2021年高考数学大一轮复习 第六章 第37课 复数要点导学

复数的概念及四则运算法则
实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是:
(1) 实数? (2) 虚数? (3) 纯虚数?
[思维引导]复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.
[解答]z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.
由m∈R,可知z的实部为m2+5m+6,虚部为m2-2m-15.
(1) 要使z为实数,必有所以m=5或m=-3.
(2) 要使z为虚数,必有m2-2m-15≠0,所以m≠5且m≠-3.
(3) 要使z为纯虚数,必有
即所以m=-2.
[精要点评]按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a,b∈R)的形式,明确复数的实部与虚部,由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件,列出方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的是解决问题的关键.
(xx·苏北四市期末)设复数z
1=2-i,z
2
=m+i(m∈R,i为虚数单位),若z
1
·z
2
为实数,
则m的值为.
[答案]2
[解析]因为z
1·z
2
=(2-i)(m+i)=2m+1+(2-m)i且z
1
·z
2
为实数,所以2-m=0,m=2.
(xx·泰州期末)若复数(1+i)2=a+bi(a,b是实数,i是虚数单位),则a+b的值为.
[答案]2
[解析](1+i)2=2i=a+bi,根据复数相等的定义,则有a=0,b=2,所以a+b=2.
已知复数z
1满足(z
1
-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z
2
的虚部为2,z
1
·z
2
是实数,
求z
2
.
[思维引导]两个复数的和是一个实数,则和的虚部为0,从而可以待定系数,进
一步求解复数z
2
.
[解答]由(z
1-2)(1+i)=1-i,解得z
1
=2-i.
设z
2=a+2i,a∈R,则z
1
z
2
=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
因为z
1z
2
∈R,所以a=4,所以z
2
=4+2i.
[精要点评]正确使用复数的四则运算求解z
1
是解决本题的关键. (xx·苏州期末)设i为虚数单位,则(1+2i)·(1-i)2=. [答案]4-2i
[解析](1+2i)(1-i)2=-2i(1+2i)=4-2i.
(xx·南京学情调研)已知复数z满足iz=1+i(i为虚数单位),那么|z|=.
[答案]
[解析]方法一:因为iz=1+i,所以z==1-i,
故|z|==.
方法二:因为iz=1+i,所以|iz|=|1+i|,即|z|=.
复数的几何意义
设z∈C,若z2为纯虚数,求z在复平面上对应的轨迹方程.
[思维引导]因为z2为纯虚数,所以z2的实部为0,且虚部不为0.
[解答]设z=x+yi(x,y∈R),则z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi.
因为z2为纯虚数,所以
所以所求轨迹方程为y=±x(x≠0).
[精要点评]要求z在复平面上对应点的轨迹方程,即求z的实部和虚部满足的关系式.
求满足等式|z-i|+|z+i|=3的复数z对应的点的轨迹.
[解答]因为|z-i|+|z+i|=3,故由复数模的几何意义得z的对应点到定点(0,1)
与(0,-1)的距离之和为3,满足椭圆的定义,所以复数z的对应点的轨迹为椭圆.
已知复数z
1=sin 2x+ti,z
2
=m+i(i为虚数单位,t,m,x∈R),且z
1
=z
2
.
(1) 若t=0,且0<x<π,求x的值;
(2) 设t=f(x),已知当x=α时,t=,求cos的值.
[规范答题] (1) 因为z
1=z
2
,所以
所以t=sin 2x-cos 2x.(2分)
若t=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.(4分)
因为0<x<π,所以0<2x<2π.
所以2x=或2x=,
得x=或x=.(6分)
(2) t=f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin.(8分)
当x=α时,t=,即2sin=,
所以sin=.
所以-cos=,
所以cos=-.(10分)
所以cos=2cos2-1=2×-1=-.(14分)
[精要点评]理解两复数相等的充分必要条件即可以将本题转化为函数问题.
1. =.
[答案]-1+i
2. 复数(1+2i)2的共轭复数是.
[答案]-3-4i
3. 若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应点的坐标是.
[答案](4,-2)
4. (xx·扬州期末)在复平面内,复数对应的点位于第象限.
[答案]一
[解析]因为==1+2i,所以它所对应的点位于第一象限.
[温馨提醒]
趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第73-74页).39229 993D 餽25749 6495 撕p38613 96D5 雕23155 5A73 婳S35487 8A9F 誟36827 8FDB 进822177 56A1 嚡"35041 88E1 裡Q:。