函数的奇偶性 (2)

函数的奇偶性 知识点回顾：
1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数；
2.奇偶函数的性质：
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； （2）()f x 是偶函数()f x ⇔的图象关于y 轴对称； ()f x 是奇函数()f x ⇔的图象关于原点对称；
（3）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. 3.()f x 为偶函数()()()f x f x f x ⇔=-=. 4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则()00f =.
5.若函数()f x 的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和
()()()()()22
f x f x f x f x f x +---=
+
主要方法：
1.判断函数的奇偶性的方法：
（1）定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称，若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； （2）图象法；
（3）性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是1D ，2D ，那么在它们的公共定义域12D D D =I 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；②复合函数奇偶性判断：一偶则偶.
2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，
()
()1f x f x =±-. 知识点1：判断函数的奇偶性 例1.判断下列各函数的奇偶性：
（1）()(1f x x =- （2）()()
2
2lg 122x f x x -=--；
（3）())
2log 1f x = （4）()()()22
00x x
x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩
变式1：已知函数()f x 是定义在(),-+∞∞上的偶函数，当(),0x ∈-∞时，()4
f x x x =-，则当
()0,x ∈+∞时，()f x =_______.
变式2：已知函数()f x ，当0x <时，()2
21f x x x =+-
①若()f x 为R 上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由. ②若()f x 为R 上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由.
知识点2：抽象函数的奇偶性
例2.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1x ，2x ∈R ，有()()()12121f x x f x f x +=++，判断()1f x +奇偶性？ 变式：定义在实数集上的函数()f x ，对任意x ，y ∈R ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅且()00f ≠ ①求证：()01f =
②求证：()y f x =是偶函数
知识点3：奇偶函数性质的应用
例3.函数()21log 1x f x x x -=-++，求11112015201420142015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-+-++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
的值； 实战训练：
1.函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()2f a f ≤
，则实数a 的取值范围是
（）
A.2a ≤
B.2a -≥
C.22a -≤≤
D.2a -≤或2a ≥
2.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（） A.{}10x x -<< B.{}
012x x x <<<或 C.{}02x x << D.{}12x x <<
3.函数()y f x =和函数()y g x =的图象如下图所示，则()()y f x g x =⋅的图象可能是（）
A B C D
4.设偶函数()log a f x x b =+在()0,+∞上单调递减，则()2f b -与()1f a +的大小关系是（） A.()()21f b f a -=+ B.()()21f b f a ->+ C.()()21f b f a -<+ D.不能确定
5.设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（） A.()()f x f x -是奇函数 B.()()f x f x -是奇函数 C.()()f x f x --是偶函数 D.()()f x f x +-是偶函数
6.设()2lg 1f x a x ⎛⎫
=+ ⎪-⎝⎭
是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（） A.()1,0- B.()0,1 C.(),0-∞ D.()(),01,-+U ∞∞
7.定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的α，β，总有()()()2011f f f αβαβ+-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）
A.()1f x -是奇函数
B.()1f x +是偶函数
C.()2011f x -是偶函数
D.()2011f x +是奇函数 8.若()f x 对一切实数x 都有3122f x f x ⎛
⎫⎛⎫
+=
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，且()14f -=，则()3f =_____. 9.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞
上为减函数，若()21f f a >-，求实
数a 的取值范围.
10.设函数()()0,11
x
x a f x a a a =>≠+，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则函数
()()1122f x f x ⎡⎤⎡⎤-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
的值域是. 11.给出定义：若11
22
m x m -<+≤（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =，
在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题： ①函数()y f x =的定义域是R ，值域是10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦；
②函数()y f x =的图像关于直线()2
k
x k =∈Z 对称；
y = f x ()
=g x ()
y
③函数()y f x =是周期函数，最小正周期是1； ④函数()y f x =在11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数.
则其中所有真命题的序号是_______.。