平行线与相交线之练习题解平行线和相交线问题

平行线与相交线之练习题解平行线和相交线
问题
平行线与相交线问题是几何学中常见的一类问题。

通过解决这些问题，我们可以深入理解平行线和相交线之间的关系，掌握解题技巧。

本文将提供一些练习题，并逐一解答，帮助读者更好地理解和应用相
关知识。

1. 题目一：
已知平行线l₁与l₂，l₃是l₁的一条平行线。

l₄是l₂的一条平行线。

如果l₃⊥l₄，那么l₁⊥l₂吗？
解答：
根据题意，我们可以得到以下信息：
- l₁和l₂是平行线；
- l₃与l₁平行；
- l₄与l₂平行；
- l₃⊥l₄。

由此可知，l₁与l₂是垂直的。

因为l₃是l₁的一条平行线，所以l₁
与l₃也是垂直的。

同理，l₂与l₄也是垂直的。

根据垂直线的性质，我
们可以得出结论：l₁⊥l₂。

2. 题目二：
已知平行线l₁与l₂，AB是l₁上的一条直线，且与l₂相交于点C。

如果AB⊥l₂，在l₁上取一点D，使得CD⊥l₁，求证AD⊥BC。

解答：
根据题意，我们可以得到以下信息：
- l₁和l₂是平行线；
- AB是l₁上的一条直线；
- AB与l₂相交于点C；
- AB⊥l₂；
- CD⊥l₁，并在l₁上。

我们要证明AD⊥BC。

假设AD不垂直于BC，则存在一点E，使
得AE⊥BC，并与BC相交于点F。

由于BC与AB平行，且AE⊥BC，所以AE也垂直于AB。

考虑△ACD和△FCE，根据两个三角形的共同边CD、CE以及垂直边AD和AE，我们可以得出△ACD≌△FCE（根据直角三角形的性质）。

根据三角形的性质可知，△ACD和△FCE的底边CF相等。

所以
AC=FC。

又因为AB是l₁上的一条直线，所以AB与l₁平行。

当AB与l₁
平行时，根据平行线的性质可知△ACD和△FCE的顶角∠ACD和
∠FCE相等。

由于△ACD与△FCE的底边和顶角相等，根据三角形的相似性可知，这两个三角形全等。

根据全等三角形的性质，我们可以得出AD=CF，同时
∠DAC=∠FCE。

因为AD=CF，所以AD=FC，即AD=BC。

根据垂直线的性质，我们得到结论：AD⊥BC。

综上所述，我们证明了AD⊥BC。

3. 题目三：
已知平行线l₁与l₂，l₃是l₁的一条平行线，且与l₂相交于点A。

又已知l₄⊥l₃，BD⊥AC，BD与l₄相交于点D。

求证AD⊥BC。

解答：
根据题意，我们可以得到以下信息：
- l₁和l₂是平行线；
- l₃是l₁的一条平行线，与l₂相交于点A；
- l₄和l₃垂直；
- BD⊥AC；
- BD与l₄相交于点D。

我们要证明AD⊥BC。

假设AD不垂直于BC，则存在一点E，使
得AE⊥BC，并与BC相交于点F。

由于BC与AD平行，且AE⊥BC，所以AE也垂直于AD。

考虑四边形ABCD，根据四边形的性质，我们可以得到两组相等的内角和：∠A+∠B+∠C+∠D=360°，以及
∠A+∠B+∠D+∠E+∠F=360°。

将这两个等式相减得到∠C=∠E+∠F。

根据∠C=∠E+∠F，我们可以得到
∠C+∠E+∠F=∠E+∠F+∠E+∠F，即∠C+∠E+∠F=2∠E+2∠F。

由于∠A+∠B+∠D+∠E+∠F=360°，所以∠E+∠F=360°-∠A-∠B-∠D。

将上述结果代入∠C+∠E+∠F=2∠E+2∠F中得到
∠C+∠E+∠F=2(360°-∠A-∠B-∠D)，即∠C+∠E+∠F=720°-2∠A-
2∠B-2∠D。

考虑△ABC和△EDF，根据两个三角形的共同边AB、ED以及垂直边BD和DF，我们可以得出△ABC≌△EDF（根据直角三角形的性质）。

根据三角形的性质可知，△ABC和△EDF的顶角∠C和∠F相等。

由于△ABC与△EDF的底边和顶角相等，根据三角形的相似性可知，这两个三角形全等。

根据全等三角形的性质，我们可以得出AC=DE，同时
∠BAC=∠EDF。

因为BD⊥AC，所以AC=DE，即AC=BD。

根据垂直线的性质，我们得到结论：AD⊥BC。

综上所述，我们证明了AD⊥BC。

通过以上练习题的解答，我们可以更加深入地理解平行线与相交线之间的关系，并掌握解题的思路和方法。

在实际应用中，我们可以运用这些知识解决更加复杂的几何问题，提高解题的准确性和效率。