江苏省南通市第一中学数列多选题试题含答案

江苏省南通市第一中学数列多选题试题含答案
一、数列多选题
1．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第(
)*
n n ∈N
次得到数列1，
123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++
++，数列{}n a 的前n 项为n S ，
则（ ） A ．12n k += B ．133n n a a +=- C ．()2
332
n a n n =
+
D ．()1
33234
n n S n +=
+- 【答案】ABD 【分析】
根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】
由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k = 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k = 第n 次得到数列1，123,
,,,k x x x x ，2 此时21n k =-
所以12n k +=，故A 项正确；
结合A 项中列出的数列可得： 12
3433339339273392781
a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩
123333(*)n n a n N ⇒=+++
+∈
用等比数列求和可得(
)33132
n n a -=+
则 (
)12
1
331
3
3332
2
n n n a
+++--=+
=+2
3
3
22
n +=+ 又 (
)331
333339
2n n a ⎡⎤
-⎢⎥-=+
-=⎢⎥⎣
⎦
22393332222
n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确；
由B 项分析可知(
)()
3313
3312
2
n n
n a -=+=+
即()
2
332
n a n n ≠
+，故C 项错误. 123n n S a a a a =++++
23
1
333322
22n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()
23133132
2
n
n --=
+ 2339424n n +=+-()
133234n n +=+-，故D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝
，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2
920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】AB 【分析】
利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到
12n n
a ，进而得到n
b ；利用1
0n
n
b b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的
取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】
当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=
21n n S a ∴=-
当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-
1
122n n n
n n a S S a a ，即：12n n a a -=
∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
12n n
a
2
920n n a b n n =-+-，21
920
2
n n n n b --+-∴= ()()2
2211191209201128
0222
n n n n n
n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=<
20n >，()()2
1128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<
又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．
3．设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是
（ ）
A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B ．若2
n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列
C ．若()11n
n S =--，则{}n a 是等比数列
D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
【答案】BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，
12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;
选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈是等差数
列，故对; 故选：BCD 【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.
4．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（ ） A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.
B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =
C ．若1
2
n
n S =3+
，则数列{}n a 是等比数列 D ．若11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215
a ＝ 【答案】AB 【分析】
直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】
选项A. 由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+ 则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-+
+-+
20191822211=+++
++=
故A 正确.
选项B. 由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，
所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.
则1123n n a -+=⨯，即1
231n n a -=⨯-，所以672311457a =⨯-=，故B 正确.
选项C. 由12n
n S =3+
，可得当1n =时，11722
a =+=3 当2n =时，得2211193622a S S ⎛
⎫⎛⎫=-=+
-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫
=-=+
-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 显然2
213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误. 选项D. 由122n
n n a a a +=
+，可得
11112
n n a a +-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，1
2为公差的等差数列.
所以()1111122n n n a +=+-=，则1511826
a ==，即1518
a =，故D 错误. 故选：AB 【点睛】
关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得
()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+，利用构造新数列
()1311n n a a +=++，1111
2
n n a a +-=解决问题，属于中档题.
5．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*131
2ln
n n n n b a b n N n
++=++∈，110a b +>，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．数列{}n n a b -单调递增
B ．数列{}n n a b +单调递增
C ．数列{}n a 单调递增
D ．数列{}n b 从某项以后单调递增
【答案】BCD 【分析】
计算221122ln 2a b a b a b -=--<-，知A 错误；依题意两式相加{}ln +-n n a b n 是等比数列，得到()1
113
ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，知B 正确；结合已知条件，计算
10n n a a +->，即得C 正确；先计算()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-，再结合
指数函数、对数函数增长特征知D 正确. 【详解】
由题可知，12n n n a a b +=+①，131
2ln
n n n n b a b n
++=++②，①-②得，1131
ln
n n n n n a b a b n
+++-=--，当1n =时，2211ln 2a b a b -=--，∴2211-<-a b a b ，故A 错误．
①+②得，()113ln(1)3ln n n n n a b a b n n +++=+++-，
()11ln(1)3ln n n n n a b n a b n +++-+=+-，∴{}ln +-n n a b n 是以11a b +为首项，3为公比
的等比数列，∴()1
11ln 3
-+-=+⋅n n n a b n a b ，∴()1
113
ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，③又
110a b +>，∴B 正确．将③代入①得，
()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+，∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>，
故C 正确．
将③代入②得，()()1
11133
11ln 3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n -+++=+++=++⋅++，∴()1
1113
ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-．由110a b +>，结合指数函数与对数函数
的增长速度知，从某个()*
n n N
∈起，()1
1
1
3
ln 0n a b n -+⋅->，又ln(1)ln 0n n +->，
∴10n n b b +->，即{}n b 从某项起单调递增，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
判定数列单调性的方法：
（1）定义法：对任意n *∈N ，1n n a a +>，则{}n a 是递增数列，1n n a a +<，则{}n a 是递减数列；
（2）借助函数单调性：利用()n a f n =，研究函数单调性，得到数列单调性.
6．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ） A ．0d > B ．80a =
C ．7S 或8S 为n S 的最大值
D ．56S S >
【答案】BC 【分析】
根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确. 【详解】
由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=，
830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确；
由8170a a d =+=，得1
7
a d =-
，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列，
(
)()
0,70,9
n n a n N n a n N n **
⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误.
故选：BC ． 【点睛】
关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a >
B ．数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是递增数列
C ．0n S <时，n 的最小值为13
D ．数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为第7项
【答案】ACD 【分析】
由已知得()
()612112712+12+2
2
0a a a a S ==
>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知
得出24
37
d -
<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又
()1112+3n a n d =-，可得出1n
a 在1,6n n N
上单调递增，1
n
a 在
7n n
N ，
上单调递增，可判断B ；由
()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】
由已知得311+212,122d a a a d ===-，()
()612112712+12+2
2
0a a a a S =
=
>，又
70a <，所以6>0a ，故A 正确；
由716167
1+612+40
+512+3>0+2+1124+7>0
a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪
==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，
当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()11
12+3n a n d =-，所以[]1,6n ∈时，1>0n
a ，7n ≥时，1
0n a <，
所以1
n
a 在1,6n
n N
上单调递增，1
n
a 在7n
n N
，上单调递增，所
以数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
不是递增数列，故B 不正确；
由于()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；
当[]
1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]
1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，
0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，
0n
n
S a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】
本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.
8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．24
37
d -
<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
中最小项为第7项 【答案】ABCD 【分析】
S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得24
7
-
＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断
出D 是否正确． 【详解】 ∵S 12＞0，a 7＜0，∴
()
67122
a a +＞0，a 1+6d ＜0．
∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴24
7
-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝
()
113132
a a +＝13a 7＜0．
∴S n ＜0时，n 的最小值为13．
数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．
对于：7≤n ≤12时，n
n
S a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，
但是随着n 的增大而减小，可得：
n
n
S a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，n
n
S a 取得最小值．
综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、平面向量多选题
9．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ）
A B C D 【答案】ABC 【分析】
先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线
(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出13
77
OM OA OB =+，设
OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出
13177x y λμ+=
+=，然后将λμ+与13
77λμ
+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】
先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线
(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.
充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即
()
OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，
因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立； 必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，
所以，()1OM xOE x OF =+-，即()
OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =， 所以，E 、F 、M 三点共线.
本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：
D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且1
2
DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即6
7
AC AN =，
//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴
==，6
7
AM AD ∴=， 1
2
AD OD OA OB OA =-=-，
6611
37727
7OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+
=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.
OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，
所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得173
7x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，由1x y +=可得
13177λμ+=， 由基本不等式可得
()1313134247777μλ
μλλμλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
437+=. 当且仅当3μλ=
时，等号成立.
所以，λμ+423
+ABC 选项均不满足423λμ++≥
. 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：
（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线
(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出
13
177λμ
+=；
（2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.
10．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A ．已知A 、
B 、
C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=
D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ<
【答案】AC
【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．
【详解】
解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；
由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；
设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；
()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()
(),44,1λ∈-∞--，故D 错误； 故选：AC ．
【点睛】
本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．。