED 是两个大小相同的三角形，已知∠ADE=90°，AE=5，AD=4 ，连接 EB，求DE和EB的长．
22．在△ ABC 中， AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ ABC外作△ ABD，使△ ABD为等腰直角三角形，求线段CD 的长．
23．在△ ABC 中， a=m2﹣ n2，b=2mn，c=m2+n2，其中 m、n 都是正整数；且m＞n，试判断△ABC
可否为直角三角形？
24．长方形 OABC 绕极点 C（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到CO′ A′位B′置时，边 O′ A交′边 AB 于 D，且 A′D=2，AD=4 ．
（1）求 BC 长；
（2）求阴影部分的面积．
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湖北省恩施州咸丰县八年级（下）质检数学试卷（勾股定理）
参照答案与试题解析
一、选择题（将正确答案代号填入下表中，每题 3 分，共 36 分）
1．以以下数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（）
A．4，6，8B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，12
【考点】勾股定理的逆定理．
【解析】依照勾股定理的逆定理：若是三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角
三角形判断则可．
【解答】解： A 、∵42+62≠82，∴该三角形不吻合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
B、∵ 42+82≠102，∴该三角形不吻合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵ 62+82=102，∴该三角形吻合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
D、∵ 82+102≠122，∴该三角形不吻合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
应选 C．
2．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则以下说法正确的选项是（）
A ．该命题为假命题 B．该命题为真命题
C．该命题的抗命题为真命题D．该命题没有抗命题
【考点】命题与定理．
【解析】第一判断该命题的正误，尔后判断其抗命题的正误后即可确定正确的选
项．【解答】解：等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；
其抗命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，
应选 B．
3．一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm，高为 32cm，则桶内所能容下的木棒最长为（）
A ．20cm B．50cm C． 40cm D． 45cm
【考点】勾股定理的应用．
【解析】依照题意画出表示图， AC 为圆桶底面直径， AC=24cm， CB=32cm，那么线段 AB 的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC 中利用勾股定理即可求出AB ，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．
【解答】解：如图， AC 为圆桶底面直径，
∴AC=2× 12=24cm，CB=32cm，
∴线段 AB 的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB===40cm．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．
应选 C．
4．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）
A．4 B．C．2 D．3
【考点】等边三角形的性质．
【解析】依照等边三角形三线合一的性质可得 D 为 BC 的中点，即 BD=CD ，在直角三角形 ABD 中，已知 AB 、 BD，依照勾股定理即可求得AD 的长，即可求三角形ABC 的面积，即可解题．
【解答】解：∵等边三角形高线即中点，AB=2 ，
∴BD=CD=1 ，
在 Rt△ABD 中， AB=2 ，BD=1，
∴AD=，
∴S△ABC = BC?AD=×2×=，
应选 B．
．如图，将三边长分别为，，的△
ABC 沿最长边翻转
180°成△ ABC
1，则CC1 的长等于（）
5 3 4 5
A．B．C．D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的逆定理．
【解析】第一设 AB 与 CC1相较于点 D，由△ ABC 的三边分别为 3、4、5，且 32 +42=52，可得△ ABC 是直角三角形，即可求得CD 的长，既而求得答案．
【解答】解：设 AB 与 CC1相较于点 D，
∵△ ABC 的三边分别为 3、 4、 5，且 32+42=52，
∴△ ABC 是直角三角形，
由折叠的性质可得： AB ⊥ CD，且 CD=C1D，
∴CD==，
∴CC1=2CD=．
应选： D．
6．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ ABC 的形状为（）
A ．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D ．以上答案都不对
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【解析】依照勾股定理求得△ ABC 各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判断，进而不难获取其
形状．
【解答】解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC= =2，
AC= = ，
AB= = ，
在△ ABC 中，
∵BC2+AC 2=52+13=65， AB 2=65，
∴BC2+AC 2=AB 2，
∴△ ABC 是直角三角形．
应选： A．
7．如图，△ ABC 和△ DCE 都是边长为 4 的等边三角形，点B、C、 E 在同一条直线上，连接BD ，则 BD 的长为（）
A．B．C．D．
【考点】勾股定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【解析】依照等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步依照勾股定理进行求解．
【解答】解：∵△ ABC 和△ DCE 都是边长为 4 的等边三角形，
∴∠ DCE=∠CDE=60°， BC=CD=4．
∴∠ BDC= ∠CBD=30° ．
∴∠ BDE=90° ．
∴BD= =4 ．
应选： D．
8．长方形的一边长为4，对角线与长方形别的一条边相差2，则长方形的面积为（）
A．8 B．4 C．6 D．12
【考点】矩形的性质．
【解析】利用勾股定理列式求出另一边长，尔后依照矩形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵如图， AB=4 ，AC=BC +2，
∴依照勾股定理获取： AB 2+BC2=（BC+2）2，即 16+BC2=（BC+2）2，
∴BC=3，
∴它的面积为 4×3=12．
应选： D．
9．在直角三角形中，若是有一个角是30°，这个直角三角形的三边之比最有可能的是（）A．3：4：5B．1：1：C．5：12：13 D．1：：2
【考点】含 30 度角的直角三角形．
【解析】设 30°角所对的直角边为a，依照 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出斜边的长度，再
利用勾股定理求出另一条边的长度，尔后即可求出比值．
【解答】解：如图，设 30°角所对的直角边B C=a，
则 AB=2BC=2a ，
∴AC==a，
∴三边之比为 a：a：2a=1：：2．
应选 D．
10．设 a、b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为 2.5，则 ab 的值是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【考点】勾股定理．
【解析】由该三角形的周长为 6，斜边长为 2.5 可知 a+b+2.5=6，再依照勾股定理和完好平方公式即
可求出 ab 的值．
【解答】解：∵三角形的周长为6，斜边长为 2.5，
∴a+b+2.5=6，
∴a+b=3.5，①
∵a、b 是直角三角形的两条直角边，
22 2
∴a +b =2.5 ，②
由②得 a2+b2=（a+b）2﹣2ab=2.52
∴3.52﹣ 2ab=2.52
ab=3，
应选 D．
11．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为 2dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）
A ．4 dm B．2 dm C． 2 dm D． 4dm
【考点】平面张开 -最短路径问题．
【解析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面张开，进而依照“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，依照勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面张开，获取矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC 的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为 2dm，
∴AB=2dm ，BC=BC′=2dm，
∴AC 2=22+22=4+4=8，
∴AC=2dm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4dm．
应选： A．
12．如图，在 6 个边长为 1 的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从 A 点到 B 点的最短距离的走法共有（）
A．1 种B．2 种 C．3 种 D．4 种
【考点】勾股定理的应用．
【解析】以下列图，找出从 A 点到 B 点的最短距离的走法即可．
【解答】解：依照题意得出最短行程以下列图，
最短行程长为+1=2 +1，
则从 A 点到 B 点的最短距离的走法共有 3 种，
应选： C．
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 3 分，共 12 分．把答案填在题中横线上）
13．若是三角形的三边分别为，， 2，那么这个三角形的最大角的度数为90° ．
【考点】勾股定理的逆定理．
【解析】依照勾股定理的逆定理：若是三角形的三边长a， b， c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得答案．
【解答】解：∵（
2
22
）
2，）+ =（
∴此三角形是直角三角形，
∴这个三角形的最大角的度数为90°，
故答案为： 90°．
14．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线 AE 折叠（点 E 在边 DC 上），折叠后端点D 恰好落在边 OC 上的点 F 处．若点 D 的坐标为（ 10，8），则点 E 的坐标为（10，3）．
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
【解析】依照折叠的性质获取AF=AD ，所以在直角△ AOF 中，利用勾股定理来求OF=6，尔后设EC=x，则 EF=DE=8﹣ x， CF=10﹣6=4，依照勾股定理列方程求出EC 可得点 E 的坐标．
【解答】解：∵四边形 A0CD 为矩形， D 的坐标为（ 10， 8），
∴AD=BC=10 ，DC=AB=8 ，
∵矩形沿 AE 折叠，使 D 落在 BC 上的点 F 处，
∴AD=AF=10 ， DE=EF，
在 Rt△AOF 中， OF==6，
∴FC=10﹣6=4，
设 EC=x，则 DE=EF=8 ﹣x，
在 Rt△CEF 中， EF2=EC2+FC2，即（ 8﹣x）2=x2+42，解得 x=3，
即 EC 的长为 3．
∴点 E 的坐标为（ 10，3），
故答案为：（ 10，3）．
15．如图，以 Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=a，则图中阴影部分的面积为a2．
【考点】勾股定理．
【解析】依照勾股定理可得AC 2+BC2=AB 2，尔后判断出阴影部分的面积=2S△ABE，再利用等腰直角三角形的面积等于直角边的平方的一半计算即可得解．
【解答】解：∵△ ABC 是直角三角形，
∴AC 2+BC2=AB 2，
∵三个阴影部分三角形都是等腰直角三角形，
∴阴影部分的面积 =2S△ABE =2×?a?（ a）=a2．
故答案为：a2．
16．以下列图，在△ ABC 中， AB ：BC：CA=3 ：4： 5，且周长为 36cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 1cm 的速度搬动；点 Q 从点 B 沿 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度搬动，假好像时出发，则过 3 秒时，△ BPQ 的面积为 18 cm2．
【考点】勾股定理的逆定理．
【解析】第一设 AB 为 3xcm， BC 为 4xcm， AC 为 5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定
理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出 3 秒后的， BP， BQ 的长，利用三角形的面积公式计算求解．
【解答】解：设 AB 为 3xcm，BC 为 4xcm，AC 为 5xcm，
∵周长为 36cm，
AB +BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，
解得 x=3，
∴AB=9cm ，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB 2+BC2=AC 2，
∴△ ABC 是直角三角形，
过 3 秒时， BP=9﹣ 3× 1=6（cm）， BQ=2× 3=6
（cm），∴S△PBQ= BP?BQ= ×（ 9﹣ 3）× 6=18
（ cm2）．
故答案为： 18．
三、解答题（本大题共8 小题，共 72 分，解答应写出计算过程）17．在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°．
（1）已知 c=25，b=15，求 a；
（2）已知 a=，∠ A=60°，求b、c．
【考点】解直角三角形．
【解析】（1）依照勾股定理即可直接求出 a 的值；
（2）依照直角三角形的性质与勾股定理即可求出b、c 的值．
【解答】解：（ 1）依照勾股定理可得：
a==20；
（2）∵△ ABC 为 Rt△，∠ A=60°，
∴∠ B=30°，
∴c=2b，
依照勾股定理可得： a2+b2=c2，即 6+b2=（ 2b）2，
解得 b=，则c=2．
18．如图，已知在△ ABC 中， CD⊥AB 于 D，BD=9 ，BC=15，AC=20．（1）求 CD 的长；
（2）求 AB 的长；
（3）判断△ ABC 的形状．
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【解析】（1）在 Rt△ BCD 中，依照勾股定理求出CD 的长；
（2）在 Rt△ACD 中依照勾股定理求出AD 的长，故可得出AB 的长；
（3）由勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解答】（1）在△ BCD 中，因为 CD⊥ AB ，
所以 BD2+CD2=BC2．
所以 CD2=BC2﹣BD 2=152﹣92=144．
所以 CD=12．
（2）在△ ACD 中，因为 CD⊥AB ，
22 2
2222 2
所以 AD =AC ﹣CD =20 ﹣12 =256．
所以 AB=AD +BD=16+9=25．
（3）因为 BC2+AC 2=152+202=625，AB
2=252=625，所以 AB 2=BC2+AC2．
所以△ ABC 是直角三角形．
19．如图，在 Rt△ ABC 中， AB=9 ，BC=6，∠ B=90°，将△ ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN ，求线段 BN 的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【解析】如图，第一求出BD 的长，依照勾股定理列出关于线段AN 的方程，问题即可解决．
【解答】解：如图，
∵点 D 为 BC 的中点，
∴BD=CD=；
由题意知： AN=DN （设为 x），
则 BN=9 ﹣x；
由勾股定理得：
x2=（9﹣x）2+32，
∴BN=9﹣ 5=4，
即 BN 的长为 4．
20．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵绽开的美丽的红莲，它高出水面 3 尺．突然一阵暴风吹过，红莲被吹至一边，花朵恰好齐及水面，若是知道红莲搬动的水平距离为 6 尺，请问水深多少？
【考点】勾股定理的应用．
【解析】仔细解析该题，可画出草图，要点是水深、红莲搬动的水平距离及红莲的高度构成素来角
三角形，解此直角三角形即可
【解答】解：红莲被吹至一边，花朵恰好齐及水面即AC 为红莲的长．
Rt△ABC 中， AB=h ， AC=h 3，BC=6 ，
+
由勾股定理得： AC 2=AB 2+BC2，即（ h+3）2 =h2+62，
∴h2 6h 9=h2 36，
+ ++
6h=27，
解得： h=4.5．
答：水深 4.5 尺．
21．如图，△ ABC ，△ AED 是两个大小相同的三角形，已知∠ADE=90°，AE=5，AD=4 ，连接 EB，求DE和EB的长．
【考点】勾股定理．
【解析】直接利用勾股定理得出DE 的长，再利用全等三角形的性质结合勾股定理得出BE 的长．【解答】解：∵∠ ADE=90°， AE=5，AD=4 ，
∴DE==3，
∵△ ABC ，△ AED 是两个大小相同的三角形，
∴AB=AE=5 ，
∴BD=1，
∴BE===．
22．在△ ABC 中， AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ ABC外作△ ABD，使△ ABD为等腰直角三角形，求线段CD 的长．
【考点】勾股定理的逆定理；全等三角形的判断与性质．
【解析】依照题意中的△ ABD 为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ ABD=90°，
∠BAD=90°，∠ADB=90° ．尔后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股
定理进行求解．
【解答】解：∵ AC=4，BC=2，AB= ，
∴AC 2 BC22，
+ =AB
∴△ ACB 为直角三角形，∠ ACB=90° ．
分三种情况：
如图（ 1），过点 D 作 DE⊥CB，垂足为点 E．
∵DE⊥CB（已知）
∴∠ BED= ∠ACB=90°（垂直的定义），
∴∠ CAB +∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余），∵△ ABD 为等腰直角三角形（已知），
∴AB=BD ，∠ ABD=90°（等腰直角三角形的定义），
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∴∠ CAB= ∠EBD （同角的余角相等），
在△ ACB 与△ BED 中，
∵∠ ACB= ∠BED ，∠ CAB= ∠EBD ，AB=BD （已证），
∴△ ACB ≌△ BED（ AAS ），
∴BE=AC=4 ，DE=CB=2 （全等三角形对应边相等），
∴CE=6（等量代换）
依照勾股定理得： CD=2；
如图（ 2），过点 D 作 DE⊥CA ，垂足为点 E．
∵BC⊥CA （已知）
∴∠ AED= ∠ACB=90°（垂直的定义）
∴∠ EAD +∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）
∵△ ABD 为等腰直角三角形（已知）
∴AB=AD ，∠ BAD=90°（等腰直角三角形的定义）
∴∠ CAB +∠DAE=90°（平角的定义）
∴∠ BAC= ∠ADE （同角的余角相等）
在△ ACB 与△ DEA 中，
∵∠ ACB= ∠DEA （已证）∠ CAB= ∠EDA （已证）AB=DA （已证）
∴△ ACB ≌△ DEA （ AAS ）
∴DE=AC=4 ，AE=BC=2 （全等三角形对应边相等）
∴CE=6（等量代换）
依照勾股定理得： CD=2；
如图（ 3），过点 D 作 DE⊥CB，垂足为点 E，过点 A 作 AF⊥ DE，垂足为点 F．∵∠ C=90°，
∴∠ CAB +∠CBA=90°，
∵∠ DAB +∠DBA=90°，
∴∠ EBD+∠DAF=90°，
∵∠ EBD +∠BDE=90°，∠ DAF +∠ADF=90°，
∴∠ DBE= ∠ADF ，
∵∠ BED= ∠AFD=90°， DB=AD ，
∴△ AFD ≌△ DEB，
则 ED=AF ，
由∠ ACB= ∠CED=∠ AFE=90°，
则四边形 CEFA 是矩形，
故 CE=AF ，EF=AC=4，
设 DF=x ，则 BE=x，
故 EC=2+x，AF=DE=EF ﹣DF=4﹣x，
则 2+x=4﹣x，
解得： x=1，
故 EC=DE=3，
则 CD=3 ．
23．在△ ABC 中， a=m2﹣ n2，b=2mn，c=m2+n2，其中 m、n 都是正整数；且m＞n，试判断△ABC
可否为直角三角形？
【考点】勾股定理的逆定理．
【解析】依照勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：∵ a=m2﹣n2，b=2mn， c=m2+n2，
∴a2+b2=（m2﹣ n2）2+4m2n2=m4 +n4﹣ 2m2 n2+4m2 n2=m4+n4+2m2n2=（ m2+n2）2=c2．
∴△ ABC 是为直角三角形．
24．长方形 OABC 绕极点 C（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到CO′ A′位B′置时，边 O′ A交′边 AB 于 D，且 A′D=2，AD=4 ．
（1）求 BC 长；
（2）求阴影部分的面积．
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【考点】坐标与图形变化 -旋转；勾股定理的应用；矩形的性质；旋转的性质．
【解析】（1）先依照旋转的性质以及矩形的性质，求得BC=AO=O′A′，AB=CO=CO'=5 ，∠ B=∠O'=90 °，BD=1，再连接 CD，设 BC=x ，依照勾股定理得出 BC2+BD2=CD2=CO'2+DO'2，据此列出方程求解即可；
（2）依照阴影部分的面积 =△BCD 面积 +△ O'CD 面积，进行计算即可．
【解答】解：（ 1）∵长方形 OABC 绕极点 C（0，5）逆时针方向旋转获取矩形CO′A′B′
∴BC=AO=O′A′，AB=CO=CO'=5 ，∠ B=∠O'=90°，
∵AD=4 ， AB=5 ，
∴BD=5﹣ 4=1，
设 BC=x ，则 DO'=O'A' ﹣A'D=x ﹣2，
连接 CD，则 BC2+BD 2=CD2=CO'2+DO'2
即 x2+12=52+（x﹣2）2
解得： x=7，
∴BC=7；
（2）∵ BC=7，BD=1，CO'=5，DO'=7﹣2=5，∠ B=∠ O'=90°，∴阴影部
分的面积 =△BCD 面积 +△O'CD 面积 = ×7×1+ × 5× 5=16．
2017年2月 18日。