广东省江门市普通高中高考数学3月模拟考试试题06

江门市普通高中2017届高考高三数学3月模拟考试试题(六)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分， 1.已知函数()()lg 1f x x =-的定义域为M ，函数1
y x
=
的定义域为N ，则M N ⋂=( ) A. {}10x x x <≠且 B . {}10x x x ≤≠且 C. {}1x x > D. {}1x x ≤
2. 设1z i =+（i 是虚数单位），则
2
2z z
+= ( ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i + 3.已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是（ ） A ．
4
π B ．
2
π
C ．
4
3π
D ．π 4.已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当)2,0[∈x 时，
)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为（ ）
A ．2-
B ．1
C ． 1-
D ．2
5. 如图给出的是计算1111
24620++++的值的一个程序框图，其中判断
框内应填入的条件是 ( )
A.i>10
B.i<10
C.i>20
D.i<20
6. 已知正项等比数列{}n a 中，1321
3,,22
a a a 成等差数列，则20122013
20102011
a a a a ++=（ ）
A ．3或-1
B ．9或1
C ．1
D ．9
7. 已知,,x R y R ∈∈若不等式
2222112m x y x y
+≥+恒成立，则实数m
有（ ） A ．最小值3
+ B ．最大值3+ C ．最大值4
D ．最小值4
8.设函数()x x
f x e
=
，则（ ） A. 1x =-为()f x 的极大值点 B. 1x =-为()f x 的极小值点[学 C. 1x =为()f x 的极小值点 D. 1x
=为()f x 的极大值点
9.已知定义在实数集R 上的函数y ＝f(x)恒不为零，同时满足f(x ＋y)＝f(x)·f(y)，且当x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有（ ） A ．f(x)<－1 B ．0<f(x)<1 C ．f(x)>1 D ．－1<f(x)<0 10..某几何体的三视图如图所示，它的体积（ ）
A ．12π B.45π C.57π D.81π
11.甲、乙两人在一次射击比赛中各打靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
()A 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 ()B 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 ()C 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ()D 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
12.已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=0 ,00 ,1
)(x x x
x x f ，则关于x 的方程0)()(2
=++c x bf x f 有5个不同实数解的充要条件是（ ）
A ．2-<b 且0>c
B ．2-<b 且0=c
C ． 2->b 且0<c
D ．2-≥b 且0=c
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.
35
(1(1+-的展开式中x 的系数是 。

14. 已知点p(x,y)的坐标满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥≥032,,1y x x y x 那么点P 到直线3x-4y-9=0的距离的最小
值为
15.已知F 1、F 2分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，
若1290F PF ∠=︒，且12F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是
16.下列命题： ①函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=2sin πx y 在[]π,0上是减函数； ②设直线2310x y ++=和圆2
2
230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是3230x y --=。

③已知随机变量ξ服从正态分布(
)2
,2σ
N ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξP 3.0
④定义运算
a b c d
=ad bc -，则函数
()133
12x x x x x f +=
的图象在点⎪⎭
⎫
⎝⎛31,1处的切线方程是.0536=--y x
其中所有正确命题的序号是_________（把所有正确命题的序号都写上）. 三．解答题：共6个小题，满分74分。

17.已知等差数列{}n a 满足：*
1(N )n n a a n +>∈，11a =，该数列的前三项分别加上1，1，3
后顺次成为等比数列{}n b 的前三项. （Ⅰ）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式; （Ⅱ）设()12
12
n
n n
a a a T n N
b b b +=+++
∈，求证： 3n T <
18.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A ,B ,C 的对边，且2
4cos sin cos 202
C
C C ⋅+=. （1）若函数),2sin()(C x x f -=求)(x f 的单调增区间；
（2）若2
325ab c =-，求ABC ∆面积的最大值及此时ABC ∆的形状． 19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA = (Ⅰ)证明AF ⊥平面
1A ED
(Ⅱ)求二面角1A ED F --的正弦值。

20.甲、乙两位篮球运动员进行定点投蓝，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为
21，乙投篮命中的概率为3
2． (Ⅰ)求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；
(Ⅱ)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得1-分，求乙所得分数ξ的概率分布列和数学期望E ξ．
21.已知椭圆的焦点坐标为1F （-1,0），2F （1,0），过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且|PQ |=3，
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则△1F MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 22.已知函数x
x
x g kx x f ln )(,)(== (Ⅰ)求函数x
x
x g ln )(=
的单调区间； （Ⅱ）若不等式)()(x g x f ≥在区间),0(+∞上恒成立，求实数k 的取值范围；
（Ⅲ）求证：e n
n 21
ln 33ln 22ln 444<+⋅⋅⋅++
参考答案
一．选择题：ADABA DBDBC CB
二．填空题：13. 2；14. 2 ；15.5；16. ②③④ 三．解答题：
17解：（Ⅰ）设d 、q 分别为等差数列{}n a 、等比数列{}n b 的公差与公比，且0d > 由,21,1,1321d a d a a +=+==分别加上1，1，3 ……………1分
有1232,2,42b b d b d ==+=+ ……………2分
22214
(2)2(42),4,0,2,22
b d d d d d q b +=+=>∴==
== …………4分 11(1)221,222n n n n a n n b -∴=+-⨯=-=⨯= …………6分
（II ）,21
2252321322211n n n n n b a b a b a T -++++=+++=
① .21
2252321211432+-++++=n n n T ② ，①—②，得 )2
12121(212132n n T ++++= .21
21+--n n …………8分 .2323212213212211211121
n n n n n n n n n T +-=---=----+=∴-- ………………10分 32
323.0232<+-∴>+n
n n n 即3n T < ………………12分
18解：（1）由条件：21cos 4cos 2cos 102
C
C C -⋅+-= 所
以
1
c o 2
C =
……………2分 且
0C π
<< 故
3
π
=
C ， ……………3分
则
)3
2sin()(π
-=x x f ， ……………
4分
,22
3
222
ππ
π
ππ
k x k +≤
-
≤+-
∴,12
5
12
ππππ
k x k +≤
≤+-
∴Z k ∈ 所以)(x f 的单调增区间为⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 125,12Z k ∈ ……………
6分
（2）由余弦定理：222
2cos c a b ab C =+-
22253ab a b ab ∴-=+- 2()25a b += 5a b += (8)
分
21sin ()22ABC a b S ab C ∆+∴=
=≤⋅=……………10分 当
且
仅当
5
2
a b ==
取得最大
值. ……………11分 又
3
π
=
C ，所以
ABC
∆为等边三角
形。

……………12分 19解：如图所示，建立空间直角坐标系，
点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫
⎪⎝⎭
……1分
(Ⅰ)证明：已知(1,2,1)AF =,131,,42EA ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭,11,,02ED ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ ……………3分 于
是
AF
·
1
EA =0，
AF ·ED =0. ……………4分
因
此
，
1
A F
E A ⊥
,
AF ED ⊥
,又
1EA ED E ⋂= ……………5分
所
以
AF ⊥
平面
1
A E D
……………6分
(Ⅱ)解：设平面EFD 的法向量(,,)u x y z =，则0
u E F u E D ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即1
02102
y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ (7)
分 不
妨
令
X=1,
可
得
()1,2,1u =-。

……………8分
由(Ⅰ)可知，
(1,AF =为平面
1A E D 的一个法向
量。

……………9分 于是
2
c
o
3
u A u
A u u
⋅==
⋅
， ……………11分 从
而
5
s
i
n ,
u A F =所以二面角
1
A -E D -F 的正弦
值为
…………12分 20.解：(Ⅰ)设“甲至多命中2个球”为事件A ，“乙至少命中两个球”为事件B ，由题意得，
1611)21()21()21()21()21()(22
2431144=
⋅+⋅+=C C A P
……2分98)32(31)32()31()32()(43
342224=
+⨯+⨯=C C B P
……4分 ∴甲至多命中
2
个球且乙至少命中
2
个球的概率为
1811
981611)()(=
⨯=
⋅B P A P ……5分
(
Ⅱ
)
12
,8,4,0,4-=η，分布列如
下： ……………6分
P （4η=-）=411()381= P （0η=）=134218()()3381C = P （4η=）=222
42124()()3381
C =
P （8η=）=3342132()()3381C =
P （12η=）=4216()381
= ……………8分
…
…………10分
320
811612813288124481808114=
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
-=ηE
……………12分
21解：(Ⅰ) 设椭圆方程为22
22x y a b
+=1（a>b >0）,由焦点坐标可得
c =1 ………………1分
由PQ |=3，可得
2
2b a
=3， ……………………………………………2分 解得a =2，
b
， ………………………………………………３分
故椭圆方程为
22
43
x y +=1 ……………………………………………4分 (Ⅱ) 设M 11(,)x y ，N 22(,)x y ,不妨1y >0, 2y <0,设△1F MN 的内切圆的径R ，
则△1F MN 的周长=4a =8，11
2
F MN S =（MN +1F M +1F N ）R =4R
因此1F MN S 最大，R 就最
大， ………………………………………6分
1212121
()2
AMN S F F y y y y =
-=-， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x =my +1，
由22114
3x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)m y ++6my -9=0，
由题意0∆>显然成
立 ………………………８分
得1y =
，2
y =
则1
2
AMN
S =2c ⋅
⋅（12y y -）=12y y -
， ……………9分
令,则t ≥1,
则
21212
1
313AMN
t S
t t t
===++, ………………………
10分
令f （t ）=3t +1t
，则f ′(t ) =3-21
t
，当t ≥1时，f ′(t )≥0,f (t)在［1,+∞)上单调递增， 有f (t )≥f (1)=4, AMN S
≤
123=3, 即当t =1,m =0时，AMN S ≤12
3
=3, AMN
S
=4R ，∴max R =
3
4
， ………………………11分
这时所求内切圆面积的最大值为916π.故存在直线l :x =1，使△AMN 内切圆面积的最大值为916
π……12分
22 解：（Ⅰ）
x
x
x g ln )(=，故其定义域为),0(+∞
∴
2ln -1)(x
x x g =‘
， …………………2分 令
)
(x g ‘
>0,得e
x <<0，令)
(x g ‘
<0,得
e
x > …………………3分 故函数x
x
x g ln )(=
的单调递增区间为),0(e 单调递减区间为),(+∞e …………4分
（Ⅱ） ,ln ,0x x
kx x ≥>2ln x
x k ≥∴，…………………5分
2ln )(x x x h = 又3
ln 2-1)(x
x x h =‘，令0)(=x h ‘
解得e x = …………………6分
当x 在),0(+∞内变化时，)(x h ‘
，)(x h 变化如下表 由表知，当e x =时函数)(x h 有最大值，且最大值为
e 21
…………………8分
所以，e 21
≥
k
(9)
分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知e 21ln 2
≤x x ∴)2(1
e 21ln 24≥⋅≤x x x x
…………………10分
∴)1
3121(21ln 33ln 22ln 2
22444
n e n n +⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅++
…………………11分
n n n )1(1
321211131212
22-+⋅⋅⋅+⨯+⨯<+⋅⋅⋅++
1
1
1)111()3121()211(<-=--+⋅⋅⋅+-+-=n n n
…………………13分
∴e n e n n 21)13121(21ln 33ln 22ln 2
22444
<+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅++
即e n n 21
ln 33
ln 22ln 4
44<+⋅⋅⋅++
…………………14分。