湘教版高考数学必修4同步教案备课 9.2 等差数列(3)

9.2 等差数列(三)
[学习目标] 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.了解公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．
[知识链接]
1．设梯形的上底、下底、高分别为a ，b ，h ，把两个相同的梯形拼成平行四边形，则梯形的面积为________． 答案
(a ＋b )h
2
2．二次函数y ＝2x 2－4x －3，当x ＝________时，有最________值为________． 答案 1 小 －5
解析 函数y ＝2x 2－4x －3，∵a ＝2>0, ∴x ＝－b 2a ＝－－4
2×2
＝1时，
y min ＝4ac －b 24a ＝4×2×(－3)－16
4×2
＝－5.
3．把二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋3化成y ＝a(x ＋h)2＋k 的形式是____________，当x ＝________时，y 有最大值________．
答案 y ＝－2(x －1)2＋5 1 5
解析 y ＝－2x 2＋4x ＋3＝－2(x 2－2x)＋3 ＝－2(x －1)2＋5. ∴x ＝1时，y 有最大值5. [预习导引]
1．数列前n 项和的概念
把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记作S n . a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1n －1≥2)． 2．等差数列前n 项和公式
(1)若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n (a 1＋a n )
2
；
(2)若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋1
2n(n －1)d.
3．等差数列前n 项和的性质
(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2.
(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d.
(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1
T 2n －1
.
要点一 与等差数列Sn 有关的基本量的计算 例1 在等差数列{a n }中．
(1)a 1＝56，a n ＝－3
2，S n ＝－5，求n 和d.
(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d.
(3)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n.
解 (1)由题意，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
56－322
＝－5＝172，
解得n ＝15.
又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－1
6
.
(2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)
2＝172，解得a 8＝39，
又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.
(3)由⎩⎨⎧
a n
＝a 1＋(n －1)d ，
S n
＝na 1
＋n (n －1)
2d ，
得⎩⎨⎧
a 1＋2(n －1)＝11，na 1
＋n (n －1)
2×2＝35，
解方程组得⎩⎨⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎨⎧
n ＝7，
a 1
＝－1.
规律方法 a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，
a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．
跟踪演练1 等差数列{a n }中，前m 项的和为77(m 为奇数)，其中偶数项的和为33，且a 1－a m ＝18，求这个数列的通项公式．
解 设公差等于d ，由题意可得偶数项共有m －1
2项．
则ma 1＋m (m －1)
2
d ＝77，
m －1
2·(a 1＋d)＋m －12×m －3
22×2d ＝33， a 1－a m ＝－(m －1)d ＝18，
解得m ＝7，d ＝－3，a 1＝20，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝20－3n ＋3＝－3n ＋23. 要点二 等差数列前n 项和公式在实际中的应用
例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元的后一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？ 解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则 a 1＝50＋1000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)， …
a 10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元．
由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1105(元)，
即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．
规律方法 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数． 跟踪演练2 甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开
始运动几分钟后第二次相遇？
解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意， 有2n ＋n (n －1)
2
＋5n ＝70，
整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意， 有2n ＋n (n －1)
2
＋5n ＝3×70，
整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟． 要点三 等差数列前n 项和性质的应用
例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项和S 3m . (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5
b 5的值．
解 (1)方法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.
方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m
3m 成等差数列，
∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m 3m .即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. (2)a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512
. 规律方法 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
跟踪演练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫S n n 的前n 项和，
求T n .
解 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋1
2
n(n －1)d ，
∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎨⎧
7a 1＋21d ＝7，
15a 1＋105d ＝75，
即⎩⎨⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩
⎨⎧
a 1＝－2，d ＝1，
∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋1
2(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12
， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，
∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－9
4
n.
1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12B ．24C ．36D ．48 答案 B
解析 由S 10＝10(a 1＋a 10)
2，
得a 1＋a 10＝S 105＝120
5
＝24.
2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2B ．3C ．6D ．7 答案 B
解析 方法一 由⎩⎨⎧
S 2＝2a 1＋d ＝4，
S 4＝4a 1
＋6d ＝20解得d ＝3.
方法二 由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 3．等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100
b 100等于( )
A ．1B.23C.199299D.200
301
答案 C
解析 由题意，得a 100b 100＝2a 1002b 100＝a 1＋a 199b 1＋b 199＝S 199T 199＝2×1993×199＋1＝199
299.故选C.
4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6
S 12＝________.
答案 3
10
解析 由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d 且d ≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝3
10.
5．已知等差数列{a n }中，
(1)a 1＝32，d ＝－1
2，S n ＝－15，求n 及a 12；
(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1022，求d. 解 (1)∵S n ＝n·32＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－15，
整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝－4.
(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1022，解之得n ＝4.
又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ， 解之得d ＝－171.
1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p 的应用．
一、基础达标
1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A ．18B ．27C ．36D ．45
答案 C
解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝9
2
(a 2＋a 8)＝36.
2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1
d 等于( )
A.12B ．2C.1
4D ．4 答案 A
解析 由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋1
2×5×4d)，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，
∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝1
2
.
3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 2
8＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )
A ．－9
B ．－11
C ．－13
D ．－15 答案 D
解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，
∴a 3＋a 8＝－3，
∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2
＝－15.
4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63B ．45C ．36D ．27 答案 B
解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765B ．665C ．763D ．663 答案 B
解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，
∴n<15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋1
2
×14×13×7＝665.
6．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________．
答案 n ＋1n
解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )
2，
∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1
n
.
7．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2550，求a 及k. 解 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋3a ＝2×4，
d ＝4－a ，
ka ＋k (k －1)2d ＝2550，
∴⎩⎨⎧
a ＝2，
d ＝2，k ＝50.
(注：k ＝－51舍)
∴a ＝2，k ＝50. 二、能力提升
8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2
m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9 答案 C
解析 因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38
知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.
9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9B ．10C ．19D ．29 答案 B
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． ∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.
当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
10．设f(x)＝1
2x ＋2.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…
＋f(5)＋f(6)的值为________． 答案 3 2
解析 ∵f(x)＝12x ＋2，∴f(1－x)＝121－x ＋2＝
2x
2＋2x 2＝2x
2(2x ＋2)
.∴f(x)＋f(1－x)＝2
2，
∴f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝6×
2
2
＝3 2. 11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 解 设等差数列的公差为d ，则
S 3＝3a 1＋3×2
2d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，
S 6＝6a 1＋6×5
2
d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.
由⎩⎨⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩
⎨⎧
a 1＝－1，d ＝2.
故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.
12．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2 d.
由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧
10a 1＋10×9
2d ＝100，
100a 1
＋100×99
2d ＝10，
①②
①×10－②，整理得d ＝－11
50，
代入①，得a 1＝1099
100.
∴S 110＝110a 1＋110×109
2 d
＝110×1099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150
＝110⎝
⎛⎭
⎪⎫
1099－109×11100＝－110.
故此数列的前110项之和为－110.
方法二 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100为等差数列，设公差为d ′，则
10S 10＋10×92×d ′＝S 100＝10，
又∵S 10＝100，代入上式得d ′＝－22，
∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)×d ′＝100＋10×(－22)＝－120， ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.
方法三 设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn. ∵S 10＝100，S 100＝10，
∴⎩⎨⎧
102
a ＋10
b ＝100，1002
a ＋100
b ＝10，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－11
100，b ＝11110，
∴S n ＝－11100n 2＋111
10
n ，
∴S 110＝－11100×1102＋111
10×110＝－110.
三、探究与创新
13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n
n ＋c ，求非零常数c.
解 (1){a n }为等差数列，∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22， 又a 3·a 4＝117，
∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根， 又公差d>0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.
∴⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎨⎧
a 1＝1，d ＝4，
∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，
∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n
n ＋c
，
∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝15
3＋c
，
∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，
∴c ＝－12
(c ＝0舍去)．。