考研数学二(解答题)模拟试卷169(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷169(题后含答案及解析)
题型有：1.
1．确定常数a和b的值，使
正确答案：于是ln(1—2x+3x2)=一2x+3x2一(一2x+3x2)2+o(x2)=一2x+x2+o(x2)，代入即得涉及知识点：函数、极限、连续
2．求函数F(x)=的间断点，并判断它们的类型．
正确答案：对于函数F(x)的分段点x=0，因故x=0是函数F(x)的跳跃间断点．当x＞0时，F(x)=在x=1处没有定义，且极限不存在．故x=1是函数F(x)的振荡间断点．，k=0，1，2，…处没有定义，则这些点都是函数F(x)的间断点．特别对点故是函数F(x)的可去间断点；而点xk=一kπ一，k=1，2，…，显然是函数F(x)的无穷间断点．涉及知识点：函数、极限、连续
3．设x3-3xy+y3=3确定y为x的函数，求函数y=y(x)的极值点．
正确答案：x3-3xy+y3=3两边对x求导得3x2-3y-3x，x≠y2，令得y=x2，代入x3-3xy+y3=3得x=-1或因为=1＞0，所以x=-1为极小值点，极小值为y=1；因为=-1＜0，所以为极大值点，极大值为x=y2，时≠0，此时y没有极值．涉及知识点：高等数学
4．设b1=a1，b2=a1+a2，…，br=a1+a2+…+ar，且向量组a1，a2，…，ar 线性无关，证明向量组b1，b2，…，r线性无关．
正确答案：根据已知，可得(b1，b2，…，br)=(a1，a2，…，ar)K，其中向量组a1，a2，…，ar，线性无关，则r(a1，a2，…，ar)=r，又因为故K可逆，由矩阵的性质，得r(b1，b2，…，br)=r(a1，a2，…，ar)=r．所以b1，b2，…，br 线性无关．涉及知识点：向量
5．设ψ(x)=又函数f(x)在点x=0处可导，求F(x)=f[ψ(x)]的导数．
正确答案：F(x)=f[ψ(x)]=当x≠0时，用复合函数求导法则求导得当x=0时(分段点)，用导数定义求导数得涉及知识点：一元函数微分学
6．当x≥0，证明∫0x(t－t2)sin2ntdt≤，其中n为自然数．
正确答案：令f(x)=∫0x(t－t2)sin2ntdt，则f(x)在[0，+∞)可导，f’(x)=(x－x2)sin2nx．当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，除x=kπ(k=1，2，3，…)的点(f’(x)=0)外，f’(x)＜0，则f(x)在0≤x≤1单调上升，在x≥1单调减小，因此f(x)
在[0，+∞)上取最大值f(1)．又当t≥0时sint≤t，于是当x≥0时有f(x)≤f(1)=∫01(t－t2)sin2ntdt≤∫01(t－t2)t2ndt= 涉及知识点：微分中值定理及其应用
7．假设矩阵A和B满足关系式AB＝A＋2B，其中，求矩阵
B．
正确答案：涉及知识点：矩阵
8．求∫exsin2xdx．
正确答案：∫exsin2xdx=而∫excos 2xdx=∫cos2xdex =excos 2x+2∫sin 2x.exdx =excos 2x+2∫sin 2xdex=excos 2x+2exsin 2x一4∫excos 2xdx，涉及知识点：一元函数积分学
9．设由sinχy＋ln(y－χ)＝χ确定函数y＝y(χ)，求y′(0)．
正确答案：χ＝0时，y＝1，sinχy＋ln(y－χ)＝χ两边对χ求导得将χ＝0，y＝1代入得＝1，即y′(0)＝1．涉及知识点：一元函数微分学及应用
10．求双纽线(χ2＋y2)2＝a2(χ2－y2)所围成的面积．
正确答案：根据对称性，所求面积为第一卦限面积的4倍，令则双纽线的极坐标形式为r＝acos2θ(0≤θ≤)，第一卦限的面积为所求面积为A＝4A1＝a2．涉及知识点：一元函数积分学
已知矩阵与相似．
11．求x与y；
正确答案：B的特征值为2，y，一1．由A与B相似，则A的特征值为2，y，一1．故涉及知识点：线性代数
12．求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P．
正确答案：分别求出A的对应于特征值λ1=2，λ2=1，λ3=一1的线性无关的特征向量为令可逆矩阵则P-1AP=
B．涉及知识点：线性代数
13．已知n阶矩阵A满足A3=E．(1)证明A2-2A-3E可逆．(2)证明A2+A+2E可逆．
正确答案：通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是0不是它的特征值．由于A3=E，A的特征值都满足λ3=1．(1)A2-2A-3E=(A-3E)(A+E)，3和-1都不满足λ3=1，因此都不是A的特征值．于是(A-3E)和(A+E)都可逆，从而A2-2A-3E可逆．(2)设A的全体特征值为λ1，λ2，…，λn，则A2+A+2E 的特征值λi2+λi+2，i=1，2，…，n．由于λi3=1，λi或者为1，或者满足λi2+λi+1=0．于是λi2+λi+2或者为4，或者为1，总之都不是0．因此A2+A+2E可逆．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化
14．设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f”(ξ)=0．
正确答案：由罗尔定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，则φ(1)=φ(x0)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f”(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f”(ξ)=0．涉及知识点：高等数学部分
15．设f(x)二阶可导，且f”(x)>0．证明：当x≠0时，f(x)>x．
正确答案：由，得f(0)=0，f’(0)=1，又由f”(x)>0且x≠0，所以f(x)>f(0)+f’(0)x=x．涉及知识点：高等数学部分
16．设z＝f(χ，y)是由方程z－y－χ＋χeχ－y－z＝0所确定的二元函数，求dz．
正确答案：z－y－χ＋χez－y－χ＝0两边关于χ，y求偏导得涉及知识点：多元函数微分学
17．飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为v0(m／s)，飞机与地面的摩擦系数为μ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为kx(kg.s2／m2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg.s2／m2)．设飞机的质量为m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间．正确答案：水平方向的空气阻力Rx=kxv2，垂直方向的空气阻力Ry=kyv2，摩擦力为W=μ(mg-Ry)，由牛顿第二定律，有涉及知识点：常微分方程
18．A是三阶矩阵，三维列向量组β1，β2，β3线性无关，满足Aβ1＝β2＋β3，Aβ2＝β1＋β3，Aβ3＝β1＋β2，求｜A｜．
正确答案：令B＝(β1，β2，β3)，由Aβ1＝β2＋β3，Aβ2＝β1＋β3，Aβ3＝β1＋β2得AB＝，两边取行列式得｜A｜.｜B｜＝｜B｜.＝2｜B｜，因为β1，β2，β3线性无关，所以B可逆，故｜A｜＝2．涉及知识点：线性代数
19．设f(x)=在[0，1]上收敛，证明级数绝对收敛．
正确答案：由于f(x)=在[0，1]上收敛，因而x=1时，级数收敛，所以ak有界．不妨设|ak|＜M．则n＞1时，涉及知识点：无穷级数
20．设f(x)在[0，1]连续，且f(0)=f(1)，证明至少存在一点ξ∈[0，1]，使得f(ξ)=
正确答案：本题可以转化为证明在区间[0，1]上存在零点，因为f(x)在[0，1]上连续，所以上连续。

F(x)在上存在零点的情况可转化为函数F(x)在上存在两个点的函数值是异号。

于是中或全为0，或者至少有两个值是异号的，因此由连续函数零点定理，存在ξ属于，使得F(ξ)=0，即涉及知识点：函数、极限、连续。