广东省广东实验中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
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【详解】
项，由 ，当 ， ，所以错误；
项，由 ，当 时， ，所以错误；
项，由 ，当 时， ，所以错误；
项，由 ， ，所以 （不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不改变），所以正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质.
2．C
【分析】
利用正弦定理可求得 .
【详解】
因为 ， ，
由正弦定理得 ，
故选：C
广东省广东实验中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若 ， ，则下列不等式成立的是（）
A． B． C． D．
2．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
10．若直线x+y﹣m＝0与曲线y＝2﹣ 没有公共点，则实数m所的取值范围是（）
A． B．
C． D．
11．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＞1，且6Sn＝an2+3an+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式 恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
5．在 中，三条边分别为 ，若 ，则三角形的形状（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．不能确定
6．设 分别是 中所对边的边长，则直线 与 的位置关系是( )
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
7．在 中，D是 边上一点， ， ， ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
8．函数y=loga（x+4）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则 的最小值为（ ）
（1）当 时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
22．在平面直角坐标系 中，已知以点 （ ）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线 （ ）与圆C交于M，N两点，且点 为线段 的中点.
15．若 的两边长分别为 和 ，其夹角的余弦为 ，则其外接圆的面积为______________；
16．给出以下三个结论：
①若数列 的前n项和为 （ ），则其通项公式为 （ ）；
②锐角三角形 中， ；
③若正实数x，y满足 ，且不等式 恒成立，则实数a的取值范围是 .
其中正确的是______（把你认为正确的序号全部写上）
20．已知数列 的前 项和为 ，且满足 .数列 是首项为 ，公差不为零的等差数列，且 成等比数列．
（1）求数列 与 的通项公式．
（2）若 ，数列 的前项和为 恒成立，求 的范围．
21．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算该项目月处理成本 （元）与月处理量 （吨）之间的函数关系可以近似地表示为： ，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为 元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（1）求m的值和圆C的方程；
（2）若Q是直线 上的动点，直线 ， 分别切圆C于A，B两点，求证：直线 恒过定点；
（3）若过点 （ ）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当 的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u，并求u的最大值.
参考答案
1．D
【分析】
举反例，利用不等式的基本性质，逐项排查.
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]
二、多选题
12．在公比q为整数的等比数列 中， 是数列 的前n项和，若 ， ，则下列说法正确的是（）.
A． B．数列 是等比数列C． D．数列 是公差为2的等差数列
三、填空题
13．在等比数列 中，已知 ， ，则 ______.
14．______.
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，考查运算求解能力.
3．B
【分析】
设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由 及 列方程组即可求解．
【详解】
设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由 及 得：
，解得：
故选B
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式及前 项和公式，考查方程思想及计算能力，属于基础题．
4．C
【解析】
本题正确选项：
【点睛】
本题考查解三角形中三角形形状的判断，关键是能够利用余弦定理首先确定最大角所处的范围，涉及到三角形大边对大角的性质的应用.
6．C
【分析】
先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．
A． B． C． D．
3．已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则数列 的公差 （ ）
A．4B．3C．2D．1
4．已知圆C经过A（0，0），B（2，0），且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为( )
A．（x–1）2+（y–1）2=4B．
C．（x–1）2+（y–1）2=2D．（x–1）2+（y–2）2=5
四、解答题
17．根据条件求下列圆的方程：
（1）求经过 ， 两点，并且圆心在直线 上的圆的方程；
（2）求半径为 ，圆心在直线 上，被直线 截得的弦长为 的圆方程．
18．在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的面积．
19．已知不等式 的解集为 .
（1）若 ，求集合 ；
（2）若集合 是集合 的真子集，求实数 的取值范围.
A．2B．6C． D．10
9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．
因为圆心在弦的中垂线上，所有可设 ，由于 为等腰直角三角形，所以 圆心坐标为 ，圆的半径为 ，所以圆 的方程为 ，故选C.
5．A
【分析】
根据余弦定理可求得 ，可知 为锐角；根据三角形大边对大角的特点可知 为三角形最大的内角，从而得到三角形为锐角三角形.
【详解】
由余弦定理可得：
且
又 ，则 均为锐角，即 为锐角三角形
项，由 ，当 ， ，所以错误；
项，由 ，当 时， ，所以错误；
项，由 ，当 时， ，所以错误；
项，由 ， ，所以 （不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不改变），所以正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质.
2．C
【分析】
利用正弦定理可求得 .
【详解】
因为 ， ，
由正弦定理得 ，
故选：C
广东省广东实验中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若 ， ，则下列不等式成立的是（）
A． B． C． D．
2．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
10．若直线x+y﹣m＝0与曲线y＝2﹣ 没有公共点，则实数m所的取值范围是（）
A． B．
C． D．
11．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＞1，且6Sn＝an2+3an+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式 恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
5．在 中，三条边分别为 ，若 ，则三角形的形状（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．不能确定
6．设 分别是 中所对边的边长，则直线 与 的位置关系是( )
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
7．在 中，D是 边上一点， ， ， ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
8．函数y=loga（x+4）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则 的最小值为（ ）
（1）当 时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
22．在平面直角坐标系 中，已知以点 （ ）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线 （ ）与圆C交于M，N两点，且点 为线段 的中点.
15．若 的两边长分别为 和 ，其夹角的余弦为 ，则其外接圆的面积为______________；
16．给出以下三个结论：
①若数列 的前n项和为 （ ），则其通项公式为 （ ）；
②锐角三角形 中， ；
③若正实数x，y满足 ，且不等式 恒成立，则实数a的取值范围是 .
其中正确的是______（把你认为正确的序号全部写上）
20．已知数列 的前 项和为 ，且满足 .数列 是首项为 ，公差不为零的等差数列，且 成等比数列．
（1）求数列 与 的通项公式．
（2）若 ，数列 的前项和为 恒成立，求 的范围．
21．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算该项目月处理成本 （元）与月处理量 （吨）之间的函数关系可以近似地表示为： ，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为 元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（1）求m的值和圆C的方程；
（2）若Q是直线 上的动点，直线 ， 分别切圆C于A，B两点，求证：直线 恒过定点；
（3）若过点 （ ）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当 的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u，并求u的最大值.
参考答案
1．D
【分析】
举反例，利用不等式的基本性质，逐项排查.
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]
二、多选题
12．在公比q为整数的等比数列 中， 是数列 的前n项和，若 ， ，则下列说法正确的是（）.
A． B．数列 是等比数列C． D．数列 是公差为2的等差数列
三、填空题
13．在等比数列 中，已知 ， ，则 ______.
14．______.
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，考查运算求解能力.
3．B
【分析】
设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由 及 列方程组即可求解．
【详解】
设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由 及 得：
，解得：
故选B
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式及前 项和公式，考查方程思想及计算能力，属于基础题．
4．C
【解析】
本题正确选项：
【点睛】
本题考查解三角形中三角形形状的判断，关键是能够利用余弦定理首先确定最大角所处的范围，涉及到三角形大边对大角的性质的应用.
6．C
【分析】
先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．
A． B． C． D．
3．已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则数列 的公差 （ ）
A．4B．3C．2D．1
4．已知圆C经过A（0，0），B（2，0），且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为( )
A．（x–1）2+（y–1）2=4B．
C．（x–1）2+（y–1）2=2D．（x–1）2+（y–2）2=5
四、解答题
17．根据条件求下列圆的方程：
（1）求经过 ， 两点，并且圆心在直线 上的圆的方程；
（2）求半径为 ，圆心在直线 上，被直线 截得的弦长为 的圆方程．
18．在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的面积．
19．已知不等式 的解集为 .
（1）若 ，求集合 ；
（2）若集合 是集合 的真子集，求实数 的取值范围.
A．2B．6C． D．10
9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．
因为圆心在弦的中垂线上，所有可设 ，由于 为等腰直角三角形，所以 圆心坐标为 ，圆的半径为 ，所以圆 的方程为 ，故选C.
5．A
【分析】
根据余弦定理可求得 ，可知 为锐角；根据三角形大边对大角的特点可知 为三角形最大的内角，从而得到三角形为锐角三角形.
【详解】
由余弦定理可得：
且
又 ，则 均为锐角，即 为锐角三角形