山东省济宁市鱼台一中2013-2014学年高二数学下学期期中试题 理

鱼台一中2013—2014学年高二下学期期中检测
数学〔理〕
一、选择题〔每一小题5分，共计60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
复平面内，复数2
)2(i -对应点位于〔 〕
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.假设直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，如此a 的值为〔 〕
A.3-
B.6-
C.23-
D.32
3.以椭圆22
142x y +=的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 〔 〕 A.22122x y -= B.22142x y -= C.2214x y -= D.2212x y -=
4.圆22:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，
如此入射光线的斜率为〔 〕
A.43-
B.23-
C.43
D.2
3 5.点)3,1(和)4,3(-在直线032=+-a y x l ：
的两侧，如此a 的取值范围是〔 〕 A.),7(]18,(+∞--∞ B.)7,18(- C.}7,18{- D.不确定
Z 是复数Z 的共轭复数，假设Z ×Z i ＋2=2Z ，如此Z=〔 〕
A. i +1
B. i -1
C. i +-1
D. i --1 函数
()x x x f ln 22-=的递增区间是〔 〕
A. )21,0(
B. ),21(),21,0(+∞
C. ),21
(+∞ D.
)21,0(),21,(-∞
8. 设函数
)(x f 在
R 上可导，其导函数为
)(x f '且函数)()1(x f x y '-=的图像如下列
图，如此如下结论一定成立的是〔 〕 A. 函数)(x f 的极大值是)2(f ，极小值是)1(f B. 函数)(x f 的极大值是)2(-f ，极小值是)1(f C. 函数)(x f 的极大值是)2(f ，极小值是)2(-f D. 函数)(x f 的极大值是)2(-f ，极小值是)2(f
9. 假设函数
1)(23+-=ax x x f 在)2,0(上单调递减，如此实数a 的取值范围为〔 〕
A. 3≥a
B. 3=a
C. 3≤a
D. 30
＜a＜ 10. 假设函数c bx ax x x f +++=23)(有极值点21,x x ，且11)(x x f =，假设关于x 的
方程
[]0)(2)(32
=++b x af x f 的不同实数根的个数是〔 〕
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
11．过平面区域
20
2020x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
内一点P 作圆22
:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，
记APB α∠=，如此当α最小时cos α的值为( )
A. B.1920 C.910 D.1
2
12.椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，假设椭圆C 上恰好有6个不
同的点P ，使得
12F F P
∆为等腰三角形，如此椭圆C 的离心率取值范围是〔 〕
A.12(,)33
B.1(,1)2
C.2(,1)3
D.111
(,)(,1)
32
2 二、填空题〔本大题共4小题，每一小题5分，总分为20分，把答案填写在答题卡相应的位置〕
13.正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：
13r h
=，把这个结论推广到空间正四面体，如此正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 .
14.函数()cos ,0
1,0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩,如此()2
2d f x x π
-⎰的值等于 .
15.
二项式
6
的展开式的常数项是_________. 16.数列
{}12132143211121231234
n a 为：，，，，，，，，，，，
依它的前10项的规律，如此
50a =
_.
三、解答题〔本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17. 〔本小题总分为10分〕
复数
2
(1)(23)z m m m m i =-++-〔m R ∈〕 ⑴假设z 是实数，求m 的值； ⑵假设z 是纯虚数，求m 的值；
⑶假设在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围。

18．〔本小题总分为12分〕
函数f(x)＝ax2＋bln x 在x ＝1处有极值1
2.
(1)求a ，b 的值；
(2)判断函数y ＝f(x)的单调性并求出单调区间．
19．〔本小题总分为12分〕
动圆222
:()(2)C x m y m m -+-=(0m ≠)
〔1〕当2m =时，求经过原点且与圆C 相切的直线l 的方程；
〔2〕假设圆C 恰在圆
22
:(3)16E x y -+=的内部，求实数m 的取值范围.
20．〔本小题总分为12分〕
椭
过
离心
直线l 与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，向量m ),(11by ax =，n ),(22by ax =，且m n ⊥．
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕当直线l 过椭圆的焦点(0,)F c 〔c 为半焦距〕时，求直线l 的斜率k .
21．〔本小题总分为12分〕
函数
x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．
〔1〕当2a =时，求函数)(x f 的单调区间；
〔2〕假设函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，
求实数b 的取值范围；
〔3〕当
1->>e y x 时，求证：
)1ln()1ln(++>
-y x e
y
x ．
22. 〔本小题总分为12分〕
椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为36，F 为椭圆在x 轴正半轴上的焦点，M 、
N 两点在椭圆C 上，且)0(>=λλFN MF ，定点(4,0)A -.
〔1〕求证：当1=λ时AF MN ⊥；
〔2〕假设当1=λ时有
3106
=
⋅AN AM ，求椭圆C 的方程；
〔3〕在〔II 〕的椭圆中，当M 、N 两点在椭圆C 上运动时，试判断
MAN AN AM ∠⨯⋅tan 是否有最大值，假设存在，求
出最大值，并求出这时M 、N 两点所在直线方程，假设不存在，给出理由.
参考答案:
1-5 DBACB 6-10 ACDAA 11-12 CD
13.1
4r h =
14. 3
15. -20
16.56
17．⑴z 为实数⇔2
230m m +-=，解得：3m =-或1m =；
⑵z 为纯虚数⇔2
(1)0230m m m m -=⎧⎨+-≠⎩
，解得：0m =；
⑶z 所对应的点在第四象限⇔2
(1)0230m m m m ->⎧⎨+-<⎩
，解得：30m -<<．
18． (1)f′(x)＝2ax ＋b
x .
又f(x)在x ＝1处有极值1
2.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
f 1＝12，f′1＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
2a ＋b ＝0.
解之得a ＝1
2
且b ＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝1
2x2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，
且f′(x)＝x －1x ＝x ＋1x －1
x .
由f′(x)<0，得0<x<1； 由f′(x)>0，得x>1.
所以函数y ＝f(x)的单调减区间是(0,1)． 单调增区间是(1，＋∞)．
19.〔1〕
22
:(2)(4)4C x y -+-= 当直线l 的斜率不存在时，l 方程为0x =,〔3分〕
当直线l 的斜率存在时,设l 方程为y kx =
，由题意得
3
2,4d k =
=∴=
所以l 方程为
34y x
=
〔6分〕
〔2〕(,2),(3,0)C m m E ,由题意得4||||m CE ->，
得4||m ->9分〕
当04m <<
时，解得
1
04m <<
，
当40m -<<
时，解得0m <<
20.〔1∴2,1a b ==
5分〕
〔2〕依题意，设l 的方程为 由
显然0∆>,〔8分〕
由=⋅n m 0得：
12分〕
21. 〔1〕
/121
()2x f x x x -=-
=
()0f x '<得0<x<12,()0f x '>得x>1
2 ∴)(x f 在1(0,)2上递减，在1(,)2+∞上递增.
〔2〕∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ，
∴b x x
x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(，
令
x x
x x g ln 11)(-+
=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)
+∞,2e 上递增，
∴
22min 11)()(e e g x g -
==，即
21
1b e ≤-
．
〔3〕证明：
)1ln()1ln()1ln()1ln(+>+⇔++>-y e x e y x e
y x y
x ，
令
)1ln()(+=
x e x g x
，如此只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增， 又∵)1(ln 11)1ln()(2
+⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-
+='x x x e x g x ，
显然函数
11
)1ln()(+-
+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增．
∴
11)(>-
>e x h ，即0)(>'x g ，
∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即
)1ln()1ln(+>
+y e x e y
x ， ∴当1->>e y x 时，有
)1ln()
1ln(++>
-y x e y x ．
22.〔1〕设)0,(),,(),,(2211c F y x N y x M ，如此1122(,),(,)FM c x y NF x c y =--=-，
当1=λ时，c x x y y FN MF 2,,2121=+=-∴=，
由M ，N 两点在椭圆上，2
2
2122
22222212
2
1
),1(),1(x x b y a x b y a x =∴-=-=∴
假设21x x -=，如此c x x 2021≠=+舍，21x x =∴
.),0,4(),2,0(2AF MN c AF y MN ⊥∴+==∴
〔2〕当1=λ时，不妨设
2
42
22)4(),,(),,(a b c AN AM a b c N a b c M -+=⋅∴- 又
3106
16865,2,2322222
=
++∴==c c c b c a ， 2=∴c ，椭圆C 的方程为.
1262
2=+y x
〔3〕
||||2tan N M AMN y y AF S MAN AN AM -==∠⨯⋅∆，
设直线MN 的方程为)0(),2(≠-=k x k y
联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126)
2(2
2y x x k y ，得
024)31(222=-++k ky y k ， 22
4312424||k k k y y N M ++=
-∴
记
2
2
2
431,312424k s k k k t +=++=
， 如此
2
2211362)
31
()31(
24s s s s s t -+⋅=-+-⋅=
3≤∴t ，当4=s ，即1±=k 时取等号 ．
并且，当k=0时0tan =∠⨯⋅MAN AN AM ，
当k 不存在时
336
2||<=
-N M y y
综上MAN AN AM ∠⨯⋅tan 有最大值，最大值为36 此时，直线的MN 方程为02=--y x ，或02=-+y x。