专题11 因式分解常用方法技巧

代数专题11 因式分解常用方法技巧
一、 知识导航
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式
（2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式、十字相乘法来分解
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项来分解
（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解.
总结：看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要相对合适。

二、 典型例题
题型一 用“提公因式法”分解因式
例1 分解因式：
（1）282m n mn +=
（2）3a （x ﹣y ）＋2b （y ﹣x ）＝
变式训练1 因式分解：
（1）()()39a x y y x -+-
（2）2(23)23m n m n --+
题型二 用“公式法”分解因式
例2 因式分解：22x x -=__________；2449x -=__________；2288x x -+=_________．
变式训练2 把下列各式分解因式：
（1）244x x -+ （2）224()()
-+-a x y b y x （3）4224817216a a b b -+
（4）()()314x x -++
题型三 用“十字相乘法”分解因式
“提公因式法”分解因式归纳总结：
1. 先确定公因式，一次把公因式全部提干净；
2. 提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1不可丢掉；
3. 提取的公因式带“—”号时，多项式的各项要变号.
“公式法”分解因式归纳总结：
分解因式与整式的乘法互为逆变形，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解成因式。

常用公式如下：
平方差公式：完全平方公式：立方差公式：立方和公式：()()
22a b a b a b -=+-()2
22
2a b a ab b ±=±+()()
3322a b a b a ab b -=-++()()3322a b a b a ab b +=+-+
例3 因式分解：
（1）3242024x x x -+-
（2）226x x +-（3）ab 2﹣3ab ﹣10a
（4）2314x x +-（5）2344x x --+
（6）2631105
x x +- 变式训练3 将下列各式分解因式：
（1）261915y y ++
（2）214327x x +- （3）256x x --
（4）21016x x -+
（5）2103x x -- “十字相乘法”分解因式归纳总结：
1. 形如的二次三项式，如果有，，且，
则可把多项式分解为：2. 二次项系数为1时，是相对上面标准二次三项式的简化：
3. 对于齐次多项式，将一个字母当成常数处理，把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式，就可以利用十字相乘法进行因式分解2ax bx c ++mn a =pq c =mq np b +=()()
2ax bx c mx p nx q ++=++()()()
2x p q x pq x p x q +++=++22ax bxy cy ++
题型四 用“分组分解法”分解因式
例4 因式分解：（1）2221x y y ---（2）x 3＋x 2―x ―1
变式训练4 （1）22929-+-=-x xy y （______）=（______）2-（______）2=（______）（______）；（2）2223-+-=x y x z y z y （______）-（______）=（______）（______）=（______）（______）（______）；
（3）在多项式①2222+-+x xy y z ；②2221--+x y x ；③224441-++x y x ；④2221-++-x xy y 中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是（只写式子序号）________．
题型五 用“拆项法”分解因式
例5 分解因式
（1）44x + （2）356x x +- （3）21636x x +- （4）444x y
+变式训练5 分解因式
（1）ax by bx ay +++ （2）2221xy y x +-+ （3）223x x +-
（4）22x n x n -+-
（5）243
a a ++ “分组分解法”分解因式归纳总结：
多项式含有多个单项式时，从整体看，这个多项式的各项既没有公式可提，也不能用公式法分解，但从局部看，能够提取公因式或是利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能够提取公因式或利用公式。

题型六 用“配方法”分解因式
例6 因式分解：
（1）245x x +- （2）223x x +- （3）x 2﹣8x ﹣9
变式训练6 数学教科书中这样写道：“我们把多项式a 2+2ab +b 2及a 2﹣2ab +b 2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：
先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x 2+2x ﹣3＝（x 2+2x +1）﹣4＝（x +1）2﹣4＝（x +1+2）（x +1﹣2）＝（x +3）（x ﹣1）；例如求代数式2x 2+4x ﹣6的最小值，2x 2+4x ﹣6＝2（x 2+2x ﹣3）＝2（x +1）2﹣8，可知当x ＝﹣1时，2x 2+4x ﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m 2﹣4m ﹣5＝ ．
（2）求代数式x 2+2x +4的最小值．
“拆项法”分解因式归纳总结：
1. 把多项式的某一项拆开成其和与原项相等的两项或多项，一个不存在的项也可以拆成其和为0的两项或多项，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；
2. 拆项必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换，否则此处一步错，后面步步错。

（3）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+c 2+2b （b ﹣a ﹣c ）＝0，试判断△ABC 的形状．
题型七 用“换元法”分解因式
例7 分解因式：
（1）()()2221234
a a a a ---++（2）()()
224341149x x x x ---++变式训练7 阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方
法，下面是某同学用换元法对多项式()()2221234a a a a ---++进行因式分解的过程．
解：设22a a A -=原式()()134A A =-++（第一步）221A A =++（第二步）()2
1A =+（第三步）()2
221a a =-+（第四步）“配方法”分解因式归纳总结：
有些多项式可以使用拆项法将其配成一个完全平方式，然后剩余部分再利用平方差公式，就能将其因式分解。

1. 为了方便运算，二次项系数不为1时，先提出二次项系数，使其变为1
2. 对于形如对于形如的二次三项式，作变换：
3. 对于齐次多项式，把一个字母当作常数处理，把原多项式
看成关于另一个字母的二次三项式，就可以利用配方法进行分解
2x bx c ++22
2222b b x bx c x bx c ⎛⎫⎛⎫++=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22x bxy cy ++
回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______（填代号）．
A ．提取公因式
B ．平方差公式
C ．两数和的完全平方公式
D ．两数差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为_______．
（3）请你模仿以上方法对多项式()()224341149x x x x ---++进行因式分解．
（4）知识延伸：
解一元高次方程的常用方法是因式分解法，即若“0AB =，则0A =或0B =”．
解方程()()2
228120x x x x +-++=．
三、 巩固练习
1. 下列各式的因式分解中正确的是（
）A ．2()
a a
b a
c a a b c -+-=-+-B ．22963(32)xyz x y xyz xy -=-C ．()2236332a x bx x x a b -+=-D ．22111()222
xy x y xy x y +=+
2. 已知23m m -的值为5，那么代数式2203026m m -+的值是（
）A ．2030B ．2020C ．2010D ．2000
“换元法”分解因式归纳总结：
把多项式中某些部分看成一个整体，用新字母代替，叫做换元。

1. 对多项式中复杂部分换元，简化计算，避免出错
2. 形如的多项式，先经过适当分组，两两展开，再换元以求简便
abcd e +
3. 下列各式能用公式法因式分解的是（ ）．
A ．2214
x xy y -+B ．22
2x xy y +-C ．22x xy y ++D ．22x y -- 4. 若29x mx ++可以用公式222)2(a ab b a b ±+=±进行分解因式，则m 的值为（ ）
A ．6
B ．18
C ．6-
D ．6
± 5. 因式分解m 2-m -6正确的是（ ）
A ．(m +2)(m -3)
B ．(m -2)(m +3)
C ．(m -2)(m -3)
D ．(m +2)(m +3)
6. 若x +y ＝5，xy ＝6，则x 2y ﹣xy 2的值为 ___．
7. 1002﹣992＋982﹣972＋962﹣952＋…＋22﹣12＝___．
8. 因式分解：
（1）22x y -+=___________；（2）222x xy y -+=___________；
（3）24a a -=___________；（4）265m m -+=___________．
9. 分解因式：
（1）21536++=m m ________；（2）21960++=a a ________；
（3）22616--=x xy y ________；（4）22952--=a ab b ________；
（5）221660++=a b ab ________；（6）22496--=x xy y ________；
（7）251124
--=x x ________；（8）4223+-=x x ________；（9）4231-+=x x ________．
10. 分解因式
（1）21b -+
（2）3269x x x -+ （3）229()16()x y x y +--（4）2()4()a x y y x -+-
（5）432235x x x -- （6）22144a b ab
--+ 11. 分解因式：
（1）x 2﹣y 2﹣x ﹣y
（2）45am 2﹣20ax 2＋20axy ﹣5ay 2
（3）4a 2＋4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab ＋1
12. 观察下列分解因式的过程：x 2＋2xy －3y 2
解：原式＝x 2＋2xy ＋y 2－y 2－3y 2
＝(x 2＋2xy ＋y 2)－4y 2
＝(x ＋y )2－(2y )2
＝(x ＋y ＋2y )(x ＋y －2y )
＝(x ＋3y )(x －y )
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
（1）请你运用上述配方法分解因式：x 2＋4xy －5y 2
（2）代数式x2＋2x＋y2－6y＋15是否存在最小值？如果存在，请求出当x、y分别是多少时，此代数式存在
最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由．
（3）求-x2 -8x+15的最大值，并写出相应的x的值．
13.（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方
法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．
例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．
（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．
（3）若a、b、c分别是V ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断V ABC的形状，并说明理由．
（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．
14.“换元法”是数学的重要方法，它可以使一些复杂的问题变为简单．
例如：分解因式（x2+2x﹣2）（x2+2x）﹣3
解：（x2+2x﹣2）（x2+2x）﹣3
＝（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3
＝（x2+2x﹣3）（x2+2x+1）
＝（x+3）（x﹣1）（x+1）2
这里就是把x2+2x当成一个量，那么式子（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3看成一个关于x2+2x的二次三项式，就容易分解．
（1）请模仿上面方法分解因式：x（x﹣4）（x﹣2）2﹣45
（2）在（1）中，若当x2﹣4x﹣6＝0时，求上式的值．。