高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质教案数学教案

对数函数及其性质
一、教材简析
本节内容选自人教版必修（1）第二章2.2.2《对数函数及其性质》。

对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。

本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对数函数与指数函数有许多类似之处，但对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。

对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生完善初等函数的认识系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。

为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。

二、学情分析
本班学生的数学基础比较好，数学学习的积极性，主动性较强。

学生通过前面的函数性质、指数函数的学习，探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼，已具备了探索研究对数函数定义及其图像性质的认识基础。

因此，可引导学生类比研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，将有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解。

三、设计理念
本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计。

借助生活中典型实例创设问题的情境，引出对数函数的概念，通过课件的演示，数形结合，让学生感受x y a log =()10≠>a a 且中，a 取不同的值时反映出不同的函数图象。

让学生通过观察、类比、发现、归纳出对数函数图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。

同时在教学中渗透“类比联想”、“数形结合”及“分类讨论”的数学思想方法，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。

四、教学目标
(一)、知识与技能：
通过学习对数函数的概念、图象和性质,学生体会知识之间的有机联系,激发学生的学习兴趣.
（二）、过程与方法：
通过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。

培养观察、分析、归纳的思维能力和交流能力，增强学习的积极性。

学生掌握对数函数的图象与性质，并
会初步应用。

（三）、情感态度与价值观：
通过本节课学习，让学生养成自主学习的习惯和数学应用意识。

通过联系观点分析，解决两数比较大小的问题。

五、教学重点和难点
（一）、教学重点：
理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质。

[解决方法] 注重指数函数与对数函数的图象和性质的对比，遵循特殊到一般的认知规律，利用特殊函数增加感性认识。

（二）、教学难点：
（1）、数a 对对数函数的影响；解决方法：对比分析
（2）、定义域对对数函数的影响; 解决方法：例题剖析
六、教具准备：
多媒体课件
七、课时安排：
《对数函数及其性质》按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时
八、教学方法：
讲授法与演示法、启发法、讨论法、练习法相互结合。

九、教学过程
（一）创设情境，建构概念
问题一：教材2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡生物的残留物，利用P t 573021
log
=估算出土文物或古遗址的年代，那么对于对应关系
P t 573021
log
= ，t 是p 的函数吗？
教师用多媒体给学生演示下表
引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量p 的取值，通过对应关系P t 573021
log
=，
生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是p 的函数”。

设计意图：以学生熟悉的问题为背景，以旧有知识为基点，顺利切入学生的最近发展区，使学生亲历了对数函数模型的形成过程，初步理解对数函数的概念，感受研究对数函数的意义
（二）探究新知
问题二：你能类比指数函数的概念得出对数函数的概念吗？
设计意图：以学生已掌握的知识为基点，温故而知新，培养学生的类比、迁移能力。

教师板书：把函数x y a log =叫做对数函数，其中()10≠>a a 且。

问题三：指数函数，对数函数的定义域、值域之间有什么关系？
设计意图：定义域、值域是函数的两大要素，再加上对数函数和指数函数的关系，因此，有必要对此问题进行讨论。

这里，让学生探究并汇报问题的结果（对数函数
x y a log =的定义域和值域分别是指数函数x a y =的值域和定义域）。

通过比较，让学生进一步感受指数函数与对数函数的内在联系。

例1：求下列函数的定义域：（教材71页例7）
（1）2log x y a =； （2）()x y a -=4log
总结: 对数的真数必须大于零；
变式练习：求下列函数的定义域：（教材73页练习2）
（1）()x y -=1log 5； （2）x
y 311
log 7-= 总结:求解对数函数定义域问题的关键是要抓住“真数大于零”，当真数为某一代数式时，可将其看作一个整体单独提出来求其大于零的解集即该函数的定义域
设计意图：使学生通过求函数的定义域加深对对数函数的理解。

问题四：你能在同一坐标系上画出下列函数的图像吗?
（1）x y 2log = （2）x y 2
1log =
设计意图：图像是研究、验证性质的工具之一，也是函数的表示方法之一。

要求学生自主绘
出x y 2log =，x y 2
1log =的图像有利于培养学生的动手能力，让学生进一步感受指
数函数与对数函数的关系，为下面探索对数函数的性质奠定基础。

问题五：从画出的图象中，你能发现解析式的区别在哪里？图象有什么不同和联系？
设计意图：通过学生讨论，培养学生交流合作能力。

获得对数函数的图象和性质。

明确底数a 是确定对数函数的要素，渗透分类讨论思想。

问题六：
1、观察下列函数的图象并回答有什么共同点和不同点？
第一组：（1）
x y 2log = ；（2）x y 5log =；（3）x y lg = 第二组：（1）x y 21log = ；（2）x y 51log =；（3）x y 10
1log =
2、类比指数函数，对数函数的图象有哪几种类型呢？类比指数函数的图像，你能思考并归纳出对数函数
x y a log =()10≠>a a 且中，当a >1和0<a <1时，两种图象的特点吗？
设计意图：这种设计抓住了新旧知识的内在联系，既严谨又直观易懂，能让学生主动参与教学过程，有利于培养学生的创新能力，使学生易于接受、掌握。

教师板书：对数函数x y a log =()10≠>a a 且的图象和性质。

设计意图：利用表格,容易突破难点。

通过对数函数图象的观察，分析总结出对数函数的性质，有利于加深学生对对数函数性质的理解和掌握，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生形成过程，逐步培养学生的抽象概括能力。

例2: 比较下列各组数中两个值的大小：（教材72页例8）
（1）4.3log 2 , 5.8log 2；
（2）8.1log 3.o ；7.2log 3
.o （3）1.5log a ；9.5log a ()10≠>a a 且
小结：若底数相同,利用对数函数的单调性比较大小.
设计意图：让学生应用对数函数的单调性“比较两个数的大小”，熟悉对数的性质，体会应用函数的单调性的目的是用函数的观点解决问题的思想方法。

变式练习：
1. 已知下列不等式，比较正数m ，n 的大小：
（1）n m 33
log log < ； （2）n m 3.03.0log log >; （3）n m a a log log <.
设计意图：考察学生利用对数函数性质解决问题的能力，让学生反思明白，要想利用函数的图像解决问题，关键要做到“脑中有图”，以“形”促“数”；同时，形成这类问题的一般解题流程：“识别――判断――比较”。

其中，识别，指“模式识别”，这也是波利亚所提倡的一种重要数学解题思想。

在教学中渗透这样的数学思想，是发展学生数学素质的一项重要的基本训练。

（三）、反馈练习：
1、求下列函数的定义域：
（1）()11lg 3-+-=x x y ； （2）()()
x x y 416log 1-=+ 2、比较下列各组数中两个值的大小：
（1）9.1log 2 , 2.3log 2
； （2）9log 7
； 4log 21 （3）3log a ；10log a ()10≠>a a 且
设计意图：通过反馈练习，可使学生加深对对数函数的理解，起到巩固作用、同时也能让教师能及时掌握学生的信息。

（四）、课堂小结
教师引导学生完成本节课的总结
学生完成本节课的小结
１．对数函数的概念、图象和性质，底数a 对单调性的影响
２．求含有对数函数的定义域时，要注意：①真数大于零，②底数大于零且不等于１． ３．比较两个对数的大小时：
(1)若底数相同,利用对数函数的增减性比较大小.
(2)若底数与1的大小关系未明确指定时,要分情况对底数进行讨论来比较大小.
(3)若底数不相同,可在两个对数中引入一个已知数(如1或0等),间接比较大小.
设计意图：通过引导学生自己进行课堂小结，有利于使学生加深对对数函数及其性质的理解和把握，加深对本节所学知识的印象，有利于学生更加清晰的分辨知识点之间的异同，更加系统的认识知识点间的相互联系，有利于学生构建自己的知识体系。

（五）、布置作业
教材75页练习2.2A组第10题
设计意图：设置这样的作业题，能使课堂教学得以很好的延续与深入。

十、板书设计：
对数函数及其性质
1. 对数函数的定义例1：求下列函数的定义域：
2. 对数函数的图像及性质例2：比较下列各组数中两
个值的大小：。