2019-2020学年高三数学9月月考试题 理(11).doc

2019-2020学年高三数学9月月考试题 理(11)
时量：120分钟；分值：150分。

命题人：周北桥（2016/09/28） 注意事项：
1、本套试题分为试题卷（四页）和答题卷（四页）两部分。

2、作答前，请同学们在试卷规定的位置相应地填好自己的班次、姓名、学号及座位号。

3、答题时，请将答案填写在答题卷上指定位置，否则不给分；务必保持字体工整、笔迹清晰，卷面清洁。

4、考试结束后，请保留好试题卷，只收交答题卷。

一、选择题：每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项填到指定的答题框中，否则不给分。

1、喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是( ) A ．30° B ．－30° C ．60° D －60°
2、设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3、已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是 ( ) A.1－a 2
a B.1－a 2 C.a 2
－1a
D ．－1－a 2
4、已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 若A ＝π
3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的
面积等于 ( ) A.32 B.34 C.36 D.38
5、一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2
－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为 ( ) A.176 B.143 C.136 D.116
6、已知α为第二象限角，则cos α
1＋tan 2α＋sin α
1＋1
tan 2α
＝ ( ) A 、2cos α B 、0 C 、2sin α D 、2
7、设x ∈R ，函数f (x )＝e x
＋a e －x
的导函数y ＝f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率
为3
2，则切点的横坐标为 ( ) A.ln 23
B.－ln 2
2
C.ln 2
D.－ln 2
8、设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( ) A.4 B.2 C.－4 D.与m 有关
9、将函数y ＝3sin2x －cos2x 的图象向右平移π
4个单位长度，所得图象对应的函数g (x )( )
A ．有最大值，最大值为3＋1
B ．对称轴方程是x ＝7π
12＋k π，k ∈Z
C ．是周期函数，周期T ＝π2
D ．在区间[π12，7π
12]上单调递增
10、设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x
，f x K ，
K ，f x K ，
取函数f (x )＝
ln x ＋1
e
x
，恒有f K (x )＝f (x )，则
( )
A ．K 的最大值为1e
B ．K 的最小值为1
e C ．K 的最大值为2 D ．K 的最小值为2
11、若a ≥0，函数f (x )＝(x 2
－2ax )e x
，又f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12
12、已知a cos α＋b sin α＝c ，a cos β＋b sin β＝c (ab ≠0，α－β≠k π，k ∈Z )，则cos 2
α－β
2
＝( ) A.c 2a 2
＋b
2
B.
a 2
c 2
＋b
2
C.
b 2a 2
＋c
2
D.
a
c 2
＋b 2
二．填空题：每小题5分，共20分，将答案填在指定位置处。

13、若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}”是假命题，则x 的取值范围是________．
14、函数错误！未找到引用源。

的定义域为________.
15、已知函数f (x )＝x 2
＋2x ＋a 和函数g (x )＝2x ＋x ＋1，对任意x 1∈[－1，＋∞)，总存在x 2∈R 使g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．
16、已知f (x )＝x 3
－6x 2
＋9x －abc ，a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①、f (0)f (1)＞0； ②、f (0)f (1)＜0； ③、f (0)f (3)＞0； ④、f (0)f (3)＜0. 其中正确结论的序号是________．
三．解答题：共6个大题，各大题的分值分配依次为10分、12分、12分、12分、12分、12分，共70分；在规定的地方作答，要有必要的步骤和格式，否则不给分。

17、已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x
”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2
＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围
18、如图，函数f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x 2＋m 的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6，0.
(1)、求实数m 的值及f (x )的单调递增区间；
(2)、设y ＝f (x )的图象与x 轴、y 轴及直线x ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t <2π3所围成的曲边四边形的面积为S ，求S 关
于t 的函数S (t )的解析式．
19、△ABC 的外接圆半径为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，ｂ，ｃ．向量m =(4cos )a B ，n =(cos )A b ，满足m //n . （1）、求sin sin A B +的取值范围；
（2）、若实数x 满足abx =a +b ，试确定x 的取值范围.
20、已知f (x )＝x ln x (x >0). (1)、求f (x )的最小值.
(2)、F (x )＝ax 2
＋f ′(x )，(a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性.
21、某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地AOCB 规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB ⊥BC ，OA ∥BC ，AB ＝BC ＝2AO ＝4 km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在AB ，BC 上，且一个顶点P 落在曲线段OC 上，问
应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km 2
)．（要求：以O 为原点，AO 所在直线为x 轴建立直角坐标系）
22、已知函数f (x )＝ax －ln(1＋x 2
)．
(1)、当a ＝4
5时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的极值；
(2)、证明：当x >0时，ln(1＋x 2)<x ；
(3)、证明：(1＋12)(1＋13)…(1＋1n )<e(n ∈N *
，n ≥2，e 为自然对数的底数)．
理科数学
一、选择题：每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项填到指定的答题框中，否则不给分。

1、喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是( ) A ．30° B ．－30° C ．60° D －60° [解析] 分针走过的角度是－60°.故选D.
2、设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[解析] 选C ，由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋y ＝1，x －y ＝3
可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，
所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2，故选C.
3、已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是 ( ) A.1－a 2
a B.1－a 2 C.a 2
－1a
D ．－1－a 2
[解析] sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos 31°)·(－tan 31°)＝sin31°＝1－a 2
.[答案] B
4、已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 若A ＝π
3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的
面积等于( ) A.
32 B.34 C.36 D.38
析B [由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，
又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝3
4
.]
5、一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2
－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为( )
A.176
B.143
C.136
D.116
[解析] ∵v (t )＞0，∴质点在[1,2]内的位移s 即为v (t )在[1,2]上的定积分，∴s ＝⎠⎛12v (t )d t ＝⎠⎛1
2
(t 2
－t ＋2)d t ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176
.故选A.[答案] A
6、已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2
α＋sin α
1＋1
tan 2α
＝ ( ) A 、2cos α B 、0 C 、2sin α D 、2 [解析] B 原式＝cos αsin 2
α＋cos 2
α
cos 2
α
＋sin α sin 2α＋cos 2
αsin 2
α＝cos α1
|cos α|
＋ sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α1
|cos α|＋sin
α
1
|sin α|
＝－1＋1＝0，即原式等于0.
7、设x ∈R ，函数f (x )＝e x
＋a e －x
的导函数y ＝f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率为3
2，则切点的横坐标为( ) A.ln 23
B.－ln 22
C.ln 2
D.－ln 2
解析 y ＝f ′(x )＝e x
－a e －x
，∵y ＝f ′(x )为奇函数，∴f ′(0)＝1－a ＝0，∴a ＝1，∴f ′(x )＝e x
－e －x ，由e x －e －x ＝32
得e x
＝2，x ＝ln 2.答案 C
8、设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( ) A.4
B.2
C.－4
D.与m 有关
解析 方程ln|x －2|＝m 的根即函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 的交点的横坐标，因为函数y ＝ln|x －2|的图象关于x ＝2对称，且在x ＝2两侧单调，值域为R ，所以对任意的实数m ，函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 必有两交点，且两交点关于直线x ＝2对称，故x 1＋x 2＝4，选A. 9、将函数y ＝3sin2x －cos2x 的图象向右平移π
4个单位长度，所得图象对应的函数g (x )( )
A ．有最大值，最大值为3＋1
B ．对称轴方程是x ＝7π
12＋k π，k ∈Z
C ．是周期函数，周期T ＝π2
D ．在区间[π12，7π
12
]上单调递增
析： [化简函数得y ＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)，所以g (x )＝2sin(2x －2π
3)易求最大值是2，
周期是π，由2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程是x ＝7π12＋k π
2(k ∈Z )．根据正弦函数的单
调递增区间可得－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )⇔π12＋k π≤x ≤7π
12＋k π(k ∈Z )，故选D.]
10、设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x
，f x K ，
K ，f x K ，
取函数f (x )＝ln x ＋1
e
x
，恒有f K (x )＝f (x )，则( )
A ．K 的最大值为1e
B ．K 的最小值为1
e
C ．K 的最大值为2
D ．K 的最小值为2
[解析] 由f (x )＝ln x ＋1
e
x
，令f ′(x )＝e
x
x －
x ＋
x
e
2x
＝
1x
－
x
＋
e
x
＝0，
得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，即f (x )＝ln x ＋1
e
x
在x ＝1时取得最大值1e ，而f (x )≤K 恒成立，所以1e ≤K ，故K 的最小值为1
e
，选B.
11、已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x
，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 [解析] f ′(x )＝(2x －2a )e x
＋(x 2
－2ax )e 2
＝[x 2
＋(2－2a )x －2a ]e x
，由题意当x ∈[－1,1]时，
f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令
g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有
⎩
⎪⎨⎪⎧
g －，g ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
－
2
＋－2a －－2a ≤0，
12
＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥3
4
.[答案] C
12、已知a cos α＋b sin α＝c ，a cos β＋b sin β＝c (ab ≠0，α－β≠k π，k ∈Z )，则cos 2
α－β
2
＝( ) A.
c 2a 2
＋b
2
B.
a 2
c 2
＋b
2
C.
b 2a 2
＋c
2
D.
a
c 2
＋b 2
[答案] A [解析] 在平面直角坐标系中，设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，点A (cos α，sin α)
与点B (cos β，sin β)是直线l ：ax ＋by ＝c 与单位圆x 2
＋y 2
＝1的两个交点，如图，从而|AB |2
＝(cos α－cos β)2
＋(sin α－sin β)2
＝2－2cos(α－β)，又∵单位圆的圆心(0,0)到l 的距离d ＝|c |
a 2＋b
2
，
由平面几何知识知|OA |2
－(12
|AB |)2＝d 2
，即1－
2－α－β4＝c 2
a 2＋
b 2，∴cos 2
α－β2＝c
2
a 2＋b
2.
二．填空题：每小题5分，共20分，将答案填在指定位置处。

13、若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}”是假命题，则x 的取值范围是________．
[解析] x ∉[2,5]且x ∉{x |x ＜1或x ＞4}是真命题．由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＜2或x ＞5
1≤x ≤4，得1≤x ＜2.
14、函数错误！未找到引用源。

的定义域为________.
【答案】错误！未找到引用源。

【解析】错误！未找到引用源。

15、已知函数f (x )＝x 2
＋2x ＋a 和函数g (x )＝2x ＋x ＋1，对任意x 1∈[－1，＋∞)，总存在x 2∈R 使g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．
[解析] 因为f (x )＝x 2
＋2x ＋a ＝(x ＋1)2
＋a －1，所以f (x )∈[a －1，＋∞)．
因为g (x )＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增，所以g (x )∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2，所以a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．[答案] (－∞，－1]
16、已知f (x )＝x 3
－6x 2＋9x －abc ，a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①、f (0)f (1)＞0； ②、f (0)f (1)＜0； ③、f (0)f (3)＞0； ④、f (0)f (3)＜0. 其中正确结论的序号是________．
[解析] ∵f ′(x )＝3x 2
－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f ′(x )＜0，得1＜x ＜3，由f ′(x )＞0，得
x ＜1或x ＞3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．
又a ＜b ＜c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴y 极大值＝f (1)＝4－abc ＞0，y 极小值＝f (3)＝－abc ＜0. ∴0＜abc ＜4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a ＜0，b ＜0，c ＞0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图．
∴f (0)＜0.∴f (0)f (1)＜0，f (0)f (3)＞0.∴正确结论的序号是②③.[答案] ②③
三．解答题：共6个大题，各大题的分值分配依次为10分、12分、12分、12分、12分、12分，共70分；在规定的地方作答，要有必要的步骤和格式，否则不给分。

17、已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2
＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围
解析 若命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x
”为真命题，则a ≥e ；若命题q ：“∃x ∈R ，x 2
＋4x ＋a ＝0”为真命题，则Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4，所以若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是[e ，4].
18、如图，函数f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x 2＋m 的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6，0.
(1)、求实数m 的值及f (x )的单调递增区间； (2)、设y ＝f (x )的图象与x 轴、y 轴及直线x ＝t ⎝
⎛⎭⎪⎫0<t <2π3所围成的曲边四边形的面积为S ，求S 关于t 的函数S (t )的解析式． 解 (1)f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x 2＋m ＝32sin x ＋12cos x ＋12＋m ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋12＋m .因为f (x )的图
象过点⎝
⎛⎭⎪⎫5π6，0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋π6＋12＋m ＝0，解得m ＝－12.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π6，由－π2＋
2k π≤x ＋
π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π≤x ≤π3
＋2k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z .
(2)由(1)得f (x )＝
32sin x ＋12cos x .所以S ＝ʃt 0⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2sin x ＋12cos x d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32cos x ＋12sin x t
0＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－32cos t ＋12sin t －⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32cos0＋12sin0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3＋32.所以S (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
t －π3＋32
⎝
⎛⎭⎪⎫0<t <2π3.
19、△ABC 的外接圆半径为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，ｂ，ｃ．向量m =(4cos )a B ，n =(cos )A b ，满足m //n . （1）、求sin sin A B +的取值范围； （2）、若实数x 满足abx =a +b ，试确定x 的取值范围. 【解】(1)因为m //n ， 所以
4cos cos a B A b
=，4cos cos .ab A B =即 ……………1分
因为三角形ABC 的外接圆半径为1, 由正弦定理，得4sin sin ab A B =.于是c o s c o s
s i n s i n 0c o s (A B A B A B -=+=，即
.因为π0π,A B A B <+<+=所以. 故三角形ABC 为直
角三角形. ………3分πsin sin sin cos )4A B A A A +=+=+ , 因为ππ3π444
A <+<，
πsin()14
A <+≤, 故1sin sin A
B <+………6分
(2)2(sin sin )sin cos 4sin sin 2sin cos A B a b A A
x ab A B A A
+++===
. …………8分
设sin cos (1t A A t =+<，则22sin cos 1A A t =-， ……10分
2
1t x t =-，因为222
2(1)(1)t x t -+'=- ＜0，故21
t x t =-在（1上单调递减函数.
所以
2
1
t t -所以实数x 的取值范围是)+∞. ……… 12分
20、已知f (x )＝x ln x (x >0). (1)、求f (x )的最小值.
(2)、F (x )＝ax 2
＋f ′(x )，(a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性.
解 (1)由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e .∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，∴当x ＝1e 时，f (x )min ＝1e ln 1e ＝－1e .
(2)由题意及(1)知，F (x )＝ax 2
＋ln x ＋1(x >0)，所以F ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2
＋1
x
(x >0)
①当a ≥0时，恒有F ′(x )>0，则F (x )在(0，＋∞)上是增函数；②当a <0时，令F ′(x )>0， 即2ax 2
＋1>0，解得0<x <
－12a ；令F ′(x )<0，即2ax 2
＋1<0，解得x >－12a . 综上，当a ≥0时，F (x )在(0，＋∞)上是单调递增，当a <0时，在⎝
⎛⎭
⎪⎫0，
－12a 单调递增，在⎝
⎛⎭
⎪⎫
－
12a ，＋∞上单调递减. 21、某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地AOCB 规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB ⊥BC ，OA ∥BC ，AB ＝BC ＝2AO ＝4 km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在AB ，BC 上，且一个顶点P 落在曲线段OC 上，问
应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km 2
)．（要求：以O 为原点，AO 所在直线为x 轴建立直角坐标系）
解：以O 为原点，AO 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图)．
依题意可设抛物线的方程为x 2＝2py ，且C (2，4)．∴22
＝2p ·4，∴p ＝12
.
故曲线段OC 的方程为y ＝x 2(0≤x ≤2)．设P (x ，x 2)(0≤x ＜2)，则|PM |＝2＋x ，|PN |＝4－x 2
.∴工
业园区的用地面积S ＝|PM |·|PN |＝(2＋x )(4－x 2)＝－x 3－2x 2
＋4x ＋8.
∴S ′＝－3x 2
－4x ＋4，令S ′＝0⇒x 1＝23
，x 2＝－2(舍去)，
当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23时，S ′＞0，S 是x 的增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，S ′＜0，S 是x 的减函数． ∴x ＝23时，S 取到最大值，此时|PM |＝2＋x ＝83，|PN |＝4－x 2
＝329
，
S max ＝83×329＝
25627≈9.5(km 2
)．答：把工业园区规划成长(PN )为329 km ，宽(PM )为83
km 时，矩形工业
园区的用地面积最大，最大用地面积约为9.5 km 2
.
22、已知函数f (x )＝ax －ln(1＋x 2
)． (1)、当a ＝45
时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的极值；
(2)、证明：当x >0时，ln(1＋x 2
)<x ；
(3)、证明：(1＋124)(1＋134)…(1＋1n
4)<e(n ∈N *
，n ≥2，e 为自然对数的底数)．
解 当a ＝45时，f (x )＝45x －ln(1＋x 2
)，∴f ′(x )＝45－2x 1＋x 2＝4x 2
－10x ＋4＋x 2
. x ，f ′(x )，f (x )变化如下表：
∴f 极大值＝f (2)＝5－ln 4，f 极小值＝f (2)＝5
－ln5.
(2)、证明 令g (x )＝x －ln(1＋x 2
)，则g ′(x )＝1－2x 1＋x 2＝x －
2
1＋x
2
≥0. ∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (0)＝0，∴ln(1＋x 2
)<x . (3)、证明 由(2)知ln(1＋x 2
)<x ，令x ＝1n 2，得ln(1＋1n 4)<1n 2<
1n
n －
＝
1n －1－1n
， ∴ln(1＋124)＋ln(1＋134)＋…＋ln(1＋1n 4)<1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1－1
n <1，
∴(1＋124)(1＋134)…(1＋1
n
4)<e.。