上海市黄埔区2024-2025学年数学九上开学检测试题【含答案】

上海市黄埔区2024-2025学年数学九上开学检测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）已知正比例函数()y kx k 0=≠的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（）A ．y 2x =B ．y 2x =-C ．1y x 2=D ．1y x 2=-2、（4分）如图，菱形ABCD ，AC 与BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，则菱形的边长AB 是（）A ．10B ．8C ．6D ．53、（4分）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．4、（4分）若△ABC ∽△DEF 且面积比为9：25，则△ABC 与△DEF 的周长之比为（）A ．9：25B ．3：25C ．3：5D ．2：5
5、（4分）已知实数a b 、，若>a b ，则下列结论错误的是()
A ．66a b +>+
B ．22a b ->-
C ．22a b ->-
D ．33
a b
>6、（4分）如图所示，将一个含30角的直角三角板ABC 绕点A 逆时针旋转，点B 的对应点是点'B ，若点'B 、A 、C 在同一条直线上，则三角板ABC 旋转的度数是（）
A ．60
B ．90
C ．120
D ．1507、（4分）菱形的两条对角线长分别是6cm 和8cm ，则它的面积是（）A ．6cm 2B ．12cm 2C ．24cm 2D ．48cm 28、（4分）有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，所得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学得分的（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．总分二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x −2)243-经过原点O,与x 轴的另一个交点为A．将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方,将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,过点B(0,1)作直线l 平行于x 轴，当图象G 在直线l 上方的部分对应的函数y 随x 增大而增大时，x 的取值范围是____.10、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线A
E 交边CD 于E ，▱ABCD 的周长是16cm ，EC=2cm ，则BC=______.
11、（4分）有一种细菌的直径约为0.000000054米，将0.000000054这个数用科学记数法表示为____.
12、（4分）若不等式组+0
1
22x a x x ≥⎧⎨->-⎩有且仅有3个整数解，则a 的取值范围是___________．
13、（4分）若数m 使关于x
的不等式组2122274x x x m -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩,有且仅有三个整数解，则m 的
取值范围是______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 过点O 分别交BC ，AD 于点
E 、
F ，
G 、
H 分别为OB 、OD 的中点，求证：四边形GEHF 是平行四边形．15、（8分）如图，直线y kx b =+与
x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且1OA =，AB =．（1）求直线AB 的解析式；（2）若在直线AB 上有一点P ，使POB ∆的面积为4，求点P 的坐标．16、（8分）如图，平行四边形ABCD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆弧，交对角线BD 于点E ，连结AE 并延长交CD 于点F ，求证：DF ＝DE ．
17、（10分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，AE ∥BD ，且AE=BD ．
（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）连接CE 交AB 于点F ，若AE=2，求EF 的长．18、（10分）某班级准备购买一些奖品奖励春季运动会表现突出的同学，奖品分为甲、乙两种，已知，购买一个甲奖品比一个乙奖品多用20元，若用400元购买甲奖品的个数是用160元购买乙奖品个数的一半.（1）求购买一个甲奖品和一个乙奖品各需多少元？（2）经商谈，商店决定给予该班级每购买甲奖品3个就赠送一个乙奖品的优惠，如果该班级需要乙奖品的个数是甲奖品的2倍还多8个，且该班级购买两种奖项的总费用不超过640元，那么该班级最多可购买多少个甲奖品？B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于_____．
20、（4分）在参加“森林重庆”的植树活动中，某班六个绿化小组植树的棵数分别是：10，1，1，10，11，1．则这组数据的众数是____________．
21、（4分）如图，DE 为ABC ∆的中位线，点F 在DE 上，且AFC ∠为直角，若6AC cm =，8BC cm =，则DF 的长为__________cm ．
22、（4分）如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC=__．23、（4分）小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图所示为小明离家的路程()y m 与时间(min)t 的图像，则小明回家的速度是每分钟步行________m ．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）数学问题：用边长相等的正三角形、正方形和正六边形能否进行平面图形的镶嵌？问题探究：为了解决上述数学问题，我们采用分类讨论的思想方法去进行探究．探究一：从正三角形、正方形和正六边形中任选一种图形，能否进行平面图形的镶嵌？
第一类：选正三角形．因为正三角形的每一个内角是60°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有6个正三角形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形可以进行平面图形的镶嵌．第二类：选正方形．因为正方形的每一个内角是90°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有4个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正方形也可以进行平面图形的镶嵌．第三类：选正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)
探究二：从正三角形、正方形和正六边形中任选两种图形，能否进行平面图形的镶嵌？
第四类：选正三角形和正方形在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正三角形和y 个正方形的内角可以拼成个周角．根据题意，可得方程60x+90y ＝360整理，得2x+3y ＝1．我们可以找到唯一组适合方程的正整数解为32x y =⎧⎨=⎩.镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着3个正三角形和2个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正方形可以进行平面镶嵌第五类：选正三角形和正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)第六类：选正方形和正六边形，(不写探究过程，只写出结论)探究三：用正三角形、正方形和正六边形三种图形是否可以镶嵌平面？第七类：选正三角形、正方形和正六边形三种图形．(不写探究过程，只写结论)，25、（10分）如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，某一时刻，动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点N 从点D 沿DA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动．（1）经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？（2）是否存在时刻t ，使A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．
26、（12分）已知点A（2，0）在函数y=kx +3的图象上，
（1）求该函数的表达式；
（2）求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
利用待定系数法把（1，-2）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式．
【详解】
根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，－2）代入y kx
=，得：k2
=-，∴正比例函数的解析式为y2x
=-.
故选B.
2、D
【解析】
根据菱形的对角线互相垂直、平分可求得OA、OB长，继而根据勾股定理即可求出AB的长.
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=
1
2AC，OB=
1
2BD，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OB=3，
∴=5，
故选D．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线具有的性质是解题的关键.
3、C
【解析】
根据中心对称图形的概念进行分析．
【详解】
A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4、C
【解析】
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．
【详解】
解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为9：21，
∴它们的相似比为3：1，
∴△ABC与△DEF的周长比为3：1．
故选：C．
本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．
5、C
【解析】
根据不等式的性质，可得答案．
【详解】
解：A．两边都加6，不等号的方向不变，故A正确；
B．两边都减2，不等号的方向不变，故B正确；
C．两边都乘﹣2，不等号的方向改变，故C错误；
D．两边都除以3，不等号的方向不变，故D正确．
故选C．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
6、D
【解析】
根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
【详解】
解：旋转角是'18030150BAB ∠=-=故选：D.本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．7、C 【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．【详解】根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=12ab=12×6cm×8cm=14cm 1．故选：C ．考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键.8、B 【解析】因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这19位同学成绩的中位数．【详解】解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以，故选：B ．本题考查了统计量的选择，掌握各个统计量的特点是解题关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1<x<2或.
【解析】
先写出沿x 轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象计算可得对应取值范围.
【详解】
由题意可得抛物线：y=13(x−2)24
3-，
对称轴是：直线x=2,由对称性得：A(4,0),沿x 轴折叠后所得抛物线为：y=−13(x−2)24+3；如图，由题意得：当y=1时,13(x−2)243 =1，解得：x 1,x 2=2−，∴C(2−,1)，当y=1时,−13(x−2)24+3=1，解得：x 1=3,x 2=1，∴D(1,1),E(3,1)，由图象得：图象G 在直线l 上方的部分,当1<x<2或时，函数y 随x 增大而增大；故答案为1<x<2或.此题考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于结合函数图象进行解答.10、1【解析】由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE=∠DEA ，证出AD=DE ；求出AD+DC=8，得出BC=1．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=CD ，AD=BC ，∴∠BAE=∠DEA ，
∵平行四边形ABCD 的周长是16，∴AD+DC=8，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠BAE=∠DAE ，∴∠BAE=∠AEB ，∴AD=DE ，
∴AD=1，∴BC=1，故答案为：1.本题考查平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的性质.11、【解析】绝对值<1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.000000054这个数用科学记数法表示为.故答案为：考查科学记数法，掌握绝对值小于1的数的表示方法是解题的关键.12、1≤a ＜2【解析】此题需要首先解不等式，根据解的情况确定a 的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍．【详解】解：解不等式x+a≥0得：x≥-a ，解不等式1-1x ＞x-1得：x ＜1，
∵此不等式组有2个整数解，
∴这2个整数解为-1，-1，0，
∴a 的取值范围是-2＜a≤-1．
故答案为：1≤a ＜2．
此题考查一元一次不等式组的解法．解题关键在于要注意分析不等式组的解集的确定．13、114
m -<≤-
先解不等式组，求出解集，再根据“有且仅有三个整数解的条件”确定m 的范围.【详解】解：解不等式组2122274x x x m -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩得：437m x +-< 由有且仅有三个整数解即：3,2,1.则：4017m +-< 解得：114m -<≤-本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于m 的不等式组是解题关键.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、见解析.【解析】通过证明△EOB ≌△FOD 得出EO ＝FO ，结合G 、H 分别为OB 、OD 的中点，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明.【详解】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BO ＝DO ，AD ＝BC 且AD ∥BC ．∴∠ADO ＝∠CBO ．又∵∠EOB ＝∠FOD ，∴△EOB ≌△FOD （ASA ）．∴EO ＝FO ．又∵G 、H 分别为OB 、OD 的中点，∴GO ＝HO ．
∴四边形GEHF 为平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
15、（1）22y x =+；（2）(4,10)P 或(4,6)
P --
（1）根据1OA =，AB =A 、B 的坐标，再将这两点坐标代入y kx b =+，即可求出AB 的解析式；（2）以OB 为底（因为OB 刚好与y 轴重合），则P 点到y 轴的距离即为高，根据POB ∆的面积是4，计算出高的长度，即可得到P 点的横坐标（有两个），代入AB 的解析式即可求出P 点的坐标.【详解】解：（1）∵1OA =，AB =，∴2OB ==∴(1,0)A -，(0,2)B ，由题意，得02k b b -+=⎧⎨=⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式是22y x =+（2）设(,)P x y ，过点P 作PC y ⊥轴于点C ，则||PC x =∵142POB S OB PC ∆=∙=，即12||42x ⨯⨯=，解得：4x =±当4x =时，10y =；当4x =-时，6y =-.
∴(4,10)P 或(4,6)P --.
本题考查一次函数的综合应用，（1）中能根据点与坐标系的特征，得出A 、B 两点的坐标是解题的关键；（2）中在坐标系中计算三角形的面积时，常以垂直x 轴或y 轴的边作为三角形的底进行计算比较简单.
16、见解析.
欲证明DE=DF ，只要证明∠DEF=∠DFE ．【详解】证明：由作图可知：BA ＝BE ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DFE ，∵∠AEB ＝∠DEF ，∴∠DEF ＝∠DFE ，∴DE ＝DF ．本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.17、（1）见解析；（2）EF ＝3.【解析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断；（2）利用勾股定理求出EC ，证明△AEF ∽△BCF ，推出12EF AE CF BC ==，由此即可解决问题．【详解】（1）证明：∵AE ∥BD ，AE ＝BD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴∠ADB ＝90°，
∴四边形AEBD 是矩形；
（2）解：∵四边形AEBD 是矩形，
∴∠AEB ＝90°，
∵AE ＝2，BE ＝
∴EC =，∵AE ∥BC ，∴△AEF ∽△BCF ，∴12EF AE CF BC ==，∴EF ＝13EC ＝273．本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18、（1）购买一个甲奖品需25元，买一个乙奖品需要5元；（2）该班级最多可购买18个甲奖品.【解析】（1）设买一个乙奖品需要x 元，购买一个甲奖品需()20x +元,根据题意用400元购买甲奖品的个数是用160元购买乙奖品个数的一半，列出分式方程，然后求解即可；（2）设该班级可购买a 个甲奖品,根据题意列出一元一次不等式，然后求解即可.【详解】解：()1设买一个乙奖品需要x 元，购买一个甲奖品需()20x +元，由题意得：4001160,5202x x x =⨯=+，经检验5x =是原方程的解，则2025,x +=答：购买一个甲奖品需25元，买一个乙奖品需要5元；
()2设该班级可购买a 个甲奖品，
根据题意得255286403a a a ⎛⎫
++-≤ ⎪⎝⎭，
解得18a ≤，
答：该班级最多可购买18个甲奖品.
分式方程和一元一次不等式在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出方程是解题的
关键.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、3【解析】连接AW ，如图所示：根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°，在Rt △ADW 和Rt △AB′W 中，AB AD AW AW ='⎧⎨=⎩,∴Rt △ADW ≌Rt △AB′W （HL ），∴∠B′AW=∠DAW=1302DAB '︒∠=又AD=AB′=1，在RT △ADW 中，tan ∠DAW=WD AD ，即tan30°=WD 解得：WD=3∴126ADW AB W S S WD AD ∆'∆==⋅=,
则公共部分的面积为：3ADW AB W S S ∆∆'+=，
故答案为3.
20、1
【解析】
众数是一组数据中出现次数最多的数据，有时众数可以不止一个．【详解】解：在这一组数据中1是出现次数最多的，故众数是1；故答案为1．21、1【解析】根据三角形中位线定理求出DE ，根据直角三角形的性质求出EF ，结合图形计算即可．【详解】∵DE 为△ABC 的中位线，∴DE=12BC=4(cm)，∵∠AFC 为直角，E 为AC 的中点，∴FE=12AC=3(cm)，∴DF=DE−FE=1(cm)，故答案为：1cm.此题考查三角形中位线定理，解题关键在于掌握其性质定义.22、15【解析】l 1∥l 2∥l 3,AB DE AB BC EF DE =++,所以6512.5AC =，所以AC =15.23、1【解析】
先分析出小明家距学校10米，小明从学校步行回家的时间是15-5=10（分），再根据路程、时间、速度的关系即可求得．
【详解】
解：通过读图可知：小明家距学校10米，小明从学校步行回家的时间是15-5=10（分），所以小明回家的速度是每分钟步行10÷10=1（米）．
故答案为：1．
本题主要考查了函数图象，先得出小明家与学校的距离和回家所需要的时间，再求解．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、详见解析
【解析】
根据题意列出二元一次方程或三元一次方程，求出方程的正整数解，即可得出答案．【详解】
解：第五类：设x个正三角形，y个正六边形，
则60x+10y＝360，
x+2y＝6，
正整数解是
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
4
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形（或4个正三角形和1个正六边形）的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；第六类：设x个正方形，y个正六边形，
则90x+10y+＝360，
3x+4y＝1，
此方程没有正整数解，
即镶嵌平面时，不能在一个顶点周围围绕着正方形和正六边形的内角拼成一个周角，所以不能用正方形和正六边形进行平面镶嵌；
第七类：设x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，
则60x+90y+10z＝360，
2x+3y+4z＝1，
正整数解是
1
2
1 x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形、1个正六边的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌．
本题考查了平面镶嵌和三元一次方程、二元一次方程的解等知识点，能求出每个方程的正整数解是解此题的关键．
25、（1）1秒或2秒，（2）存在，秒或秒【解析】试题分析：（1）设经过秒后，根据的面积等于矩形面积的，得出方程解方程即可；（2）假设经过秒时，以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，然后利用相似三角形的对应边成比例得出方程，解方程即可.试题解析：（1）设经过秒后，的面积等于矩形面积的，则有：，即，解方程，得．经检验，可知符合题意，所以经过1秒或2秒后，的面积等于矩形面积的．（2）假设经过秒时，以为顶点的三角形与相似，由矩形，可得，因此有或即①，或②．
解①，得；解②，得
经检验，或都符合题意，所以动点同时出发后，经过秒或秒时，以
为顶点的三角形与相似
考点：1.矩形的性质2.相似三角形的判定与性质.
26、(1)y=-3
2x+3(3)3
【解析】
试题分析：（1）将点代入，运用待定系数法求解即可．
（2）求出与x轴及y轴的交点坐标，然后根据面积公式求解即可．试题解析：
（1）因为点A（2，0）在函数y=kx+3的图象上，
所以2k+3=0
解得
3
2 k=-
函数解析式为y=-33 2
x+．
（2）在y=-33
2
x+中，令y=0，
即-33 2
x+=0
得x=2，
令x=0，得y=3，
所以，函数图象与x轴、y轴分别交于点A（2，0）和B（（0.3）函数图象与坐标轴围成的三角形即△AOB，
S△AOB＝1
2
•OA•OB＝
1
2
×2×3＝3.。