湖南省长沙市云翼·麓郡学校高三上学期数学(理)周训试卷(解析版)

湖南省长沙市云翼·麓郡学校高三上学期数学(理)周训试卷（解
析版）
〔文科〕 2021.08.01
姓名： 班级： 学号： 一、选择题〔此题共8道小题，每题5分，共40分〕
1．设集合21
{|2},{|1}2
A x x
B x x =<<=<,那么A B = A 、{|12}x x << B 、 {|12}x x -<<
C 、1
{|1}2
x x << D 、 {|11}x x -<<
【答案】B 【解析】
试题剖析：由于，21
{|2},{|1}{|11}2
A x x
B x x x x =<<=<=-<<， 所以，A
B ={|12}x x -<<，选B 。

考点：复杂不等式的解法，集合的运算。

点评：复杂题，为停止集合的运算，需求首先确定集合中的元素。

留意借助于数轴处置。

2．命题3
:2,80,P x x ∀>->那么⌝P 是
A ． 3
2,80x x ∀≤-≤ B ．3
2,80x x ∃>-≤ C ． 3
2,80x x ∀>-≤
D ．3
2,80x x ∃≤-≤
【答案】B 【解析】
试题剖析：命题ｐ为全称命题，其否认为特称命题，那么⌝P 为3
2,80x x ∃>-≤。

应选Ｂ。

考点：命题的否认
点评：特称命题〝 00,()x M P x ∃∈成立〞与全称命题〝,()x M P x ∀∈成立〞互为否认。

3．设函数246,0
()6,0
x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，那么不等式()3f x >的解集是〔 〕
A ．(3,1)(3,)-⋃+∞
B ．(3,1)(2,)-⋃+∞
C ．(1,1)(3,)-⋃+∞
D ．(,3)(1,3)-∞-⋃ 【答案】A 【解析】
试题剖析：依据题意，由于函数246,0
()6,0
x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，那么可知当x<0，那么x+6>3.x>-3.当0x ≥，
246x x -+>3,失掉不等式的解集x>3,x<-1,.故可知答案为(3,1)(3,)-⋃+∞
考点：函数与不等式
点评：主要是考察了分段函数与不等式的求解，属于基础题。

4．假定函数)2(2
1
)(>-+
=x x x x f 在a x =处取最小值, 那么a ＝( ) A. 1
B. 1
C. 3
D. 4 【答案】C 【解析】
试题剖析：依据题意，
由于函数11()(2)=-2+222f x x x x x x =+
>+≥--，当x-2=1时，即在a x =处取最小值，故可知a=3，故答案为C.
考点：函数的最值
点评：主要是考察了函数的最值的运用，属于基础题。

5．条件P ：21>+x ，条件Q ：0652
<+-x x ，那么P ⌝是Q ⌝的〔 〕. A ．充沛不用要条件 B ．必要不充沛条件 C ．充要条件 D ．既不充沛也不用要条件 【答案】A 【解析】
试题剖析：依据题意，由于条件P
条件Q ：2
5602x<3x x -+<⇔<，
P ⌝是Q ⌝与Q 是P 的命题的等价命题，故可知Q 是集合P 的子集，故可知答案为充沛不用要条件，选A.
考点：充沛条件
点评：主要是考察了充沛条件的判定的运用，属于基础题
6．设集合{}
A x x a =>，集合{
}
2
2150B x x x =--<，假定R B (A)C ϕ⋂≠，那么实数a 的取值范围是〔 〕
A 、3a ≤-
B 、3a >-
C 、35a -<<
D 、5a ≥ 【答案】B 【解析】
试题剖析：由于，{}
A x x a =>,{}R A C x x a
=≤{}
22150B x x x =--<={}35x x -<<,
R B (A)C ϕ⋂≠,所以，3a >-，选B 。

考点：复杂不等式的解法，集合的运算。

点评：复杂题，为停止集合的运算，需求首先确定集合中的元素。

留意借助于数轴处置。

7．函数x
x x f |
|)(=
，x e x g =)(，那么函数)()()(x g x f x F ⋅=的图象大致为〔 〕
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】
试题剖析：依据题意，由于函数1x 0
||()=1,0
x f x x x >⎧=
⎨
-<⎩，，x e x g =)(，那么可知e ,0
()()()=e ,0
x x
x F x f x g x x ⎧>⎪=⋅⎨-<⎪⎩，结合指数函数的性质可知，在y 轴右侧为增函数，在y 轴左侧为递减函数，故可知扫除了，A,B,D,故答案为C
考点：函数的图象
点评：主要是考察了函数的图象的求解，属于基础题。

8．函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(|||ln |)(x x x x f ，那么方程0)()(2
=-x f x f 的不相等的实根个数为〔 〕
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】C 【解析】
试题剖析：依据题意，由于函数
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=≠=)0(0)0(|||ln |)(x x x x f ，那么方程2()()0()0()1f x f x f x f x -=⇔==，，结合分段函数图象可知，满足方程的解有7个，故答案为C.
考点：函数与方程
点评：主要是考察了函数与方程 运用，属于基础题。

二、填空题〔此题共7道小题，每题5分，共35分〕
9
．集合2{|log (1)},{|M x y x N x y M N ==-=⋂=则__________ 【答案】(1,3] 【解析】 试题
剖析：依据题意，由于集
合
2{|log (1)}{|1},{|{|3},M x y x x x N x y x x M N ==-=>===≤⋂=则(1,3]，可知结论为
(1,3]。

考点：交集
点评：主要是考察了集合的交集的运算，属于基础题。

10．函数4,1,
(),1,
x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩假定f(x)=2，那么x= ;
【答案】0.5 【解析】
试题剖析：由于，4,1,(),1,
x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以，由f(x)=2，得，x 1
42,2x ==或1,2x x >-=且，综上知，
x=0.5.
考点：分段函数的概念
点评：复杂题，应用分段函数，当自变量取不同数值时，函数的表达式不同。

11．ABC ∆中，〝6
A π
=
〞是〝1
sin 2
A =
〞的 条件〔从〝充沛不用要〞，〝必要不充沛〞，〝充要〞，〝既不充沛也不用要〞中选出契合题意的一个填空〕． 【答案】充沛不用要 【解析】
试题剖析：由6A π
=
可得1sin 2A =
，但反之，由1sin 2A =可得6A π=或56
A π
=，
故ABC ∆中，〝6A π=〞是〝1
sin 2
A =〞的充沛不用要条件。

考点：充要条件
点评：复杂题，触及充要条件效果，往往综合性较强，可以应用〝定义法、等价关系法、集合关系法〞加以判别。

12．)(x f 是定义在R 上的奇函数,事先0<x ,x x x f 3)(2
-=,那么事先0>x , =)(x f 【答案】2
3x x -- 【解析】
试题剖析：由于，)(x f 是定义在R 上的奇函数,所以，()()f x f x -=-， 又事先0<x ,x x x f 3)(2
-=,
所以，0x >时，0x -<，所以，2
()()[()3()]f x f x x x =--=----=2
3x x --。

答案为2
3x x --。

考点：函数的奇偶性
点评：复杂题，应用函数的奇偶性，确定函数的解析式，主要是留意自变量范围的转化。

13．用{}min ,a b 表示,a b 两数中的最小值,假定函数{}()min 1,1f x x x =--+，那么不等式
(2)(2)f a f ->的解集是 .
【答案】2<a<4 【解析】略
14．命题A :3|1|<-x ,命题B :0))(2(<++a x x ,假定A 是B 的充沛而不用要条件,那么a 的取值范围是 . 【答案】(,4)-∞- 【解析】
试题剖析：依据题意，由于命题A :3|1|<-x ,失掉-2<x<4,命题B :0))(2(<++a x x ,，A 是B 的充沛而不用要条件那么说明A 是B 的真子集，那么可知集合B ：-2<x<-a ，那么可知参数a<-4，故答案为(,4)-∞- 考点：充沛条件
点评：主要是考察了充沛条件的运用，属于基础题。

15．函数)(x f y =的定义域和值域都是]1,1[-〔其图像如以下图所示〕，函数
],[,sin )(ππ-∈=x x x g ．定义：当])1,1[(0)(11-∈=x x f 且]),[()(212ππ-∈=x x x g 时，称2x 是方
程0))((=x g f 的一个实数根．那么方程0))((=x g f 的一切不同实数根的个数
是 ．
【答案】6 【解析】略
三、解答题〔此题共6道小题，共75分〕
16．:21p x -≤；()()
2:30q x x m +-≤, 假定p 是q 的充沛非必要条件，务实数m 的取值范围。

【答案】33m m ≤≥或【解析】
试题剖析：解：依据题意，由于:21p x -≤；()()
2:30q x x m +-≤ 那么可知2
:13,:3P x q x m ≤≤-≤≤，又由于p 是q 的充沛非必要条件，
那么2
,333p q m m m ⊂∴≥∴≤-≥
或考点：集合的关系
点评：主要是考察了集合的思想来判定充沛条件的运用，属于基础题。

17．二次函数f(x)满足条件f(0)＝1和f(x ＋1)－f(x)＝2x. (1)求f(x)；
(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值．
【答案】〔1〕f(x)＝x 2
－x ＋1 〔2〕f(x)的最小值是f 1
()2＝
3
4
，f(x)的最大值是f(－1)＝3. 【解析】
试题剖析：(1)设f(x)＝ax 2
＋bx ＋c ，由f(0)＝1可知c ＝1.
而f(x ＋1)－f(x)＝[a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c]－(ax 2
＋bx ＋c)＝2ax ＋a ＋b. 由f(x ＋1)－f(x)＝2x ，可得2a ＝2，a ＋b ＝0.因此a ＝1，b ＝－1.
故f(x)＝x 2
－x ＋1.
(2)∵f(x)＝x 2
－x ＋1＝1()2
x -2
＋34
， 又
1
2
∈[－1,1]． ∴当x ∈[－1,1]时f(x)的最小值是f 1()2
＝
34
， f(x)的最大值是f(－1)＝3. 考点：函数的最值
点评：主要是考察了函数的最值的运用，属于基础题。

18．〔x ∈R 〕 ，求()f x 的取值范围． 【答案】〔1〕函数()y f x =的单调递增区间为〔k ∈Z 〕
〔2〕()y f x =的取值范围为[3,1]-. 【解析】
故函数()y f x =的单调递增区间为〔k ∈Z 〕
〔2 的取值范围为[3,1]-
考点：三角函数和差倍半公式及三角函数的图象和性质。

点评：中档题，此题综合考察三角函数和差倍半公式及三角函数的图象和性质，知识点掩盖面较广。

普通的，此类效果都要先应用三角公式〝化一〞。

〔2〕触及到自变量的较小范围，易于出错，应将确定x ωϕ+的范围，并视其为一个全体，结合函数图象求解。

19．某市为预备参与省中先生运动会，对本市甲、乙两个田径队的一切跳高运发动停止了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运发动本次测试的跳高效果〔单位：cm ，且均为整数〕，同时对全体运发动的效果绘制了频率散布直方图．跳高效果在185cm 以上〔包括185cm 〕定义为〝优秀〞，由于某些缘由，茎叶图中乙队的局部数据丧失，但一切运发动中效果在190cm 以上〔包括190cm 〕的只要两团体，且均在甲队． 〔Ⅰ〕求甲、乙两队运发动的总人数a 及乙队中效果在[160,170〕〔单位：cm 〕内的运发动人数b;
〔Ⅱ〕在甲、乙两队一切效果在180cm 以上的运发动中随机选取2人，至少有1人效果为〝优秀〞，求两人效果均〝优秀〞的概率；
〔Ⅲ〕在甲、乙两队中一切的效果为〝优秀〞的运发动中随机选取2人参与省中先生运动会正式竞赛，求
所选取运发动中来自甲队的人数X 的散布列及希冀．
【答案】〔Ⅰ〕9〔Ⅱ〕5
〔Ⅲ〕散布列为 数学希冀()1515153
E X =+==
【解析】
试题剖析：解:(Ⅰ)由频率散布直方图可知,效果在190cm 以上的运发动频率为0.05,所以全体运发动总人数2
0.05
a =
40=(人), 乙队中效果在[160,170)内的运发动人数b 400.339=⨯-=(人).
(Ⅱ)由频率散布直方图可知,乙队效果在180cm 以上的没有丧失,全体队员中效果在180cm 以上的共有10人,其中效果为〝优秀〞的有6人.
设至少有一人效果〝优秀〞为事情A ,两人效果均〝优秀〞为事情B ,
那么2622106222
41042
10
()5
()()131C C C P A B P B A C P A C C C ====--. (Ⅲ)效果〝优秀〞的运发动共6人,甲队4人,乙队2人. 随机变量X 一切能够取值为0,1,2. (9分)
数学希冀()1515153
E X =+==.
考点：概率；散布列与数学希冀
点评：散布列是求出数学希冀的前提，因此需写好散布列，而散布列关键是求出概率，当写完散布列，可以结合概率总和为1的特点检验散布列能否正确。

20．如下图，在三棱锥PAQ ∆中，PB ⊥平面ABQ ，BA BQ BP ==，,,,D C E F 区分是,,,AQ BQ AP BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ 交于G ，PC 与FQ 交于点H ，衔接GH 。

〔Ⅰ〕求证：AB GH ；
〔Ⅱ〕求二面角D GH E --的余弦值。

【答案】〔Ⅰ〕见地析 〔Ⅱ〕45
-
【解析】解法一 〔Ⅰ〕在PAQ ∆中，,D E 区分是,AP AQ 的中点，那么G 是PAQ ∆的重心，
2.QG
GE
=
同理，
2.QH HF =所以QG QH
GE HF
=
，因此.GH EF 又由于EF 是PAB ∆的中位线，所以,AB EF AB GH . 〔Ⅱ〕解法1 由于 2AQ BD =，所以AB BQ ⊥,又PB AB ⊥， 所以AB ⊥平面PBQ ，GH ⊥平面PBQ ，
FHC ∠为二面角D GH E --的平面角，
无妨设2,BA =
由三角形知识可得FC FH HC =
==
由余弦定理得
2
2
2
4
cos .5
FHC +-∠=
=-
解法2区分以,,BA BQ BP 所在直线为,,x y z 轴树立空间直角坐标系，无妨设2,BA =那么
()()()()()()0,2,0,0,0,1,1,0,1,0,0,2,1,1,0,0,1,0.Q F E P D C
设平面QFE 的法向量为(),,m x y z =，那么
00
m QF m QE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以()()()(),,0,2,10
,,1,2,10x y z x y z ⋅-=⎧⎪⎨
⋅-=⎪⎩，令1y =得()0,1,2m = 同理求得平面PDC 的一个法向量为()0,2,1n =， 因此4cos ,,5
m n
m n m n ⋅=
= 由图形可知二面角D GH E --的余弦值为4.5
-
解法二〔Ⅰ〕证明：由于,,,D C E F 区分是,,,AQ BQ AP BP 的中点， 所以EF ∥AB ,DC ∥AB ，所以EF ∥DC ， 又EF ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD ， 又EF ⊂平面EFQ ,平面EFQ 平面PCD GH =，
所以EF ∥GH ， 又EF ∥AB ，
所以AB ∥GH .
〔Ⅱ〕解法一：在△ABQ 中, 2AQ BD =,AD DQ =,
所以=90ABQ ∠，即AB BQ ⊥,由于PB ⊥平面ABQ ,所以AB PB ⊥， 又BP
BQ B =，所以AB ⊥平面PBQ ，由〔Ⅰ〕知AB ∥GH ,
所以GH ⊥平面PBQ ，又FH ⊂平面PBQ ，所以GH FH ⊥，同理可得GH HC ⊥， 所以FHC ∠为二面角D GH E --的平面角，设2BA BQ BP ===,衔接PC ， 在t R △FBC 中，由勾股定理得，
在t R △PBC 中，由勾股定理得，
又H 为△PBQ 的重心，所以
同理
在△FHC 中，由余弦定理得
即二面角D GH E --的余弦值为
解法二：在△ABQ 中，2AQ BD =,AD DQ =,
所以90ABQ ∠=，又PB ⊥平面ABQ ,所以,,BA BQ BP 两两垂直，
以B 为坐标原点，区分以,,BA BQ BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，树立如下图的空间直角坐标系，设
2BA BQ BP ===，那么(1,0,1)E ,(0,0,1)F ,(0,2,0)Q ,(1,1,0)D ，(0,1,0)C (0,0,2)P ,,所以(1,2,1)EQ =--,(0,2,1)FQ =-,(1,1,2)DP =--,(0,1,2)CP =-,
设平面EFQ 的一个法向量为
111(,,)m x y z =，
由0m EQ ⋅=，0m FQ ⋅=,
得111112020x y z y z -+-=⎧⎨
-=⎩
取
11
y =，得(0,1,2)m =.
设平面PDC 的一个法向量为222(,,)n x y z =
由0n DP ⋅=，0n CP ⋅=,
得222222020x y z y z --+=⎧⎨
-+=⎩
取
21
z =，得(0,2,1)n =.4
,5
m n m n m n
⋅=
=
由于二面角D GH E --为钝角，所以二面角D GH E --的余弦值为
【考点定位】此题考察了空间直线的位置关系的判定和二面角的求法，考察了空间想象才干、推实际证才干和运算才干。

第一问主要触及平面几何的图形性质，中点构成的平行线是常考点之一，论证较为复杂。

第二问有两种方法可以处置，因图形结构的繁复性，推实际证较为复杂，而应用空间向量运算求解二面角就相对复杂了.
21．函数 f 〔x 〕=ax ＋lnx ，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． 〔1〕当a=－1时，求)(x f 的最大值；
〔2〕假定f 〔x 〕在区间〔0，e ］上的最大值为－3，求a 的值； 〔3〕当a=－1时，试推断方程ln 1
|()|2
x f x x =+能否有实数解 . 【答案】〔1〕-1 〔2〕2
e a -= 〔3〕方程ln 1
|()|2
x f x x =+无实数解 【解析】
试题剖析：解：〔1〕事先1-=a ，x x x f ln )(+-=
x
x
x f -=
'1)(，事先)1,0(∈x ，,0)(>'x f )(x f 在区间)1,0(上为增函数， 事先),1(+∞∈x ，0)(<'x f ，)(x f 在区间),1(+∞上为减函数， 所以当1=x ，)(x f 有最大值，1)(-=x f man 。

3分 〔2〕∵x
ax
x f +=
'1)(，假定0≥a ，那么,0)(>'x f 在区间〔0，e ］上恒成立， )(x f 在区间〔0，e ］上为增函数，31ln )(-=+=+=ae e ae x f man ，
04<-
=e
a ，舍去， 当)0,1[e
a -∈，],0(e x ∈,0)(,01≥'⇒≥+⇒x f ax )(x f 在区间〔0，e ］上为增函数， 31ln )(-=+=+=ae e ae x f man ，∴04<-=e
a ，舍去， 假定e a 1-<，事先)1,0(a x -∈，,0)(>'x f )(x f 在区间)1,0(a
-上为增函数， 事先),1(e a x -∈， 0)(<'x f ，)(x f 在区间),1(e a -上为减函数， 综上2e a -=。

8分
〔3〕事先1-=a ，1)(-≤x f 恒成立，所以1|)(|≥x f ， 令2
1ln )(+=x x x g ， 2ln 1)(x
x x g -='，事先),0(e x ∈，,0)(>'x g )(x g 在区间),0(e 上为增函数， 事先),(+∞∈e x ，,0)(<'x g )(x g 在区间),(+∞e 上为减函数，
事先e x =，21ln )(+=
x x x g 有最大值12
11<+e ，所以)(|)(|x g x f >恒成立， 方程ln 1|()|2x f x x =+无实数解。

12分 考点：导数的运用
点评：主要是考察了导数在研讨函数单调性以及最值的运用，属于基础题。