高中学科数学第四章微积分基本定理测试卷

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第4章 §2 微积分基本定理
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2
，则正实数a 为( )
A.4
9 B.5
9 C.4
3
D.53
2．若⎠⎜⎛
1
2
(2ax ＋a ＋1)d x ＝5，则a ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3及x 轴所围成的曲边四边形的面积为( )
A.116
B.92
C.1
2
＋ln3 D ．4－ln3
4．函数F (x )＝⎠⎜⎛
x cos t d t 的导数是( )
A ．f ′(x )＝cos x
B ．f ′(x )＝sin x
C ．f ′(x )＝－cos x
D ．f ′(x )＝－sin x 5．若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，
则积分⎠⎜⎛－a
a
(x 3
＋sin x －5)d x 的值为( ) A ．6＋2sin 2 B ．－6－2cos 2 C ．20
D ．－20
6．⎠⎜⎛03π⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫1－2sin 2θ2d θ的值为( )
A ．－32
B ．－1
2
C ．1
2
D ．32
二、填空题
7．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤
f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎜⎛
1
f (x )d x ，产生
两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和
y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )，
再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么
由随机模拟方法可得积分⎠⎜⎛
1
f (x )d x 的近似值为
N 1
N
=____________.
8．已知
f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎜⎛
－11f (x )d x ＝2f (a )成立，
则a ＝____________
三、解答题
9．计算下列定积分：
(1)⎠⎜⎛0
2(4－2x )(4－x 2)d x; (2)⎠
⎜⎛1
2x 2＋2x －3x d x . 10．已知f (x )＝(kx ＋b )e x
且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝e(x －1)．
(1)求k 与b 的值；
(2)求⎠⎜⎛
1
x ·e x
d x .
B 级 素养提升
一、选择题 1．若
S 1＝⎠⎜⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎜⎛121
x d x ，S 3＝⎠⎜
⎛1
2e x
d x ，则S 1，S 2，S 3
的大小关系为( )
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 2<S 1<S 3
C ．S 2<S 3<S 1
D ．S 3<S 2<S 1
2．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈[a ，
b ]，使得f (x 0)＝
⎠⎜⎛a
b f (x )d x b －a
成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，
b ]上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]
上“平均值点”的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
3． (x ＋cos x )d x ＝_______
4.由曲线y ＝x 2
和直线x ＝0，x ＝1，y ＝
t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面
积的最小值为__________
三、解答题
5．已知f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′
(0)＝0，⎠⎜⎛
1
f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．
6.设f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2.
(1)求y ＝f (x )的表达式；
(2)若直线x ＝－t (0<t <1)把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．。