试论2009年江苏高考物理第9题C选项的中学证法及该方法在电磁感应导体棒模型中的应用

试论2009年江苏高考物理第9题C选项的中学证法及该方法在电磁感应导体棒模型中的应用
2009年江苏高考物理卷选择题第9题一直是饱受争议，尤其是其中C选项的证法，一直是个难题。

搜索网络，说法不一，各家之言可归纳为不超过5种方法，不是用大学普通物理来证，就是证法繁琐或缺乏说理逻辑性不强，又或者故意偷换概念躲避关键问题而用“显而易见”搪塞。

时隔三年，笔者偶然将此题翻出来重做，对其中难度最大的C选项的证法充满兴趣，认为应当是可以用中学方法解释的。

目前已将整个证明思路整理清晰，觉得有必要发在网上供大家参考。

如各位有不同意见，欢迎提出。

先看一下这道题：
如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。

弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。

在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有（）
A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大
B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大
C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大
D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大
这题的答案是：B、C、D
其中，B、D选项，有一定基础的同学都能够选出，不再赘述。

下面只讲C选项的证法。

在做运动学问题的时候，只要是直线运动，我们都可以采用画v-t图的方法，我们知道v-t图中曲线与t轴围成的面积在数值上代表位移的变化量（如果从0时刻开始，则代表位移的大小）。

同样的道理，如果我们将物体加速度随时间的变化关系用a-t图描绘出来，那么曲线与t轴围成的面积从数值上表示速度的变化量（如果初速度为0，则代表末速度的大小）。

在本题中我们可以画出大致的v-t图，可以看出，当A、B速度相等的时候，也就是A、B位移差最大的时候，即弹簧最长的时候。

首先，我们设任意时刻弹簧弹力为T，可分别算出该时刻A、B的加速度。

由于题中说两个物体质量相等，设质量为m，则a A=(F-T)/m，a B=T/m。

由此可见，A、B两物体的加速度是随T变化的，而T是关于弹簧伸长量Δx的函数。

所以，A、B两物体的加速度也与Δx有关。

虽然A和B加速度都是变量，但存在一定规律：（1）a A+a B=(F-T)/m+ T/m=F/m，即A、B两物体在同一时刻的加速度之和恒为F/m。

（2）弹簧伸长的过程中，长度并不是随时间均匀增加的，而是越增越慢，所以弹力T虽然在增大，但增大的速度越来越慢。

也就是说，A的加速度在减小，但减小速度是越来越慢的，B的加速度在增大，增大的速度也越来越慢。

由于A所受合力的减小量等于B所受合力的增加量，且质量相等，则A加速度减小的快慢程度等于B加速度增加的快慢程度。

（3）A、B加速度相等时，a A=a B=F/2m。

根据以上特点，绘制出A、B两物体的a-t图像：
图1
所以A、B两物体的a-t图像关于a=F/2m对称。

在速度相等之前，A的速度肯定有一个增大的过程，但是否有减速的过程呢？也就是说，本题C选项的难度在于如何证明在速度相等之前A一直是加速而不会减速。

很显然，如果速度相等的瞬间A的加速度依然向右，那么在此之前A物块一定也都是一直加速向右的。

如果能证明出该瞬间A的加速度恰为0（即恰为v-t图的驻点），同样也可以证明出此前A一直是加速的，而不存在减速过程。

设向右为正方向，这个问题就转化为：如何证明A、B速度相等的瞬间A的加速度≥0？
我们设上图t轴上有一动点Z，过Z作t轴的垂线，交A的a-t曲线（WF）于X,交B 的a-t曲线（OE）于Y。

图2
Z点在t轴上运动，直到满足图形OWXZ的面积等于图形OYZ的面积，即此时标志着A、B两物体速度的变化量相等，由于A、B初速度都为零，即此时A、B的速度相等。

显然，Z 点必须在F点的左侧，才能满足两者面积相等。

也就是说此时点X必定在t轴上方，即此时A物块的加速度必定大于零！
所以，在A、B物体速度相等时，A依然是有向右的加速度的，那么在此之前A必定一直加速向右运动。

故，当A、B的速度相等时，A的速度达到最大。

C选项得证。

到这里，我们已经解决了这道题，但我还想在这里向大家提个问题：题目当中说两物块“质量相等”，如果质量不相等，我们的这种方法是否依然可以使用呢？这个问题，留给各位自己研究。

接下来，我们看看这种方法在高中物理当中的其他用途。

在位于水平面内的光滑无电阻且足够长的平行导轨上垂直放置两根完全相同的金属棒a、b，两金属棒初速度都为零，垂直于纸面方向有匀强磁场，磁场范围足够大且磁感应强度为B。

现将恒力F作用于金属棒b。

当整个装置最终处于稳定状态时，a、b两棒的运动情况分别是怎样的？
答：最终a、b两棒将以相同的加速度向右做匀加速直线运动，且b的速度大于a。

关于这个问题的结论，最终b的速度大于a是不难证明的，但加速度相等用中学思维似乎很难证明。

教师通常会说“如果最终加速度不相等就不是稳定状态”。

但如果学生顶针“凭什么要相等？不相等又怎么了？”，这个问题就比较棘手。

笔者在教学中针对此类问题通常处理的态度是：既不“主动惹事”，也不“胆小怕事”。

我们接下来看看，用前文所介绍的方法能否定性证明出这个结论。

首先，我们分析一下金属棒的受力。

棒a只受向右的安培力，棒b受向左的安培力和向右的恒力F。

且由于a、b串联，电流相等，所以a和b受到的安培力在任一瞬间大小相等，方向相反，故a、b组成的系统只受外力F的作用。

由于a、b棒质量相等（设为m），故a、b的加速度之和始终相等（等于F/m）。

棒a和b的加速度都与安培力有关，安培力越大a的加速度越大，b的加速度越小。

设电路总电阻为R，则任一瞬间的安培力大小可表示为F安=B2L2(v b-v a)/R，其中v b-v a为a、b 两棒的速度差。

可见，速度差越大，则安培力越大，a加速度越大，b加速度越小。

我们可以大致分析出a、b两棒加速度随时间t的变化情况，并绘制出如图1所示的a-t图像。

利用前文介绍的方法，根据图像面积我们可以看出，只要b的加速度还．大于a的加速度，a、b两棒之间的速度差就正在
．．增大，
．．被拉大，安培力就正在
．．增大，a的加速度就正在
b的加速度正在
．．减小。

当a a=a b时，a、b两棒的速度差被拉到最大！
接下来我们用假设法继续分析：
○1假设当a a=a b后a的加速度继续增大，根据a、b加速度之和为定值，b的加速度必定减小且小于a的加速度，那么接下来a、b的速度差就比a a=a b时速度差小，可推出安培力也会减小，a的加速度也相应减小，与假设矛盾，故假设不成立，即当a a=a b后a的加速度不能继续增大。

○2假设当a a=a b后a的加速度减小，根据a、b加速度之和为定值，b的加速度必定增大，a、b两金属棒的速度差进一步被拉大，则安培力增大，a的加速度增大，与假设矛盾，故假设不成立，即当a a=a b后a的加速度不能减小。

所以，当a、b加速度相等后，a、b的加速度将会保持该值不变，成为稳定状态。

总结：通过2009年江苏高考物理卷选择题第9题，我们找到了一种证明方法，并将此方法运用于电磁感应中取得了相应的证明效果。

写这篇文章的主要目的是：希望能够给作为教学过程中的“行为者”和“实施者”的同行们带来一些小小的启发，在教学过程中应鼓励学生质疑和发问，在质疑和发问中实现教学相长的理想目标，这也正是新课程改革而带来的
“新理念”的体现。

作为知识的接受者，学生知道了之前不知道的方法，这并不是最重要的，最重要的是通过这种方式的影响，帮助学生构建起科学合理的思维品质，通过这样的“教”的行为，养成学生相应的“学”的行为，这才是我们的物理学科教学最应该对学生施加的影响。