初中数学培优专题之——一元二次方程与二次函数的关系

初中数学培优专题之—：
一元二次方程与二次函数的关系
方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是c bx ax y ++=2
)0(≠a ，而一元二次方程的一般形式是
02=++c bx ax )0(≠a .显然当二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 中0=y 时就能得到一元二次方程
02=++c bx ax )0(≠a ，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.
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1.利用一元二次方程解决二次函数问题：
（1）对于二次函数c bx ax y ++=2
)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程
02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次
函数图像
与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程
ac b 42
-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间
的关系：
①当042>-=∆ac b 时，一元二次方程
02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线
c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；
②当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线
c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；
③当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴没有交点（抛物线要不全部在x 轴上方，要不全部在x 轴下方）.
(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与x 轴交点横坐标的有关求值问题：
当一元二次方程02
=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴
交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -
=+21，1x ·a
c
x =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为： AB=21x x -=2
21)(x x -212
214)(x x x x -+=2
24a ac
b -=a ∆=（公式①）. （3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与
c bx ax y ++=2
与直线b kx y +=（当0
≠k 基础知识要牢记。

时为一次函数的图像，当0=k 时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直线b y =）的交点情况.
一方面，反过来，我们可以根据抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴的交点情况去判断一元二次方程
02=++c bx ax 的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次
方程的解的问题以及有关系数的值的问题.
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例1 （2010年福州市中考题）已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )
A ．a ＞0
B ．c ＜0
C ．b 2
－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 分析：a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点情况，抛物线的对称轴由a 、b 共同决定，b 2
－4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况．本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a ＜0；抛物线与y 轴的交点（0，c ）在x 轴上方，因此c ＞0；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，所以x=－b
2a ＞0，所以b ＞0；由于抛
物线与x 轴有两个交点，所以b 2
－4ac ＞0．a ＋b ＋c 是x ＝1时的函数值，而图像上点
（1，a ＋b ＋c ）在x 轴上方，所以a ＋b ＋c ＞0．
答案：D ．
技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题
就应熟练
掌握a 、b 、c 、x ＝－b 2a
、a ＋b ＋c 、b 2
－4ac 等与抛物线的位置特征之间的关系．
例2 （2010年徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）
A ．向上平移4个单位
B ．向下平移4个单位
C ．向左平移4个单位
D ．向右平移4个单位
分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x 轴交于点（2008，0）和（2009，0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到．
答案：B ． 技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x 轴上，应将图像向下平移4个单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析．
例3 （2010年镇江市中考题）已知实数x ，y 满足x 2
＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最 大值为 .
分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x 2＋3x ＋y －3＝0得，x ＋y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2
＋4，所以当x ＝－1时，x ＋y 最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设k y x =+，则原方程可化为
0322=-++k x x ，因为这个关于x 必有实数根，所以0)3(44≥--=∆k ，解得4≤k ，所以k （即
x ＋y ）的最大值为4. 答案：4.
技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x 的二次方程，也是关于y 的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x＋y”关于x 的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x 的一元二次方程的参数k 的取值范围问题来解决，有异曲同工之效．
例4 （2010年日照市中考题）如图10-2，是二次函数y ＝ax 2
+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直
线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2
＋bx ＋c ＜0的解集是 .
分析：由于已知了抛物线与x 轴的一交点为A （3，0），且与对称轴x ＝1的距离为2，所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x ＝1的距离也为2，其坐标应为（－1，0）.
观察图像可知，当－1＜x ＜3时，抛物线在x 轴下方，所以不等式ax 2
＋bx ＋c ＜0的解集是－1＜x ＜3
答案:－1＜x ＜3.
技巧提升：不等式ax 2
＋bx ＋c ＞ 0 （或＜ 0 ）的解集就是二次函
数y ＝ax 2+bx+c 的图象在 x 轴上（下）方的点所对应的 x 的取值范围，因此不等式ax 2
＋bx ＋c ＞ 0 （或＜ 0 ）的解集与抛物线与x 轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标．
例5 （2010年咸宁市中考题）已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．
（1）证明243c b =；
（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．
分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函数的关系来解决． 解：（1）证明：
法一：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根．
根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ⨯-=-． ∴2b m =，23c m =， ∴224312c b m ==．
法二：由题意得⎩⎨⎧=--=-+0
390
2
2c bm m c bm m ，①—②得0482=+-bm m ，因为0m ≠，所以m b 2=．代
入①得0222=-+c m m ，所以23m c =，所以2124m c =，22123m b =，所以243b c =．
法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为2
)
3(2m m b x -+=-=，可得m b 2=（下同法二）． （2）解：法一：依题意，12
b
-=，∴2b =-． 由（1）得2233
(2)344c b ==
⨯-=．
∴2
223(1)4y x x x =--=--． ∴二次函数的最小值为4-．
法二：因为函数图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）， 所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线m x -=，
所以1=-m ，所以1-=m ，故抛物线与x 轴的两交点为)0,1(-、)0,3(， 所以抛物线的解析式为32)3)(1(2
--=-+=x x x x y ， 当1=x 时，4321-=--=最小y ，
∴二次函数的最小值为4-．
技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同．一题多解，多中选优，
平时解题的思考会带来解题能力的提升．
例6 （2010年杭州市中考题）定义[,,a b c ]为函数2
y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，3
8
)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于
23； ③ 当m<0时，函数在x >4
1
时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）
A ．①②③④
B ．①②④
C ．①③④
D ．②④ 分析：把m ＝－3代入[2m ，1–m , –1–m]，得a ＝－6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝－6x 2+4x+2，易求出其图像顶点为(
31，3
8)，故①正确；当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时，△=b 2－4ac ＝(1－m)2
－4×2m×(－1－m)＝(3m+1)2
，根据公式①可知函数图象截
x
轴所得的线段长度为
21x x -a ∆=m
m 2)13(2+=
=m m 213+，当m ＞0时，21x x -=m m m 21
23213+=+＞32，故②正确；∵m ＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x ＝－
2b a ＝122m m --⨯＝11
44m
-，∴在对称轴左侧，即当m x 4141-<时，y 随x 的增大而增大，对称轴右侧，即当m x 4141->时，y 随x 的增大而减小.在∵
14<1144m
-,所以当x >41时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对
于抛物线y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时，当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m≠0时，抛物线一定经过(1，
0)这个点，故④正确．
答案：B.
技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x 轴交点之间的距离第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视.
例7 （2008年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．
分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也就是：0402>-=∆a 、
04402>-+-a a 、1440
2<-+-a a 、
04402>---a a 、14
40
2<---a a ，这样
将会很麻烦．那么如何解才能比较简单呢？如果我们利用二次函数图像来帮助分析，解法将简单得多．令522
++=ax x y ，如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像．根据图像对称轴在y
轴
右
数形结合是重
要数学思想
侧，可知04
>-
a
，解得0<a ．再根据0402>-=∆a 可得102-<a ．根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得⎩⎨⎧>+⋅+⨯>+⋅+⨯0
5222051122
2a a ，可解得213
->a ．这样就能得到a 的取值范围是1022
13
-<<-
a ． 答案：1022
13
-<<-
a ． 技巧提升：，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数． ＝－1
2 x ＋3
例8 （2010年潍坊市中考题）已知函数y 1＝x 2
与函数y 2
的图象大致如图10-4，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是
（ ）
A ．－12 ＜x ＜2
B ．x ＞2或x ＜－32
C ．－2＜x ＜32
D ．x ＜－2或x ＞32
分析：当y 1＜y 2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，
也就是两函数图像两个交点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点．由⎪⎩
⎪
⎨⎧+-==321
2
x y x y 解得⎩⎨⎧=-=4211y x 、⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=49
2322y x ，因此满足要求的自变量x 的取值范围应该是－2＜x ＜3
2 ． 答案：C ．
技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组．先根据直线在抛物线的上方排除答案B 、D ，再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴（y 轴）可排除答案A ．
例9 （2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，
0）． 若二次函数()2
33y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围
是 ．
分析：要注意抛物线()2
33y x a x =+-+与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况：⑴抛物线
()233y x a x =+-+与x 轴只有一个交点，这个交点恰好在线段AB 上．由判别式
012)3(2=--=∆a 0∆=解得323a =±．当323
a =+时，123x x ==-，不合题意；当323a =-时，123x x ==，
符
合
题
意．⑵抛物线
()2
33y x a x =+-+与x 轴有两个交点，其中只
有一个在线
段AB 上．设抛物线与x 轴的两个交点为C （0,1x ）、D )0,(2x （21x x <），则321=x x ．若只有点D 在
线段AB 上，则101<<x ，212≤≤x ，显然321<x x ，不合题意；若只有点C 在线段AB 上，则211≤≤x ，22>x ．当点D 与点A 、B 都不重合时，函数如图10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为1的点
在x 轴上方，横坐标为2的点在x 轴下方，所以⎩⎨
⎧<+-+>+-+0
3)3(2403)3(1a a ，解得1
12a -<<-．当当点D 与
点A 重合时，由031)3(12
=+⨯-+a ，得1a =-，此时11=x ，32=x ，符合题意；当点D 与点B 都重合时，由032)3(22
=+⨯-+a ，得12
a =-，此时21=x ，23
2=x ，不符合题意．综上所述，a 的
取值范围是1-≤1
2a <-
，或者3a =-
答案：1-≤1
2
a <-，或者3a =-
技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况． 例10 （2010年全国初中数学联合竞赛试题）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数
4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．
分析：函数图象与x 轴两交点的横坐标就是方程04)1(2
=-+++p k px x 的两根，可考虑利用一
元二次方程根与系数的关系来解决．
解：由题意知，方程04)1(2
=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数． 由根与系数的关系可得4)1(,
2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有
p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①
（1）若1k =，则方程为0)2(22
=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -． （2）若1k >，则01>-k .
因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．
不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得21
2k x m
-+=
， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+
，即121
4k x x mp m
-++=+． 又12x x p +=-，所以1
4k p mp m
--+=+，即
41
)1(=-+
+m
k p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1
(1)6k m p m
-++>，与②式矛盾.
如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1
(1)0k m p m -++<，与②式矛盾.
因此，1>k 时，方程04)1(2
=-+++p k px x 不可能有整数根． 综上所述，1=k ．
技巧提升：由于方程两根之和为质数p ，所以只要有一个根是整数，则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的特征来分析．根据一元二次方程求根公式可知方程04)1(2
=-+++p k px x 的根应
为2
16)1(42++-±-=p k p p x ，要使得其根为整数，根的判别式16)1(42
++-p k p 的值必须是完
全平方数．由于p 是质数，因此当16)1(42
++-p k p 的值是完全平方数时，关于p 的二次三项式16)1(42++-p k p 必然等于2)(n p ±（n 为非负整数），也就是说16)1(42
++-p k p 应成为关于p 的
一个完全平方式，因此可得其064)1(162
=-+=∆k ，可解得11=k ，32-=k （舍去）．
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1．选择题：
（1）（2010年天津市中考题）已知二次函数2
y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图10-6所示，有下列结
论：①2
40b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6
4
2
2
4
6
5
10
x
y
20
4
x=2
（图10-6） （图10-7） （图10-8）
（2）(2010年百色市中考题)二次函数ｙ＝－ｘ2
＋bx ＋ｃ的图象如图10-7所示，下列几个结论：①
对称轴为ｘ＝2；②当ｙ≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y ＝－ｘ(x －４)；④当x≤0时，y 随x
的增大而增大. 其中正确的结论有（ ）
A ．①②③④
B ．①②③
C ．①③④
D ．①③
（3）（“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数
2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）
A ．512
B ．49
C ．1736
D ．12
（4）(2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)在平面直角坐标系中，如果横
坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x 2＋6x －27
4
的图象与x 轴所围成的封闭图形染成
红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2．填空题：
（1）（2010年新疆维吾尔自治区中考题）抛物线y ＝-x 2
+bx+c 的部分图象
如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_______．
（2）（2010年玉溪市中考题）如图10-9是二次函数
)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直角坐标系中的图象，根据图形判
断①c ＞0；② a +b +c ＜0；③ 2a -b ＜0；④b 2
+8a ＞4a c 中正确的是
（填写序
号） ．（3）（2006年全国初中数学联合竞赛辽宁卷）函数y = x 2 -2006|x |+ 2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于__________．
(4)（2010年全国初中数学联合竞赛题）二次函数c bx x y ++=2
的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=
，︒=∠30CAO ，则c = ．
3. （2010年佛山市中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数x x y 22-=的大致图象； （2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程122=-x x 的根在图上近似的表示出来（描点）； （3）观察图象，直接写出方程122=-x x 的根．（精确到0.1）
1O x
y
（图10-10）
4.（2010年长沙市中考题）已知：二次函数2
2y ax bx =+-的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中a>b>0且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，求12||x x -的范围．
5.（2010年肇庆市中考题）已知二次函数12
+++=c bx x y 的图象过点P （2，1）． （1）求证：42--=b c ； （2）求bc 的最大值；
（3）若二次函数的图象与x 轴交于点1(x A ，)0，2(x B ，)0，ABP ∆的面积是4
3， 求b ．
6． (2007年全国初中数学联合竞赛试题)设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数
mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt
x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.
7.（2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知抛物线2
y x =与动直线
c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222
2
21-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；
（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.
8．（2010年全国初中数学联合竞赛试题）已知二次函数2
y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .
（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.
（2）设二次函数2
y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方
程2
0x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.
第10讲．一元二次方程与二次函数的关系 参考答案
1．选择题：（1）D ；（2）C ；（3）C ；（4）C ； 2．填空题：（1）－3＜x ＜1；(2) ②、④；（3）0；(4) 1
9
． 3.解：（1）如图所示；
（2）如图所示，抛物线x x y 22-=与直线y=1的两个交点的横坐标就是方程122=-x x 的两根，也就是x 轴上点C 、点D 所表示的数；
（3）方程的122=-x x 根为≈1x -0.4、≈2x 2.4.
4.解：（1）设一次函数的表达式为y ＝kx(k 为常数，k≠0) ．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b ），∴把点（1，－b ），代入y ＝kx ，得－b ＝k,即k ＝－b ．
∴一次函数的表达式为y ＝－bx ．
（2）∵y=ax 2
+bx －2过（1，0）即a+b=2
由2
(2)2
y bx
y b x bx =-⎧⎨
=-+-⎩得2
2(2)20ax a x +--=①
∵△＝2
2
4(2)84(1)120a a a -+=-+>
∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解， ∴两函数有两个不同的交点．
（3）∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解 ∴122(2)24
a a x x a a
--+=
=
122x x a -= ∴2
121212()4x x x x x x -=+-222
48164
(1)3a a a a
-+=-+ 或由求根公式得出∵a>b>0，a+b=2， ∴2>a>1 令函数24
(1)3y a
=-+， ∵在1<a<2时y 随a 增大而减小， ∴244(1)312a
<-+<，
∴24
2(1)323a
<
-+< ∴12223x x <-< 5.解：（1）∵12
+++=c bx x y 的图象过点P （2，1） ∴1241+++=c b
∴42--=b c
（2）)42(--=b b bc 2)1(2)2(22
2++-=+-=b b b
当1-=b 时，2-=c
此时，=∆)1(42+-c b 0541)12(4)1(2>=+=+---=
∴当1-=b 时，bc 有最大值，最大值为2。

（3）由根与系数关系可知：b x x -=+21，121+=⋅c x x 21x x AB -=212214)(x x x x -+=)1(42+-=c b )142(42+---=b b 1282++=b b
P ABP y AB S ⋅=∆214
31128212=⋅++⋅=b b 0393242=++b b
0)132)(32(=++b b
231-=b ，2
132-=b 当23-=b 或2
13-=b 时，0>∆ ∴ABP ∆的面积是43时，23-=b 或2
13-=b 6.解: 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-， 所以31+=mt d ；
一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -， 所以n t d +=22.
由21d d ≥得n t mt +≥+23，两边平方得22)2()3(n t mt +≥+
整理成关于t 的一元二次不等式得09)46()4(2
22≥-+-+-n t n m t m （1）
由题意知042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立， 所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,
0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 所以⎩⎨⎧≤->0)6(22mn m ， 所以⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.
1,6n m
7.解：（1）联立2
y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程 2(21)0x t x c --+= ①
有实数根1x ，2x ，则121221,
x x t x x c +=-=． 所以2221212121[()()]2
c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2
t t -+． ② 把②式代入方程①得221(21)(364)02
x t x t t --+-+= ③ t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④
且使方程③有实数根，
即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤
解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 22-≤t ≤22
+
所以，t 的取值范围为22-
t ≤22+ (2) 由②式知22131(364)(1)222
c t t t =-+=-+.
由于231(1)22
c t =-+在22-≤t ≤22+时是递增的，所以，当22t =-
时,2min 31(21)22c =--+=8．解：点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，
故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.
（1）由8c b a <<知8293,938,
a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.
又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.
(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.
由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ， 得98()6mn m n -+=-，
两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，
分解因式，得(98)(98)10m n --=.
所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,
m n -=-⎧⎨-=-⎩ 解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.
因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+， 易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），
所以△ABC 的面积为1(21)212
⨯-⨯=．。