广东2022初中毕业生学业考试重点考试卷3-数学

俯视
主视
α
广东2022初中毕业生学业考试重点考试卷3-数学
一．选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题给出的四个选项中，只有一
个是正确的，请将正确选项的字母写在答题卷相应的答题位置上。

1．16的算术平方根是（ ）
A ．4
B ．±4
C ．2
D ．±2 2．在三角形内到三角形三边距离相等的点是三角形（ ） A ．三边的垂直平分线的交点 B ．三条高的交点
C ．三条角平分线的交点
D ．三条中线的交点
3．一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示， 那么它的左视图正确的是________
4．某教育教学网站有会员7945000名，其中7945000用科学记数法表示应为__________(保留三个有效数字)
A ． 7.94×105
B ． 7.94×106
C ． 7.95×105
D ． 7.95×106 5．一组数据为：5，8，3，8，7，则这组数据的中位数是 ，众数是 ． A ．7，8 B ．8，7 C ．8，8 D ．3，8 二、填空题（4×5=20分）
6．分解因式：2m 2-18= ．
7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，
已知BC =24cm ，则DE = ___ ___cm ．
8．一件衬衫标价是132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则 这件衬衣的进价是 元．
A ．45
B ．51
C ．54
D ．57 9．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，己知
∠1=30°，∠2=50°，则3 的度数等于 °．
10.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个
A B C D
（第7题）
1 2 3
第9题
图13
C
B
A
大正方形．假如小正方形的面积为4，大正方形的面积为100， 直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于___________
三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分） 11. 运算：1
1
1()(2012)2sin 45321
π---+︒-+
12. 如图，要在一块形状为直角三角形
（∠C 为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先 在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC 上， 且与AB 、BC 都相切.请你用直尺和圆规画出来（要求 用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
13．如图，在
ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，
分别取点K 、L 、M 、N ，使AK =CM 、BL =DN ， 求证：四边形KLMN 为平行四边形。

14、阅读材料，解答问题．
阅读材料：如图①，一扇窗户打开后用窗钩AB 可将其固定． （1）那个地点所运用的几何原理是（ ）
A ．三角形的稳固性
B ．两点之间线段最短
C ．两点确定一条直线
D ．垂线段最短
（2）如图②是图①中窗子开到一定位置时的平面图，若45AOB ︒∠=，
30OAB ︒∠=,OA =60cm ，求点B 到边OA 的距离．（结果保留根号）
15．如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．
四．解答题（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16.某商场为了吸引顾客，设计了一个摸球获奖的箱子，箱子中共有20个球，其中红球2个，兰球3个，黄球5个，白球10个，并规定购买100元的商品，就有一次摸球的机会，摸
A B
D
C
O
·
（第15题）
到红、兰、黄、白球的(一次只能摸一个)，顾客就能够分别得到80元、30元、10元、0元购物卷，凭购物卷仍旧能够在商场购买，假如顾客不情愿摸球，那么能够直截了当获得购物卷10元.
(1)每摸一次球所获购物卷金额的平均值是多少？
(2)你若在此商场购买100元的物资，两种方式中你应选择哪种方式？什么缘故？
17．有一人明白某个好消息，通过两轮传播后共有81人明白了那个好消息，请问每轮传播
中平均一个人告诉了几个人？
18、已知二次函数25y x kx k =-+-．
⑴求证：不管k 取何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个交点； ⑵若此二次函数图像的对称轴为1x =，求它的解析式；
（第19题）
19．如图，过点P （2，2）作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线k
y x
=
（0x >）于点N ，作PM AN ⊥交双曲线k
y x
=（0x >）于点M ，连结AM ．已 知4PN =． （1）求k 的值；
（2）设直线MN 解析式为b ax y +=，
求不等式
x
k
≥b ax +的解集；
五．解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20．有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开
（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕通过点B ，得到折痕BM ，同
时得到线段BN（如图2）.
(（图1）（图2）
请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交线段
．．BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？
21、广州市天河区某楼盘预备以每平方米35000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产
的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格通过两次下调后，决定以每平方米28350元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人预备以开盘均价购买一套80平方米的房子．开发商还给予以下两种优待方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业治理费．物业治理费是每平方米每月4元．请问哪种方案更优待？
22、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，3
OC=，P为直线AB
OA=，4上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q；
（1）当点P在线段
，重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；
．．AB上运动（不与A B
（2）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并判定l是否存在最小值，若存在，要求出最小值；若不存在，请说明理由。

（3）直线．．AB 上是否存在点P ，使POQ △为等腰三角形，若存在，
要求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案
一、选择题（3×5=15分） 1.A 2.C 3.B 4.D 5.A 二、填空题（4×5=20分）
6. 2(m +3)(m -3)
7. 12
8. 108
9. 20 10. 4
3
三、解答题（5×6分=30分）
x
11.解：原式=
2
312(21)
2
-+⋅----------------------3分
312213=-+-+=----------------------------6分
12.（作出角平分线得3分，作出半圆再得2分，小结1分，共6分） 解：如图即为所求作图形。

13.证明：
∵四边形ABCD 是平行四边形.
∴AD =BC ，AB =CD ，∠A =∠C ，∠B =∠D ∵AK =CM ，BL =DN ， ∴BK =DM ，CL =AN
∴△AKN ≌△CML ，△BKL ≌△DMN -----------------------------3分 ∴KN =ML ，KL =MN
∴四边形KLMN 是平行四边形. -------------------------------------6分
14.（1）A -----------------2分
(2)解；过点B 作BC ⊥OA 于点C ，设BC =x , ∵∠BOA =45°, ∠BA 0=30°, ∴OC =x , AC =3x ,则
X +3x =60
O B
C
A
X =303-30
∴点B 到边OA 的距离为（303-30）cm .-------------------6分
15.解：∵AB 是直径, ∴∠ACB =90°,
∴BC =
2
26
10-=8(cm ). -------------------2分
又CD 平方∠ACB , ∴∠ACD =∠BCD =45°, 又∠ACD =∠ABD ,∠DAB =∠DCB ∴∠DAB =∠ABD =45° ∴AD =BD =2
52
10
=(cm ) -------------------------6分
四．解答题（4×7分=28分）
16．解：（1） ∵P (摸到红球)= 202 ， P (摸到兰球)= 20
3，
P (摸到黄球) = 205 ， P (摸到白球)= 20
10，
∴每摸一次球所获购物卷金额的平均值为：80×202+30×203+10×20
5
=15(元) -------------------4分 （2）∵15＞10，
∴两种方式中我会选择摸球这种方式，现在较合算。

----------------------7分 17.解：设每轮传播中平均一个人告诉了x 人，则： 1+x +(1+x )x =81 --------------4分 81)1(2=+x
∴81=x , 102
-=x ( 舍 )
答：每轮传播中平均一个人告诉了8人。

---------------------------7分
18.（1）证明：令y =0, 则
052=-+-k kx x , ∵△=)5(42
--k k
A B
D
C
O
·
（第15题）
（第19题） =
2042+-k k
=16)2(2+-k ∵2)2(-k ≥0, ∴16)2(2+-k ＞0
∴不管k 取何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个交点. -------------4分 (2).∵对称轴为x =
122==--k k ， ∴k =2 ∴解析式为
322--=x x y ---------7分 19.解：（1）依题意，则AN =4+2=6, ∴N (6,
2), 把N (6, 2)代入k y x =中, ∴k =26 ------------------------3分
(2)∵M 点横坐标为 2, ∴M 点纵坐标为232
26=, ∴M (2, 23)
∴由图像知，x
k ≥b ax +的解集为 0＜x ≤2 或 x ≥6 -------------------------7分
20. 解：（1）△BMP 是等边三角形. …………………………………………………1分 证明：连结AN
∵EF 垂直平分AB ∴AN = BN
由折叠知 AB = BN
∴AN = AB = BN ∴△ABN 为等边三角形
∴∠ABN =60° ∴∠PBN =30° …………………………3分 又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A =90°
∴∠BPN =60°
∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°
∴∠BMP =60°
∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°
∴△BMP 为等边三角形 . …………………………………………………5分
（2）要在矩形纸片ABCD 上剪出等边△BMP ，则BC ≥BP ……………………7分
在Rt △BNP 中， BN = BA =a ，∠PBN =30°
∴BP =
cos30a ∴b ≥cos30a ∴a ≤2
3b .
∴当a ≤2
3b 时，在矩形上能剪出如此的等边△BMP .……………………9分
21. 解：（1）设平均每次降价的百分率是x ，依题意得 ---------1分
35000（1－x ）2= 28350 ---------------------3分
解得：x 1=10％ x 2＝1910
（不合题意，舍去） --------------5分
答：平均每次降价的百分率为10％． ------------------------6分
（2）方案①的房款是：28350×80×0.98＝2222640（元） -------------------7分
方案②的房款是：28350×80－4×80×12×2＝2260320（元）---------------8分 ∵2222640＜2260320
∴选方案①更优待． -------------------------9分
22.（1）证明：∵四边形OABC 为矩形
∴∠OAP =∠QBP =90°,
∵∠OPQ =90°, ∴∠APO +∠BPQ =90=∠APO +∠AOP
∴∠BPQ =∠AOP , ∴△AOP ∽△BPQ ∴BQ
AP BP OA = ∴OA ·BQ =AP ·BP ----------------------3分
(2) 由（1）知OA ·BQ =AP ·BP ∴3×BQ =m (4-m ) ∴BQ =3
)4(m m -
∴CQ =3-3
)4(m m -=33432+-m m
即L =33
432+-m m (0＜m ＜4) = 35)2(312
+-m ∴当m =2 时， L （最小）=3
5 -----------------6分
(3)∵∠OPQ =90°,∴要使△POQ 为等腰三角形，则PO =PQ .
当点P 在线段AB 上时，如图 (1) △ AOP ≌△BPQ ∴PB =AO =3
△ ∴AP =4-3=1
∴1
P (1,3) (图1)
当点P 在线段AB 的延长线上时，如图（2）
现在△QBP ≌△PAO
∴PB =AO =3 ∴AP =4+3=7 ∴2
P (7,3) （图2） 当点P 在线段AB 的反向延长线上时，如图 （3） 现在∵PB ＞AB ＞AO ,
∴△PQB 不可能与△OPA 全等,
即PQ 不可能与PO 相等,
现在点P 不存在.
综上所述，知存在1P (1,3), 2
P (7,3). ---------------9分。