吉林省辽源市东辽县第一高级中学2019_2020学年高二数学5月月考试题理2-含答案 师生通用

吉林省辽源市东辽县第一高级中学2019-2020学年高二数学5月月考
试题 理
一、单选题（每题5分，共12小题，共60分）
1．已知函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '
在(,)a b 上的图象如图所示，则函数()
f x 在(,)a b 上的极大值点的个数为( ).
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.已知复数z 满足1-31i
z i
=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．2
B ．-2
C ．2i
D ．-2i
3.()ln f x x x =-函数的极大值点为（ ）A.1 B.-1 C.(1,-1) D(-1,1)
4. 设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．设2,[0,1]
()2,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则2
()d f x x =⎰（ ）．
A ．
34 B ．45 C ．5
6
D ．不存在 6．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7.设()f x 为可导函数，()()
112lim
12x f f x x
→--=，则在点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）
A ．2
B ．1-
C ．1
D ．2-
8．由y x =，1
y x
=
，2x =及x 轴所围成的平面图形的面积是（ ） A ．ln21+ B ．2ln 2-
C ．1ln 22
-
D ．1ln 22
+
9.用数学归纳法证明“53
3
*1232
n n n n N +++++=∈L ，”，则当1n k =+时，应当在
n k =时对应的等式的左边加上（ ）
A ．3k 1+
B ．()3
1k +C ．(
)(
)
()3
3
3
k 1k 21k ++++++L D ．
54
10．①已知
332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +>；
②设x ， y ， z 都是正数，用反证法证明三个数1x y +
， 1y z +， 1
z x
+至少有一个不小于2时，可假设1x y +
， 1y z +， 1
z x
+都大于2，以下说法正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误 D ．①的假设错误，②的假设正确
11．己知函数()()2
f x x x c =-，在2x =处取得极大值，则实数c 的值是（ ）
A ．
2
3
B ．2
C ．2或6
D ．6
12．函数2
()(23)1f x ax a x a =--++与1
()1
g x x =-的图象有三个交点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．()18,0-
B ．1415,
27⎛
⎫- ⎪⎝
⎭ C ．1418,27⎛
⎫- ⎪⎝⎭ D ．14(18,0)0,27⎛⎫- ⎪⎝⎭
U 二、填空题（每题5分，共4小题，共20分）
13.
1
-=⎰
__________．
14．若函数()1
ln f x x ax x
=++
在[)1,+∞上是单调减函数，则a 的取值范围是_________． 15．已知函数()3
2
33f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，其图象在1x =处的切线平行于直线6250x y ++=，则()f x 极大值与极小值之差为__________．
16．已知()f x ' 是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________. 三、解答题(共70分）
17．（10分）设函数()212f x x x =+--.
（1）求不等式()2f x >的解集；（2）若x R ∀∈，211
()2
f x t t ≥-
恒成立，求实数t 的取值范围.
18．（12分）已知复数()332z a a i =+-，i 为虚数单位，a R ∈. （1）若z 是实数，求实数a 的值；
（2）若z =a 的值；
（3）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围. 19．（12分）设函数()2
14ln 2
f x x x =
-． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）求函数()f x 在区间[]
1,e 上的最值．
20．（12分）若函数()3
4f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值4
3
-
． （1）求函数的解析式； （2）求函数的极值；
（3）若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
21．（12分）已知函数211
()ln (,0)22
f x x a x a R a =
--∈≠． （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围．
22．（12分）已知函数()()3
21ln 2
f x x x ax ax a R =+-∈. （1）当0a =时，求()f x 的最值； （2）若函数()()
f x
g x x
=
存在两个极值点()1212,x x x x ≠，求()()12g x g x +的取值范围. 高二理科数学答案
BBAD CBCD CCDD
2π 1
(,)4-∞- 4 (-1,0) ⋃(1,)+∞ 17.（1）()1321312232x x f x x x x x ⎧
--<⎪⎪
⎪
=--≤<⎨⎪
+≥⎪⎪⎩
，，，
当1
2
x <-，32x -->，5x <-，∴5x <- 当1
22
x -
≤<，312x ->，1x >，∴12x << 当2x ≥，32x +>，1x >-，∴2x ≥ 综上所述{}
15x x x 或<-
（2）易得()min 52f x =-，若x R ∀∈，()2
112f x t t ≥-恒成立， 则只需()2min 51122f x t t =-≥- 212115052t t t ⇒-+≤⇒≤≤， 综上所述1
52
t ≤≤.
18.
19. ()1定义域为()0,∞+， 由题得()4
'f x x x
=-
，令()0f x '=，2x =．
所以()f x 的单调减区间为()0,2，单调增区间为()2,+∞；
(2)由()1得，()f x 在[)1,2单调递减，在[]2,e 单调递增，所以()()2242min f x f ln ==-，
又()112f =
，()2142f e e =-，因为()211
422
f e e =-<， 所以()()2242min f x f ln ==-，1
()2
max f x =．
20．（1）()()23
'
43f x ax bx f
x ax b =-+⇒=-，因为当2x =时，函数()f x 有极值4
3
-
，所以有()()3
324122241()4433323204f a b a f x x x f a b b ⎧⎧=⋅-+=-=
⎪⎪⇒⇒=-+⎨⎨⎪⎪=⋅⋅-==⎩⎩
'；
（2）由（1）可知；()2'
4(2)(2)f x x x x =-=+-，令()'0f x =，得122,2x x =-=，
当2x <-时，()'
0f
x >，因此函数()f x 单调递增；
当22x -<<时，()'
0f x <，因此函数()f x 单调递减；
当2x >时，()'
0f
x >，因此函数()f x 单调递增，所以当2x =-时，函数()f x 有极大值，
其值为3128
(2)(2)4(2)433
f -=
⨯--⨯-+=，当2x =时，函数()f x 有极小值，其值为314(2)242433f =⨯-⨯+=-，因此函数()f x 的极大值为：28
3，函数()f x 的极小值为
43
-； （3）因为关于x 的方程()f x k =有三个不同的实数解，所以函数()y f x =的图象和y k =的
图象有3个交点，函数()
y f x
=的图象和y k
=的图象如下所示：
因此由（2）所求的极值可知：当
428
33
k
-<<时，函数()
y f x
=的图象和y k
=的图象有3个交点，即关于x的方程()
f x k
=有三个不同的实数解.
21. （Ⅰ）2
a=时，2
11
()2ln,(1)0
22
f x x x f
=--=
2
'(),'(1)1
f x x f
x
=-=-
曲线()
y f x
=在点(1,(1))
f处的切线方程10
x y
+-=
（Ⅱ）
2
'()(0)
a x a
f x x x
x x
-
=-=>
①当0
a<时，
2
'()0
x a
f x
x
-
=>恒成立，函数()
f x的递增区间为()
0,∞
+
②当0
a>时，令'()0
f x=，解得x a
=x a
=-
x （ 0,a）a（(,)
a+∞,1）
f’
（x）
- +
f（x）减增
所以函数()
f x的递增区间为(,a+∞，递减区间为)a
（Ⅲ）对任意的[1,)
x∈+∞，使()0
f x≥成立，只需任意的[1,)
x∈+∞，
min
()0
f x≥
①当0
a<时，()
f x在[1,)
+∞上是增函数，所以只需(1)0
f≥
而11
(1)ln1022
f a =
--= 所以0a <满足题意； ②当01a <≤时，01a <≤，()f x 在[1,)+∞上是增函数，
所以只需(1)0f ≥ 而11
(1)ln1022
f a =
--= 所以01a <≤满足题意； ③当1a >时，1a >，()f x 在[1,]a 上是减函数，[,)a +∞上是增函数， 所以只需()0f a ≥即可 而()(1)0f a f <= 从而1a >不满足题意； 综合①②③实数a 的取值范围为
．
22．（1）最小值是1
e
-，无最大值；（2）(,3ln 4)-∞--．
（1）由题意()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，易知1(0,)x e
∈时，()0f x '<，()f x 递减，
1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增．∴()f x 有极小值1111
()ln f e e e e
==-，也是最小值，
无最大值．
（2）由题意21()ln 2g x x ax ax =+-，211()ax ax g x ax a x x
-+'=+-=，
()g x 在两个极值点12,x x ，则12,x x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，
∴21240
10
a a x x a ⎧∆=->⎪
⎨=>⎪⎩
，∴4a >，121x x =+，12
1x x a =， ∴22
1211122211()()()ln ln 22
h a g x g x x ax ax x ax ax =+=+-++- 2121212121112ln()[()2]()ln (1)22x x a x x x x a x x a a a a =++--+=+--1
ln 12a a =---，
显然1
()ln 12
h a a a =---是关于a 的减函数，
∴()(4)3ln 4h a h <=--，
∴12()()g x g x +的取值范围是(,3ln 4)-∞--．。