高一数学人教A版必修22-1-2空间中直线与直线之间的位置关系课件

假设 条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛
法 盾，从而断定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得
出结论：这两条直线是异面直线
3.公理 4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相 平行
图形语言
符号语言 直线 a，b，c，a∥b，b∥c⇒ a∥c
作用 证明两直线平行 公理 4 表述的性质通常叫做空间平行线的
③两直线平行同位角 相等 ，内错角相等 ，同旁内角互补．
④两直线平行分线段成比例如，在△ABC 中 DE∥BC，交
AB 于点 D，AC 于点 E，则DADB＝EACE.
新课引入
鲁迅先生说过：世间本无路，走的人多了便成了路．一开 始只有一条路，车多了，速度快了，就修两条平行的路；为了 解决交叉路口的速度与安全问题，人们又修了立交桥．如果将 路想象成直线，那么这里面有什么数学思想呢？本节，我们一 起研究一下——空间直线与直线之间的位置关系．
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，判断下列直线 的位置关系：
(1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系________； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________．
[规律](1)判断两直线平行、相交可用平面几何中的定义和 方法．
(2)判断异面直线的方法有如下几种
方法
内容
定义 依据定义判断两直线不可能在同一个平面内
法
定理 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为
法 异面直线(此结论可作为定理使用)
即假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两
做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
[破疑点]在定义中，空间一点 O 是任取的，根据等角定理， 可以断定异面直线所成的角与 a′，b′所成的锐角(直角)相等， 而与点 O 的位置无关．异面直线所成的角是刻画两异面直线相 对位置的一个重要的量，是通过转化为相交直线所成的角来解 决的．
(2)范围： (0°，90°]． (3)两异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角， 那么就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线 a，b， 记作 a ⊥ b. [破疑点]两直线垂直是指相交垂直或异面垂直．
命题方向 公理 4 及等角定理的应用
[例 2] 已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、 N 分别是棱 CD、AD 的中点．
(1)求证：四边形 MNA1C1 是梯形； (2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
[分析] (1)通过公理 4 转化为证明平面内两直线平行且不 等；(2)可用等角定理证明．
[分析] 画出图形，得到结论．
如图①，分别与异面直线 a，b 平行的两条直线 c，d 是相 交关系；
如图②，分别与异面直线 a，b 平行的两第直线 c，d 是异 面关系．
综上可知，应选 D.
[答案] D
规律总结：位置关系问题可能不止一种，因此在解题时 需要分类讨论，考虑问题必须全面，否则中，AB＝CD，AB⊥CD， E、F 分别为 BC、AD 的中点，求 EF 和 AB 所成的角．
[分析]根据定义，找到两异面直线所成的角是关键．由于 E、F 是中点，则想到三角形的中位线，取 BD 的中点后组成三 角形得两异面直线 EF 和 AB 所成的角．
[解析] 如图所示，取 BD 的中点 G，连接 EG、FG. ∵E、F 分别为 BC、AD 的中点，AB＝CD，
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
第二章
2．1 空间点、 直线、平面之间的位置关系
第二章
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误做答
课堂基础巩固 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 在初中，我们已经学习了在同一平面内的两条直线的位置 关系：相交或平行 ，还学习了一些平行线的性质： ①过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行． ②在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那 么这两条直线 也互相平行 这一性质通过本节的学习也能进 一步推广到空间．
[证明] (1)如图，连接 AC，在△ACD 中，
∵M、N 分别是 CD、AD 的中点， ∴MN 是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN＝12AC.
由正方体的性质得：
AC∥A1C1，AC＝A1C1. ∴MN∥A1C1，且 MN＝12A1C1，
即 MN≠A1C1， ∴四边形 MNA1C1 是梯形．
(2)由(1)可知 MN∥A1C1， 又因为 ND∥A1D1，
∴EG∥CD，GF∥AB，且 EG＝12CD，GF＝12AB.
∴∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角，且 EG＝GF. ∠EGF 是 AB 与 CD 所成的角 ∵AB⊥CD，∴EG⊥GF. ∴∠EGF＝90°. ∴△EFG 为等腰直角三角形． ∴∠GFE＝45°， 即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
A．平行 C．异面
[答案] A
B．相交 D．平行或异面
[解析] ∵E、F 分别是 SN 和 SP 的中点，∴EF∥PN. 同理可证 HG∥PN，∴EF∥HG.
4．等角定理 文字 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这 语言 两个角 相等 或 互补
图形 语言
符号 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠
[解析] (1)∵BB1∥CC1，∴∠A1BB1 就是 A1B 与 CC1 所成
的角，等于 45°.
(2)∵B1C1∥BC
∴∠ABC 就是 AB 与 B1C1 所成的角，等于 90°.
(3)∵AC∥A1C1，∴∠BA1C1 就是 AC 与 A1B 所成的角，在
△A1BC1 中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠BA1C1＝60° 即 A1B 与 AC 所成角为 60°.
2．求两异面直线所成角的大小． (1)求两异面直线所成角的关键在于作角，总结起来有如下 “口诀”： 中点、端点定顶点，平移常用中位线； 平行四边形柱中见，指出成角很关键； 求角构造三角形，锐角、钝角要明辨； 平行线若在外，补上原体在外边．
(2)如果求得的角的余弦值为负值的话，这说明两条异面直 线所成的角应该是所求角的补角，所以在指明所求角的时候， 应该说“这个角或其补角”即为所求的角．
∴∠DNM 与∠D1A1C1 相等或互补． 而∠DNM 与∠D1A1C1 均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM＝∠D1A1C1.
规律总结：(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即 证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；②利用公 理 4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)等 角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般再借助于图 形判断是相等，还是互补，还是两种情形都有可能．
∴AA1∥EE1，且 AA1＝EE1. 又∵AA1∥BB1，且 EE1＝BB1.
∴四边形 BEE1B1 是平行四边形．
∴BE∥B1E1.同理可证 CE∥C1E1.
又∠BEC 与∠B1E1C1 的两边方向相同， ∴∠BEC＝∠B1E1C1.
命题方向 求异面直线所成的角
1.求两异面直线所成角的一般步骤： (1)作：作出或找出异面直线所成的角； (2)证：用定义证明前一步的角即为所求； (3)算：在三角形中计算角的大小．
自主预习 阅读教材 P44－47，完成下列问题： 1．异面直线 (1)概念：不同在 任何一个 平面内的两条直线叫做异面直 线．
[破疑点]对定义可作如下理解：“不同在任何一个平面内 的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线，或者 说找不到一个平面同时经过这两条直线．“异面”的含义就是 “不能共面”的意思．定义中“任何”是不可缺少的关键词， 不能误解为“不同在某一平面内”．
已知 E、E1 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AD、A1D1 的中点，求证：∠BEC＝∠B1E1C1.
[分析] 欲证两个角相等，可通过等角定理来实现．
[证明] 如图所示，连接 EE1. ∵E、E1 分别是 AD、A1D1 的中点，
∴AE∥A1E1，且 AE＝A1E1.
∴四边形 AEE1A1 是平行四边形．
2．空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内， 有且只有 一个公共点； (2)平行直线——同一平面内， 没有 公共点； (3)异面直线——不同在 任何一个 平面内，没有公共点．
[破疑点](1)若无特别说明，本书中的两条直线均指不重合 的两条直线；
(2)空间两条直线的位置关系
空间两条直线共面相平交行 异面
说明 传递性
[破疑点]公理 4 是今后论证平行问题的主要依据．公理 4 中，若把直线 a，b，c 的平行关系限制在同一平面内，则可看 作是公理 4 的一种特殊情况．
如图所示，在三棱锥 S－MNP 中，E、F、G、H 分别是棱 SN、SP、MN、MP 的中点，则 EF 与 HG 的位置关系是( )
[特别提醒] 两条异面直线所成角的范围：(0，π2]．
[例 3] 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求下列异面直线所 成的角．
(1)A1B 与 CC1 (2)AB 与 B1C1 (3)A1B 与 AC.
[分析] 解题的关键是根据异面直线所成角的定义，用平 移的方法作出每一个角，然后求出所作的角，解题时，要很好 地利用正方体的性质．
判断下列说法是否正确？若正确，请简述理由；若不正 确，请在下列给出的图形中找出反例，并给予说明．
(1)没有公共点的两条直线是异面直线； (2)分别在两个平面内的直线一定是异面直线； (3)分别与两条相交直线都相交的两条直线共面； (4)分别与两条异面直线都相交的两条直线异面．
[解] (1)不正确，如下图①③中的直线 a、b； (2)不正确，如下图中②③中的直线 AC、BC 及 a、b； (3)不正确，如下图②中的直线 AB 与 l； (4)不正确，如下图④中，直线 AD 与 BC 是异面直线直线 AB、AC 都与 AD、BC 相交，但 AB、AC 是共面直线．
[答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
[解析]
序号 结论
理由
∵A1D1 綊 BC，∴四边形 A1BCD1 为平 (1) 平行
行四边形，∴A12B∥D1C (2) 异面 A1B 与 B1C 不同在任何一个平面内 (3) 相交 D1D∩D1C＝D1 (4) 异面 AB 与 B1C 不同在任何一个平面内
在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，与棱 AA′垂直且异 面的棱有________．
[答案] BC，B′C′，CD，C′D′
思路方法技巧
命题方向 空间两条直线的位置关系
[例 1] (2011－2012·山东模拟)分别和两条异面直线平 行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交 C．一定异面 D．相交或异面
语言 A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 作用 证明两个角相等或互补
[破疑点]等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到 的，它是公理 4 的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别 相同或相反时，它们相等，否则它们互补．
初中的一些结论在空间中仍然成立：如果两条平行线中的 一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线．但 是，初中有的结论在空间中不成立：如果两条直线都和第三条 直线垂直，那么这两条直线平行．初中的结论在空间中成立的 标准是已知条件能确定在同一个平面内，在空间中就成立，否 则不成立．
已知 ∠BAC ＝ 30°，AB∥ A′B′，AC ∥A′C′ ，则∠
B′A′C′＝( )
A．30°
B．150°
C．30°或 150° D．大小无法确定
[答案] C
5．两异面直线所成的角(夹角) (1)定义：已知两条异面直线 a，b 经过空间任一点 O 作直
线 a′∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的 锐角 (或直角)叫
(2)图示：如图 a，b 所示，为了表示异面直线不共面的特 点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
在三棱锥 S－ABC 中，与 SA 是异面直线的是( )
A．SB
B．SC
C．BC
D．AB
[答案] C
[解析] 如图所示，SB、SC、AB、AC 与 SA 均是相交直线， BC 与 SA 既不相交，又不平行，是异面直线．