广东省湛江一中高二数学上学期期末考试 文 新人教A版

广东省湛江一中2011-2012学年高二上学期期末考试（数学文）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线2
x y -=的焦点坐标为（ ）
A ．（0，41-
） B. （0，41） C ．（41-
，0） D ．（41
，0）
2．设()ln f x x x =，若
0'()2f x =，则0x =（ ） A. 2
e B. e C. ln 2
2
D. ln 2
3．曲线
13
-=x y 在1=x 处的切线方程为（ ） A. 1=x B. 1=y C. 33-=x y D. 22-=x y
4．已知命题甲：(,),()0'∀∈-∞+∞<x f x ，命题乙：函数)(x f 在(,)-∞+∞上是减函数，
则甲是乙的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件 5．函数()(3)x
f x x e =-的单调递增区间是（ ） A ．
(),2-∞ B ．（0，3） C ．（1，4） D ．
()2,+∞
6．已知椭圆的焦点为)0,2(),0,1()0,1(P 点和-在椭圆上,则椭圆的方程为（ ）
134.22=+y x A 14.2
2=+y x B 134.22=+x y C 14.22=+x y D
7．函数3
()2f x x ax =+-在区间[1,)+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）．
A ．[3,)+∞
B ．[3,)-+∞
C ．(3,)-+∞
D ．(,3)-∞-
8．椭圆22
135x y a a +=--上的一个焦点坐标为（1,0），则a 点值为( ) A ．5 B ．92 C ． 4 D ．7
2
9. 已知直线2-=kx y 与抛物线
x y 82
=交于不同两点B A ,,若线段AB 中点的纵坐标为2,则k 等于（ ）
.1.-A .12.-或B .2.C
.21.
D
10. 已知函数()ln f x ax x =-，若()1f x >在区间(1,)+∞内恒成立，则实数a 的取值范围
是 ( )． ),1[.);
,1(.];1,(.).
1,(.+∞+∞-∞-∞D C B A
二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，满分20分．
11．函数
4431)(3
+-=
x x x f 在]3,0[∈x 上的最小值是 .
12．与双曲线
4422=-y x 有共同的渐近线，且过点(2,)5的双曲线的标准方程为＿＿ 13. 已知函数
()()0≠++
=x b x a
x x f ，其中R b a ∈,.在点()()2,2f P 处的切线方程为
13+=x y ，则函数a= ，b= .
14．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线
28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若
5
PF =，则双曲线的离心率为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15．（本小题满分12分）
已知:p 关于x 的方程2
10x mx ++=有两个不等的负根；:q 关于x 的方程
244(2)10x m x +-+=无实根。

若""p q ∨为真，""p q ∧为假，求m 的取值范围
16. （本小题满分12分）
已知椭圆C:)0(1222
2>>=+b a b y a x ,它的离心率为33.直线2:+=x y l 与以原点为圆心,
以C 的短半轴为半径的圆O 相切. 求椭圆C 的方程.
17．（本小题满分14分）
设函数
32
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围。

18. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，N 为圆C ：22
(1)16x y ++=上的一动点，点D （1,0），点M 是DN 的
中点，点P 在线段CN 上，且0MP DN ⋅=. （Ⅰ）求动点P 表示的曲线E 的方程；
（Ⅱ）若曲线E 与x 轴的交点为,A B ，当动点P 与A ，B 不重合时，设直线PA 与PB 的斜率分别为
12,k k ，证明：12k k 为定值；
19（本题满分14分）
已知动圆过定点P(1,0)且与定直线1:-=x l 相切,点C 在l 上. （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹方程;
（Ⅱ）设过点P 且斜率为3-的直线与曲线交于A 、B 两点.问直线1:-=x l 上是否存在点C ,使得ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形？如果存在，求出点C 的坐标;若不能,请说明理由.
湛江一中2011——2012学年度第一学期期末考试 高二级（文科）数学科试卷（参考）答案
选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
三、解答题（本大题共
6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.解：(1)
直线:2l y x =+，即20x y -+=与以原点O 为圆心，b 为半径的圆相切
b ∴=
4分
又椭圆的离心率为3， c a ∴=
又2
2
2
2b a c =-= 8分
解得a =10分
故椭圆C 的方程为22
132x y +=。

12分
11. 43- 12. 221416y x -= 13.-8 , 9 14. 2
17 解：（1）
2
()663f x x ax b '=++， 1分
依题意，得⎩⎨⎧==0)2('0)1('f f ，即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩
，
．⎩⎨⎧=-=⇒43b a 4分 经检验，3a =-，4b =符合题意．
5分
（2）由（1）可知，
32
()29128f x x x x c =-++， 2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
7分
所以，当
[]
03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．
11分 因为对于任意的
[]
03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 2
98c c +<，
13分 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，
，．
14分
（Ⅱ）证明：
易知A （-2,0），B （2,0）. 设000(,)(0)P x y y ≠，则2200143x y +=，即
2
200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则
0102y k x =
+，0
202y
k x =-， ----------------------10分
即
2
022
0012222
000331(4)4344444x x y k k x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⋅====----， ∴12k k 为定值1
9-
． -----------------------------------14分
19.解：①据已知，动圆圆心M 到P 点的距离与M 到直线1x =-的距离相等||||MP MN =。

由抛物线的定义，可知2p =。

∴动圆圆心M 的轨迹方程为抛物线：
2
4y x =。

…….5分
求得
332-
=m ,所以，直线1:-=x l 上存在点)
33
2,1(--C ,使得ABC ∆是以ACB
∠为直角的直角三角形。

………14分 法二:设D 为AB 中点,过D 作DC 垂直于l 于C. ∵P 为抛物线焦点 ∴
BP
BB AP AA ==11,,又∵D 为AB 中点,CD AA
//1,∴CD 为梯形B B AA 11的中位线. ∴
()AB BB AA CD 2121
11=+=
,∴∠
90=ACB
设),1(m C -,33223
233
2-=-=m .所以，直线1:-=x l 上存在点
)
332,1(--C ,使得ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形。

………..14分
20．解：（Ⅰ）因为()2f x ax b '=+，由图可知，()21f x x '=+， -------------------2
分
∴221a b =⎧⎨=⎩，得11a b =⎧⎨=⎩，故所求函数解析式为
c x x x f ++=2)(． --------------4分 （Ⅱ）
2()()1
f x x x c c
g x x x x x ++===++，
则222()1c x c g x x x -'=-==
．------6分
1<，即01c <<时，()0g x '>，
∴()g x 在[1,2]上是增函数，故
max 1
()(2)32g x g c ==
+． -----------------8分
②若12≤≤，即14c ≤≤，
当1x ≤<()0g x '<；
2x ≤≤时，()0g x '>；
∵(1)2g c =+，
1
(2)32g c =
+，
∴当12c ≤≤时，(1)(2)g g ≤，max 1
()(2)32g x g c ==
+；
当24c <≤时，(1)(2)g g >，
max ()(1)2g x g c ==+． ---------------10分
2>，即4c >时，()0g x '<，
∴()g x 在[1,2]上是减函数，故
max ()(1)2g x g c ==+． ---------------12分
综上所述，当02c <≤时，max 1
()3
2g x c =
+；当2c >时，
max ()2g x c =+． ----14分 法二：
当0x ≤<
()0g x '<
；当x ≥()0g x '>； ---------8分
∴当1=x 或2=x 时，)(x g 取得最大值，
其中2)1(+=c g ，
32)2(+=
c g ，
当20≤<c 时，
3
2)2()(max +=
=c
g x g ；当2≥c 时，
2)1()(max +==c g x g ． ---- ---- ---- -- -- ------ ---- ---- ---- -- -- -- --14分。