右江区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

右江区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知命题“如果﹣1≤a ≤1，那么关于x 的不等式（a 2﹣4）x 2+（a+2）x ﹣1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．4个
2． 一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圈，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是
（ ）
A ．π
B ．3π+4
C ．π+4
D ．2π+4
3． 若实数x ，y 满足不等式组则2x+4y 的最小值是（ ）
A ．6
B ．﹣6
C ．4
D ．2
4． 已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（2，+∞） C ．（﹣∞，﹣1） D ．（﹣∞，﹣2）
5． 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f （x+2）=f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）=x 2．若直线y=x+a 与函数y=f （x ）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（ ）
A ．0
B ．0或
C ．
或
D ．0或
6． 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）
A ．akm
B ．
akm
C ．2akm
D ．
akm
7． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.
8． 若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）
A ．-5
B ．-4 C.-2 D ．3 9． 设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α
C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
D ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n
10．已知{}n a 是等比数列，251
24
a a ==，，则公比q =（ ） A ．12-
B ．-2
C ．2
D ．12
11．将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2
倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函
数图象的一条对称轴方程是（ ） A ．x=π B
．
C
．
D
．
12．函数y=2sin 2x+sin2x 的最小正周期（ ） A
． B
．
C ．π
D ．2π
二、填空题
13．复数
z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．
14．已知抛物线1C ：x y 42
=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：122
22=-b
y a x
（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .
【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a
且
•
=24，
则△ABC 的面积是 ．
16．定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：（1）f （2x ）=2f （x ）；（2）当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|，则集合S={x|f （x ）=f （34）}中的最小元素是 ．
17．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．
18．已知f（x）=，则f[f（0）]=．三、解答题
19．已知集合A={x|x2+2x＜0}，B={x|y=}
（1）求（∁R A）∩B；
（2）若集合C={x|a＜x＜2a+1}且C⊆A，求a的取值范围．
20．函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的递增区间；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
21．已知数列{a n}中，a1=1，且a n+a n+1=2n，
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{a n}的前n项和S n，求S2n．
22．已知奇函数f （x ）=（c ∈R ）．
（Ⅰ）求c 的值；
（Ⅱ）当x ∈[2，+∞）时，求f （x ）的最小值．
23．本小题满分12分如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，点E 、F 分别在边CD 、CB 上．点
E 与点C 、D 不重合，E
F AC ⊥，EF
AC O =，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置，使平面PEF ⊥
平面ABFED ．
Ⅰ求证：BD ⊥平面P O A ；
Ⅱ记三棱锥P A B D -的体积为1V ，四棱锥P BDEF -的体积为2V ，且
124
3
V V =，
求此时线段PO 的长．
P
A
B
C
D
O
E
F F
E
O D
C
A
24．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
右江区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：若不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”，
则根据题意需分两种情况：
①当a2﹣4=0时，即a=±2，
若a=2时，原不等式为4x﹣1≥0，解得x≥，故舍去，
若a=﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，符合题意；
②当a2﹣4≠0时，即a≠±2，
∵（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，
∴，解得，
综上得，实数a的取值范围是．
则当﹣1≤a≤1时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，
反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，
故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，
故选：C．
【点评】本题考查了二次不等式的解法，四种命题真假关系的应用，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想．
2．【答案】B
【解析】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）
由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，
故其表面积为S=2×π×12+2×2+×2π×1×2=3π+4
故选：B
【点评】本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题．
3．【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点C时，
直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，
由，解得，
即C（3，﹣3），
此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6．
故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．4．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（）=﹣3•+1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
5．【答案】D
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，
∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），
又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，
又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：
当a=0时，直线y=x+a变为直线l1，其方程为：y=x，显然，l1与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；
当a≠0时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y=x+a与函数y=f（x）相切，切点的横坐标x0∈[0，1]．
由得：x2﹣x﹣a=0，由△=1+4a=0得a=﹣，此时，x0=x=∈[0，1]．
综上所述，a=﹣或0
故选D．
6．【答案】D
【解析】解：根据题意，
△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，
∵AC=BC=akm，
∴由余弦定理，得cos120°=，
解之得AB=akm，
即灯塔A 与灯塔B 的距离为akm ，
故选：D ．
【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A 与灯塔B 的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．
7． 【答案】A.
【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设()||cos f x x x =-，[,]x ππ∈-， 显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A. 8． 【答案】B 【解析】
试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31
y 22
x z =
+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A 和)0,1(C ，当直线过A 点时，32224z x y =-=-⨯=-，当直线过C 点
时，32313z x y =-=⨯=，即的取值范围为]3,4[-，所以Z 的最小值为4-.故本题正确答案为B.
考点：线性规划约束条件中关于最值的计算.
9． 【答案】D
【解析】解：A 选项中命题是真命题，m ⊥α，m ⊥β，可以推出α∥β；
B 选项中命题是真命题，m ∥n ，m ⊥α可得出n ⊥α；
C 选项中命题是真命题，m ⊥α，n ⊥α，利用线面垂直的性质得到n ∥m ；
D 选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．
故选D ．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．
10．【答案】D 【解析】
试题分析：∵在等比数列}{a n 中，41,2a 52==a ,2
1,81q 253
=∴==∴q a a . 考点：等比数列的性质. 11．【答案】B
【解析】解：将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到y=cos x ，再向右平移个单位得到y=cos[（x ）]，
由（x ）=k π，得x =2k π，
即
+2k π，k ∈Z ，
当k=0时，
，
即函数的一条对称轴为，
故选：B
【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的求解，利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键．
12．【答案】C
【解析】解：函数y=2sin 2
x+sin2x=2×
+sin2x=sin （2x ﹣）+1，
则函数的最小正周期为=π，
故选：C ．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin （ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin （ωx+φ）的周
期为
，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：复数z==﹣i（1+i）=1﹣i，
复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．14．【答案】3
15．【答案】4．
【解析】解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比数列，
∴sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，
∵c=2a，可得：b=a，
∴cosB===，可得：sinB==，
∵•=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，
∴S
△ABC=acsinB==4．
故答案为：4．
16．【答案】6
【解析】解：根据题意，得；
∵f（2x）=2f（x），
∴f（34）=2f（17）
=4f（）=8f（）
=16f（）；
又∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|，
∴f（）=1﹣|﹣3|=，
∴f（2x）=16×=2；
当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|≤1，不存在；
当4≤x≤8时，f（x）=2f（）=2[1﹣|﹣3|]=2，
解得x=6；
故答案为：6．
【点评】本题考查了根据函数的解析式求函数值以及根据函数值求对应自变量的最小值的应用问题，是基础题目．
17．【答案】3+．
【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．
前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，
即个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第3+个，
即为3+．
故答案为：3+．
18．【答案】1．
【解析】解：f（0）=0﹣1=﹣1，
f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分段函数的简单应用．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）A={x|x2+2x＜0}={x|﹣2＜x＜0}，
B={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1}，
∴∁R A={x|x≤﹣2或x≥0}，
∴（∁R A）∩B={x|x≥0}；…
（2）当a≥2a+1时，C=∅，此时a≤﹣1满足题意；
当a＜2a+1时，C≠∅，
应满足，
解得﹣1＜a≤﹣；
综上，a的取值范围是．…
20．【答案】
【解析】解：（1）…（2分）
令解得…
f（x）的递增区间为…（6分）
（2）∵，∴…（8分）
∴，∴…（10分）
∴f（x）的值域是…（12分）
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．21．【答案】
【解析】解：（1）∵a1=1，且a n+a n+1=2n，
∴当n≥2时，．
∴a n+1﹣a n﹣1=2n﹣1，
当n=1，2，3时，a1+a2=2，a2+a3=22，．
解得a2=1，a3=3，a4=5．
当n为偶数2k（k∈N*）时，
a2k=（a2k﹣a2k﹣2）+（a2k﹣2﹣a2k﹣4）+…+（a6﹣a4）+（a4﹣a2）+a2
=22k﹣2+22k﹣4+…+24+22+1
=
=．
当n为奇数时，，
∴，
∴（k∈N*）．
（2）S2n=（a2+a4+…+a2n）+（a1+a3+…+a2n﹣1）
=（a2+a4+…+a2n）+[（2﹣a2）+（23﹣a4）+…+（a2n﹣1﹣a2n）]
=2+23+…+22n﹣1
=
=．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴=﹣=，
比较系数得：c=﹣c，∴c=0，
∴f（x）==x+；
（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，
当x∈[2，+∞）时，1﹣＞0，
∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴f（x）min=f（2）=．
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．
23．【答案】
【解析】Ⅰ证明：在菱形ABCD 中， ∵BD AC ⊥，∴BD AO ⊥． ∵EF AC ⊥，∴PO EF ⊥， ∵平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ，
∴PO ⊥平面ABFED ，
∵BD ⊂平面ABFED ，∴PO BD ⊥．
∵AO PO O =，∴BD ⊥平面POA ．
Ⅱ设AO
BD H =．由Ⅰ知，PO ⊥平面ABFED ，
∴PO 为三棱锥P A B D -及四棱锥P B D E F -的高，
∴1211
,33ABD BFED V S PO V S PO ∆=⋅=⋅梯形，∵1243
V V =，
∴3344ABD CBD BFED S S S ∆∆==梯形，∴1
4
CEF CBD S S ∆∆=，
∵,BD AC EF AC ⊥⊥，
∴//EF BD ，∴CEF ∆∽CBD ∆． ∴21
()4
CEF CBD S CO CH S ∆∆==，
∴111
222
CO CH AH ===⨯
∴PO OC ==
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有10÷0.25=40人，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为： 40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；
（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：
×=2.9；
（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ， 所以还有2人只有一个科目得分为A ，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，
则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，
则P（B）=．
【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．。