武昌区2020届高三年级理科数学调研考试试卷附答案

武昌区2020届高三年级元月调研考试
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1.已知集合71=｛工|工2_工_2〈0｝,B=｛x\a-2<x<a),若Ap|8=｛x|-1vxv0｝,贝！J
AUB=
A.(-1,2)
B.(0,2)
C.(-2,1)
D.(-2,2)
2.已知复数z满足—=i,则z在复平面内对应的点位于
z-i
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知｛%｝是各项均为正数的等比数列，％=1,a3=2a2+3,则
A.3n~2
B.3〃t
C.2"T
D.2〃—2
4.已知i=log)i0.2,Z?=logjO.2,c=l.l02,贝!J q,b,c的大小关系为
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.c>a>b
5.等腰直角三角形ABC中，ZACB=-,AC=BC=2,点P是斜边AB上一点，且
2
BP=2PA,那么CP CA+CP CB=
A.-4
B.-2
C.2
D.4
6.某学校成立了A、B、C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小
组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是
211
7.已知数列也,｝的前〃项和S n=-n2-一n,设b«=-----,7；为数列也，｝的前〃项和.
22aa.
若对任意的«eN*,不等式人(<9"+3恒成立，则实数人的取值范围为
A. (-oo,48)
B. (-oo,36)
C. (-oo,16)
D. (16,+oo)
8.已知过抛物线y 2=4x 焦点尸的直线与抛物线交于点A, B, \AF\=2\FB\,抛物线
的准线，与x 轴交于点C,
于点肱，则四边形AMCF 的面积为
A 5^2 D 5V2A. --- D.---4 2
C. 5^2
D. 10^2
9.如图，巳知平行四边形A B CD 41, ZBAD=6ff , AB=2AD, E 为边AB 的中点，将AADE
沿直线OE 翻折成MDE .若M 为线段AC 的中点，则在A4DE 翻折过程中,给出以
下命题：
① 线段的长是定值；② 存在某个位置，使DEYA.C-,
③ 存在某个位置，使MB//平面\DE.
其中，正确的命题是
A.①
B.①③
C.②③
D.①②③
0＜伊＜；）的部分图象如图所示,10.函数 = Asin(itar + (p) (A>0, ® > 0 ,给出下
列说法:① 函数/（X ）的最小正周期为71 ；
② 直线工=--为函数7*3）的一条对称轴；
12③ 点（-亍,0）为函数/'（X ）的一个对称中心；④ 函数f （x ）的图象向右平移|■个单位后得
到y =扼sin2x 的图象.其中正确说法的个数是A. 1 B. 2
C.3
D. 4
2
2
11.已知Fi ，亢分别为双曲线—-^ = 1的左、右焦点，过玲且倾斜角为60。

的直线与双
9 4
曲线的右支交于A, B 两点，记AARE 的内切圆半径为,1，冲匕的内切圆半径为尸2,
则的值等于
A. 3
B. 2
12.已知函数</(x) = E-lnx-x-2,A. a = b C. a>b
C. 5/3
D. V2
g （x ） =---+ \nx-x 的最小值分别为。

，b ,则
x
B. a＜b
D. a ,力的大小关系不确定
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2x+^=）6的展开式中，/项的系数是_____.
M x
14.已知一组数据10,5,4,2,2,2,x,且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2
倍，则x所有可能的取值为.
15.过动点M作圆C：（x-2）2+（y-2）2=1的切线，N为切点.若成N|=成。

|（。

为坐标
原点），贝的最小值为.
16.用虬表示函数y=sinx在闭区间/上的最大值，若正数a满足M[Oa]=41M[a2a],则
a的值为L
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（-）必考题：共60分。

17.（本题12分）
在AABC中，已矢aAB=—,AC=7,。

是BC边上的一点，AD=5,DC=3.
2
（1）求B；
（2）求A4BC的面积.
18.（本题12分）
如图，在直三棱柱ABC-^Q中，ACLAB,A,A=AB=AC=2,D,E,F分别为A3,BC,用3的中点.
（1）证明：平面4GF1平面B.DE-,
（2）求二面角B-B.E-D的正弦值.
19.（本题12分）
22
已知椭圆E：二+土=l（a">0）的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶
a b
点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若不过原点的直线/与椭圆交于A,3两点，求AOAB面积的最大值.
20.（本题12分）
某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020年7、8两 月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了 2019年7、8两月100名客户的消费 金额，分组如下:[0, 200), [200, 400), [400, 600),…,[1000, 1200](单位：元),
得到如图所示的频率分布直方图：
(1) 请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额(同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表)；
(2) 若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”.经 数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断 是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？
健身达人非健身达人
总计男
10女30总计
(3)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有 两种促销方案.
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为上，且每次抽奖互不影响，
2
中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选 择哪种优惠方案.
附：
n(ad-bc)2
P (.K 2>k)
0.1500.1000.0500.0100.005k
2.072 2.706
3.841 6.635
7.879
K 2 =
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
21.(本题12分)
已知函数 f(x) = e x +x-e-l.
(1) 若f(x)>ax-e 对xcR 恒成立，求实数Q 的值；
(2) 若存在不相等的实数叫，x 2,满足f(Xi)+ /(X2)= 0,证明：x ,+x 2<2.
(-)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做
的
第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(本题10分)
在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为｛2(，为参数).在以坐标原点
y=2+£
〔2
Q
为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G的极坐标方程为仃=——.
3-2cos26»
(1)写出q的普通方程和c2的直角坐标方程；
(2)若G与〉轴交于点M,G与G相交于A、3两点，求成&・|M3|的值.
23.［选修4-5：不等式选讲］(本题10分)
(1)已知/(%)^x-a\+\x\,若存在实数x,使/(x)<2成立，求实数。

的取值范围;
14
(2)若m>0,〃>0,且所+〃=3,求证：———>3.
m n
武昌区2020届高三年级元月调研考试
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题:
题号
1
2
3456
7
8
9101112答案
D
A
B D D D
A
C
B
C A
A
二' 填空题：
13. 240 14.-11, 3, 17
1 一 3兀f 9兀16.——或——
4 8
三、解答题：
17.（本题12分）
在 A4BC 中，已矢aAB = — , AC = 7,。

是 BC 边上的一点，AD = 5, DC = 3.
2
（1） 求B ；
（2） 求A4BC 的面积.
解：（1）在AADC 中，由余弦定理，得cosZADC=-~,
2
所以 ZADC = 120°,从而 ZADB = 60°.
在AABD 中，由正弦定理，得sinB = —,所以3 = 45°.
.......... （4分）
2
(2)由(1)知 ZBAD= 75°,且sin75。

=
”项
4
所以 S MBD - AB • ADsinZBAD = 25(" 3),
2 8
S..nr =-DA-DCsinZADC = ^^ ,zviuj 2 4所以
c
55VJ + 75
_ ^AABD + ^AADC — o
（12 分）
18.（本题12分）
解：（1）因为 AC_LAB, DE II AC,所以 DE±AB.
因为平面ABC, DEu 平面ABC,所以IDE.
因为ABPIA4=A,所以 £>E_L 平面
因为平面所以DEl^F .易证 DB { ± \F ,因为 DBinDiE = D ,
所以A,F±平面B X DE.
因为AFu 平面4C.F ,
所以平面平面B[DE...........（4分）
（2）方法一：过3作BH±B t D,垂足为H,过H作HG±B t E于G,连结BG,则可证ZBGH为二面角B-B.E-D的平面角.
在RtAB.BD中，求得BH=-j=-,在RtAB.BE中，求得BG=节-
（12分）所以s"GH=|f=半
设（求）点的坐标，求两个法向量，求角的余弦，求正弦.
方法二：建系,
19.（本题12分）
l=l
解：（1）由<c'及a2=b2+c2,得i=2,b=V3.
a-c=l,
22
所以，椭圆E的方程为；+当=1.......................（4分）
4 3
（2）当直线Z的斜率存在时，设其方程为），=女+秫（秫？0），代入椭圆方程，整理,得
（4Z?+3）x2+8kmx+4麻—12=0.
由A>0,得4尸一〃广+3>0.
设AS，/）,则X]+x,=—，忏'I
4k+3
4m2-12 ,X,.Xy—~.
1-4尸+3
于是I AB\=Jl+*2•J（X]+乂2）2-4x/2=4a/3•y/l+k2•——2^+3
q/c1j 又，坐标原点。

到直线/的距离为
y/1+k2
1r--x/4^2-m2+3
所以，AOAB的面积S=—.|AB|・d=2Vi|〃7|・------.
24Xr+3
m2+（4k2—m2+3）
—2
e1I J41、-冰+3Jm2（4k2—m2+3）
4炉+34炉+3
所以，S=L・|A3|・d<V^.
2
当直线，的斜率不存在时，设其方程为x=m,同理可求得1 2
S=--\AB\-d=-\m\-yll2-3nr<V3.
22
所以，AOAB面积的最大值为心.京+3
（12分）
20.（本题12分）
解：（1）因为f=（100x0.00050+300x0.00075+500x0.00100+700x0.00125+900x
0.00100+11OOx0.00050)x200=620(元),
（2分）所以，预估2020年7、8两月份人均健身消费为620元.
（2）列联表如下：
健身达人非健身达人总计
男104050
女203050
总计3070100因为犬2=100(10x30-20x40)=4.762>3.841,因此有95%的把握认为“健身达人”
50x50x30x70
与性别有关系..............................(6分)
(3)若选择方案一：则需付款900元；
若选择方案二：设付款X元，则X可能取值为700,800,900,1000.
1113
p(x=700)=Cf(-)3=-,P(x=800)=C；(-)2=
[311
P(x=900)=C](-)3=-,P(.r=100Q)=C3(-)3=-,
1331
所以E(X)=700x-+800x-+900x-+1OOOx-=850(元)
8888
因为850<900,所以选择方案二更划算.......................(12分) 21.(本题12分)
解：(1)令^(x)=f(x)—(ax-e)=e x+(1-a)x—1,则g f(x)=e x+l-a.
由题意，知g(x)>o对xe R恒成立，等价g(x)…qo.
当1V1时，由g'(x)20知g(x)=e*—1在R上单调递增.
因为8(-1)=上一(1一。

)一1<0,所以"Ml不合题意；
e
当i〉l 时，若xe(—oo,ln0—l)),贝!j g\x)<0,若x£(ln(o—l),+oo),贝!jg'(x)>0,所以，g(x)在(-8,ln(o-1))单调递减，在(ln(o-l),+oo)上单调递增.
所以gO)min=g(ln(Q-l))=a-2+(l-a)ln(a-l)>0.
i己h(a)=a-2+(1-a)ln0-1)(a>l),贝U"(q)=-ln(a-1).
易知h(a)在(1,2)单调递增，在(2,+8)单调递减，
所以/1(。

)咂="(2)=0,即i—2+(l—i)ln0—l)V0.
而gOOmin=Q—2+(1—Q)ln(Q—1)20,
所以i—2+(1—i)ln(o—1)=0,解得。

=2.......................(6分)
(2)因f(x1)+f(x2)=0,所以e X1+e X2+x x+x2=2(e+l).
X]+x2X]+x2
因为e'i+e'222e2,x x^x2,所以e X1+e^2>2e2.
令X]+改=J贝U2e°+Z-2e-2<0.
t t
记=+t-2e-2<0,则心)=宙+1>0,所以在R上单调递增.
又 m(2) = 0 ,由 2e 2 + ?-2e-2<0 ,得 m(t) < m(2), 所以 f<2 ,即 x ,+x 2<2.
............................. (12 分)
另证：不妨设x t < x 2 ,因为『(x)=e*+l>0 ,所以f(x)为增函数.
要证 %] +x 2< 2 ,即要证 x 2 <2-x x ,即要证 /(a '2) < /(2-A'b ).因为 f (可)+ f g ) = 0，即要证 /(x 1) + /(2-x 1)>0.
记 h(x) = f(x) + f(2-a -) = e A + e 2-v -2e ,则”(*) =(e'-e)(e'+e)
e x
所以"⑴讪="(I) = 0 ,从而 h(x) = f(x) + f(2 - x) > 0 ,得证.
22.［选修4・4：坐标系与参数方程］（本题10分）
解:可化为x + y — 2 = 0
3方程=------— 可化为土 + 匕 =].
3-2cos 2 9
（5分）
(2)将<
x = 一与,2
2代入章 y = 2 + £ 9
2
2
+ = 1,得 2产 + 6y[2t + 3 = 0.3设方程2r + 6^2.t + 3 = 0的两根分别为 < ,上，则3
\MA\-\MB\=\t l \-\t 2\=~.
........................ (10 分)
23.［选修4-5：不等式选讲］（本题10分）
解：（1）方法一：因为/'（x ）=|x-a| + |x|Z|x-a-x|=|a|,
因为存在实数X,使f （x ） < 2成立，所以\a\<2,解得-2<口<2.
方法二：当。

=0时，符合题意.
2x-a, x> a,
当 i>0 时，因为 /(x) =\x-a\ + \x\=<。

， 0<x<a 9 所以 了⑴讪=a.
-2x + a, x <0,
因为存在实数工，使/W<2成立，所以ov2.
当ovO 时，同理可得a>-2 .
综上，实数。

的取值范围为（-2,2）. (5)
）
(2)因为m+"=3,
所以l+4=m^(l+4)=1(«+4m+5)^l JT^+5)=3j m n3m n3m n3\m n
当且仅当m=l,〃=2时取等号.......................(10分)。