泛函分析讲义

第三章赋范空间

3.1. 范数的概念

“线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。

为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。那么，究竟需要了解函数的什么属性呢？

3.1.1. 向量的长度

为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。

图3.1.1. 三维欧氏空间中向量的大小和方向

矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,,

,)n x x x x =的如下三种长度（称为“范数”）：

● 2-范数（也称为欧氏范数）

：2x =

● 1-范数：11

n

k k x x ==∑；

● ∞-范数：1max k k n

x

x ∞

≤≤=。

图3.1.2. 三种向量范数对应的“单位圆” 图3.1.3. “单位圆”集合的艺术形式

下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。

我们注意到：通常将

2

或

3

中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的

长度。由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。因此，

长度是比距离更本质的概念。 3.1.2. 范数的定义

我们希望将向量范数的概念推广到（以函数空间为原型的）无限维线性空间的场合。

定义3.1.1. 设X 是数域F 上的线性空间，⋅是定义在X 上、取值为实数的函数。如果下列条件满足：

（1）正定性：对于任意x X ∈，都有0x ≥，并且等号成立当且仅当0x =； （2）正齐性：对于任意x X ∈，F α∈，都有x x αα=⋅； （3）三角不等式：x y x y +≤+；

则称⋅是X 上的范数（norm ）。称赋予了范数的线性空间为赋范线性空间（normed linear space ），或者简称为赋范空间（normed space ）。

图3.1.1. 三角不等式示意图

3.1.3. 常用的范数

下面列出常用的赋范空间。

例3.1.1：设X 是数域F 上的紧度量空间，用()F C X 表示定义在X 上、在F 中取值的全体连续映射的集合。可以在()F C X 上定义如下范数：对于()F f C X ∈，

{}

sup():

f f x x X

=∈。

例3.1.2：对于1p

≤<∞，可以在()

p

L X上定义如下范数：对于()

p

f L X

∈，

()1/

()p

p

p X

f f x dx

=⎰。

例3.1.3：可以在()

L X

∞上定义如下范数：对于()

f L X

∞

∈，

{}

sup():

f ess f x x X

∞

=∈。

注释：函数的1-范数、2-范数、∞-范数分别是向量的1-范数、2-范数、∞-范数的自然推广。（为什么？）

例3.1.4：对于1p

≤<∞，可以在p l上定义如下范数：对于

1

{}p

k k

x x l

∞

=

=∈，

1/

1

p

p

k

p

k

x x

∞

=

⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

∑。

例3.1.5：可以在l∞上定义如下范数：对于

1

{}

k k

x x l

∞∞

=

=∈，

{}

sup:

k

x x k

∞

=∈。

上述五种范数是泛函分析中最重要的范数，我们将其称为标准范数。

例3.1.6：设(),X⋅是赋范线性空间，Y是X的线性子空间，Y⋅是范数⋅在Y上

的限制，则

Y

⋅是Y上的范数。

上述例子表明：可以从较大的赋范线性空间出发，“从大到小”地构造许许多多较小的赋范线性空间。

例3.1.7：设()1,X⋅和()2,Y⋅是同一个数域上的赋范线性空间，则在笛卡尔积X Y

⨯上可以定义如下范数：对于任意(,)

x y X Y

∈⨯，

12(,)x y x y =+，

则⋅是X Y ⨯上的范数。

上述例子表明：可以从较小的赋范线性空间出发，“从小到大”地构造无穷无尽的赋范线性空间。

范数就像灵魂一样重要：有范数的元素就有了精气神；反之，没有范数的元素就像是孤魂野鬼，完全没有实在感。

3.2. 范数的基本性质

赋范线性空间具有许多独特的性质，这些性质在研究其分析性质时特别有用。

3.2.1. 范数诱导度量

一方面，赋范空间是线性空间。另一方面，下列定理告诉我们：赋范空间还是度量空间。因此，赋范空间是线性空间与度量空间的合体，是为求解算子方程而生的。

定理 3.2.1. 设(),X ⋅是赋范空间，定义映射:d X X ⨯→

如下：对于任意

,x y X ∈，

(,)d x y x y =-，

则(,)X d 是度量空间。以下称该度量为范数诱导度量，称相应的度量空间为诱导度量空间。

下面列出常用的范数诱导度量。

例3.2.1：可以用n 维向量空间n F 上的2-范数2⋅诱导n F 上的如下度量：对于任