辽宁省七校协作体2024-2025学年高三上学期11月期中联考试题 数学含答案

辽宁省七校名校协作体2024-2025学年高三上学期11月期中联考
数学试题（答案在最后）
考试时间：120分钟
满分：150分
命题校：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合1
0,{}2x A x B x x a x ⎧
⎫-=≤=>⎨⎬-⎩⎭∣，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是（）
A.1
a < B.1
a ≤ C.2
a > D.2
a ≥2.若(1i)23i z +=+，则复数z 的共轭复数z 的虚部是（）
A.1
i 2
-
B.12
-
C.
1i 2 D.12
3.由一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 得到回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，那么下列说法正确的是（
）
A.若相关系数r 越小，则两组变量的相关性越弱
B.若ˆb
越大，则两组变量的相关性越强C.回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+至少经过样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯中的一个D.在回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+中，当变量x 每增加1个单位时，相应的观测值y 约增加ˆb 个单位4.已知11
sin(),cos sin 36
αβαβ+==-，则cos(22)αβ-=（）
A.
1
9
B.19-
C.
79
D.7
9
-
5.数列{}n a 中，已知对任意自然数123,21n
n n a a a a +++⋯+=-，则2
2
2
2
123n a a a a ++++ 等于（）
A.21
n
- B.(
)
2
21
n
- C.
413n - D.
1423
n -+6.已知函数3
()31f x x x =++，若关于x 的方程(sin )(cos )2f x f m x ++=有实数解，则m 的取值范围为（
）
A.[-
B.[
C.[0，1]
D.[1,1]
-7.已知O 为ABC 的外心，144,6,69
AB AC AO AB AC ===+
，则ABC 的面积为（
）
A.5
B. C. D.6
8.已知函数()y f x =的表达式为()||
x e f x x =，若函数22
()[()]2()g x f x af x e ae =+--恰有4个不同的
零点，则实数a 的取值范围是（）
A.(,2)
e -∞- B.(,)
e -∞- C.2,e ⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭
D.1,e ⎛⎫-∞- ⎪
⎝
⎭
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列关于平面向量的说法中正确的是（
）
A.,OA OB
不共线，且()AP t AB t R =∈ ，则(1)OP tOA t OB =+- .
B.若向量(,2),(3,2)a x x b x ==- ，且a 与b
的夹角为钝角，则x 的取值范围是
114,,0,333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C.已知(1,AB AC =-= ，则AB 在AC
上的投影的坐标为D.已知点H 为ABC 的垂心，则2
22222
||||||||||||
HA BC HB CA HC AB +=+=+ 10.为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为
13，乙每次投篮的命中率均为1
2
，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（）
A.第一次投篮的人是甲的概率为
1
3
B.已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为47
C.第二次投篮的人是甲的概率为
512
D.设第n 次投篮的人是甲的概率为n a ，则(
)
*
1632,n n a a n n -+=≥∈N 11.已知2
2
421(0,0)x y xy x y +-=<<，则（）
A.2
22x y +的最大值是13
+ B.2
2
2x y +的最小值是13
-C.2x y +的最大值是-1
D.2x y +的最小值是-2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：90，88，87，83，81，80，78，72，则这组数据的75%分位数是_____________.
13.已知1a >，且
8117
log log 42
a a +=，则a =_____________.14.设a R ∈，若0x >时均有(
)
2
[(1)1]10a x x ax ----≥，则a =_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数2π()2sin(π)sin sin1012tan 20f x x x x ︒
︒⎛⎫⎛⎫=-++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.（1）化简
:sin101tan 20︒
︒⎛⎫
+
⎪⎝⎭
；（2）求函数()f x 的最小正周期和()f x 图象的对称中心;（3）求函数()f x 在[0,π]x ∈上的单调递增区间.16.（15分）
在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，已知向量(sin sin ,)m A B c =+
，
(sin sin ,)n B C b a =-- ，满足//m n
.
（1）求A ;
（2）若3a =，求ABC 周长的取值范围;
（3）若角A 的平分线交边BC 于点,3D AD =，求ABC 面积的最小值.17.（15分）
中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：
男
女合计
了解20
不了解20
40合计
（1）将列联表补充完整；
（2）是否有95%的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关;
（3）若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为X ，求随机变量X 的分布列、数学期望、方差.
附:2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d
=+++
()
20P x k ≥0.1000.0500.0100.0010
k 2.706
3.841
6.635
10.828
18.（17分）已知函数3()21x f x x =
+，数列{}n a 满足()*
113,,5
n n a a f a n +==∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12111
n n
T a a a =
+++ ，求n T ;（3）对于（2）中的n T ，若存在*
n ∈N ，使得()1(21)n k
n T n n
+-≥-⋅成立，求实数k 的最大值.
19.（17分）
法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下.如果函数()y f x =满足如下条件：①在闭区间[a ，b ]上的图象是连续的；②在开区间（a ，b ）上可导.则在开区间(,)a b 上至少存
在一个实数ξ，使得
()()
()f b f a f b a ξ'-=-成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.
（1）已知1
()2ln ,,(1,3)f x x m x a b x
=++∀∈且a b <，
（i ）若
()()
1f a f b a b
->-恒成立，求实数m 的取值范围;（ii ）当10m -≤<时，求证：
2()()233f a f b a b f ++⎛⎫
> ⎪⎝⎭
.
（2）已知函数e ()ln e (0)x
x a g x x a x a x
=+->有两个零点，
记作12,x x ，若1202x x <<，证明：12232x x e +>
2024-2025学年度（上）七校协作体11月高三联考
数学参考答案
一、单选：ABDA CBCB 二、多选：9.BD 10.BCD 11.AD 三、填空：12.87.513.2或64
14.
3
2
四、解答：
15.（1
）sin 20sin101sin101sin10tan 20sin 20sin 20︒︒︒
︒
︒︒︒︒︒
⎛⎫⎛⎫++=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2sin802sin10cos10sin10sin 20sin 20︒︒︒︒
︒︒=⋅=2sin10cos10sin 201sin 20sin 20︒︒︒
︒︒
===.……………………（4分）
(2)2()sin cos 21x x f x x =-
+πsin 212sin 213x x x ⎛
⎫=-+-=-+- ⎪⎝
⎭，
所以()f x 的最小正周期2π
π2
T ==；…………………………（7分）令π2π()3x k k Z -
=∈，得ππ()62k x k Z =+∈，即()f x
图象的对称中心为ππ,1()62k k Z ⎛+-∈ ⎝.………………………………………………………………………………（9分）
（3）令πππ2π22π()232k x k k Z -
+≤-≤+∈，得π5π
ππ()1212
k x k k Z -+≤≤+∈，令0k =，得π5π1212x -≤≤；令1k =，得11π17π
1212
x ≤≤
，所以函数()f x 在[0,π]x ∈上的单调递增区间为5π11π0,,,π1212⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
.
16.解：（1）由//m n
得：
(sin sin ,)//(sin sin ,)(sin sin )()(sin sin )A B c B C b a A B b a c B C +--⇒+-=-，
再由正弦定理角化边得:2
2
2
2
2
2
()()()a b b a c b c b a bc c b c a bc +-=-⇒-=-⇒+-=，
再由余弦定理得:2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-=
==，又因为(0,π)A ∈，所以π
3
A =;……………………………………………………………………（3分）（2）由正弦定理及（1
）得
sin sin sin 3
2
b c a B C A ====
ππ
336sin 3
36a b c B C B B B ⎛⎫⎛
⎫∴++=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πππ5π1ππ0,,sin 1,66sin 393666266B B B B ⎛⎫⎛
⎫<<
∴<+<<+≤∴<++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ .因此，ABC 周长的取值范围是(6,9].…………………………………………（9分）（3）由
ABC ABD ACD S S S =+ 11sin sin ,22c AD BAD b AD CAD =
⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠1
sin 2
ABC S b c BAC =⋅⋅⋅∠ ，又因为π
3,3
AD A ==
，角A 的平分线交边BC 于点D ，所以有:
1π1π1πsin 3sin 3sin 232626b c c b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，整理得:3
3
b c bc +=，
由基本不等式得:b c +≥，所以有:12bc ≥，且b c ==时取等号，
即1π13
sin 122322
ABC S b c =
⋅⋅⋅≥⨯⨯= ，
即ABC 面积的最小值为.………………………………………………（15分）17.解：（1）由题得列联表如下：
男
女合计了解402060不了解202040合计
60
40
100
………………………………………………………………………………………（3分）
（2）由（1）可得22
100(40202020)25
2.778
3.841604060409
χ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，
所以没有95%的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关.………………（8分）
（3）由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人，所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为201
40203
=+，……（9分）
则由题意可知0,1,2,3X =，且1~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
所以32
01331811124(0)C 1,(1)C 132733279P X P X ⎛⎫⎛⎫==-===-⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
23
2333116211(2)C 1,(3)C 33279327P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯===== ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以随机变量X 的分布列为
X 0123
P
8274929127
……………………………………………………………………………………………………（13分）
所以随机变量X 的数学期望为1
()313
E X np ==⨯=.………………………………………（14分）随机变量X 的方差为122
()(1)3333
D X np p =-=⨯⨯=……………………………………（15分）
18.解:（1）因为函数3()21
x
f x x =+，
所以()11131211111
1121333n n n n n n n n a a f a a a a a a +++⎛⎫==
⇒=+⋅⇒-=- ⎪+⎝⎭
，
所以数列11n a ⎧⎫-⎨
⎬⎩⎭
是以11213a -=为首项，1
3为公比的等比数列，
则有1
1211231133332
n n
n n n
n n a a a -⎛⎫
-=⋅⇒=+⇒= ⎪
+⎝⎭
；……………………………………（4分）（2）由（1）可知:
12
13
n n a =+，所以21211111111
11332211333313
n n n n n T n n n a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++=++++=⨯+=-+ ⎪⎝⎭- ;……（8分）
（3）由（2）可知:1
13
n n T n =-+，所以由()11(21)3(21)n n k k
n T n n n n
+-≥⇒≥
-⋅-⋅，因为*
n ∈N ，所以由
1(21)3(21)3n n
k n n
k n n -⋅≥⇒≤
-⋅，……………………………………………………（11分）设(21)3n n n n b -⋅=，由2
111
3134(21)(1)(21)44333
n n n n n n n n n n b b +++⎛
⎫--+
⎪+⋅+-⋅⎝⎭-=-=，
由二次函数性质可知：当*
n ∈N 时，函数2
313()444g n n ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭是减函数，………………（14分）
(1)30,(2)30g g =>=-<，
于是有*
1,n n >∈N 时，2
313
()4044
g n n ⎛
⎫=--
+< ⎪⎝
⎭，所以21234,n b b b b b b >>>>> ，因此()2max 2
3
n b b ==，存在*
n ∈N ，使得()1(21)n k
n T n n +-≥
-⋅成立，则有23
k ≤，
因此实数k 的最大值为
2
3
.……………………………………………………………………（17分）19.（1）（i ）解:法一:由()()
1f a f b a b ->-，且a b <化简得()()f a f b a b -<-，即()()f a a f b b -<-，
令1
()()ln H x f x x x m x x
=-=++，可知()H x 在(1,3)上单调递增，
则21()10m H x x x '
=-+≥在(1,3)上恒成立，即1m x x ≥-在(1,3)上恒成立，
令1
()h x x x
=-，显然()h x 在(1,3)上单调递减，
所以(1)0m h ≥=，即0m ≥，故实数m 的取值范围为[0,)+∞.……………………………（4分）法二：由拉格朗日中值定理可知，0(,)x a b ∃∈，使得()0()()
f a f b f x a b
'-=-，
故问题转化为()01f x '
>恒成立.
又21()2m f x x x
'
=-
+，则()02
00121m f x x x '
=-+>恒成立，即001m x x >-恒成立，因为0(,)(1,3)x a b ∈⊆，故令1
()P x x x
=
-，显然()P x 在(1,3)上单调递减，所以(1,3),()(1)0x P x P ∀∈<=，所以0m ≥，故实数m 的取值范围为[0,)+∞……（4分）
（ii ）证明：要证
2()()233f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证22()()33a b f a f b f +⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
，
即证22()22()33a b a b f b f f
f a ++⎛⎫
⎛⎫
->- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，又2133
a b
a b +<<
<<，
由拉格朗日中值定理可知，存在1222,
,,33a b a b a b ξξ++⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，()222()()33a b b a f b f f ξ'
+-⎛⎫-=⋅ ⎪
⎝⎭
，()()1122()22()2333a b b a b a f f a f f ξξ''
+--⎛⎫-=⋅=⋅ ⎪
⎝⎭
.由题意知2
1()2m f x x x
'
=-
+，当10m -≤<时，()f x '
在(1,3)上单调递增，则()()21f f ξξ''>，故()()212()2()33
b a b a f f ξξ'
'--⋅>⋅
，即22()22()33a b a b f b f f f a ++⎛⎫⎛⎫
->-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以命题得证.…………………………（8分）
（2）函数e ()ln e x x
a g x x a x x =+-有两个零点，即方程e ln e 0x x a x a x x +-=有两个根，即方程e e ln 10x x
a a x x
+-=有2个根.
令1
()ln 1(0),()10x x x x x x
ϕϕ'
=+->=
+>，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，且(1)0ϕ=，即方程e 1x
a x =有2个根，且这两根即为方程e e ln 10x x a a x x
+-=的根，…………………………………………（11分）
所以12
12
e e x x a x a x ⎧=⎨=⎩，则1212e e x x x t x ==，则由1202x x <<，得12121210,,,e e ln 2x x
t x tx t x x t ⎛⎫∈==⇒-= ⎪⎝⎭，
所以22ln tx x t -=，则212ln ln ,11
t t t
x x tx t t ===
--，要证12
2e
32x x +>，即证1225ln 2x x +>，…………………………………………（12分）
又12(2)ln 21t t x x t ++=
-，令2
2
3ln 1(2)ln (),()1(1)t t t t t m t m t t t '
-+-
++==--，
令22
232(1)(2)()3ln 1,()1t t u t t t u t t t t t '
--=-+-+=-++=，
又10,2t ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
，所以()0u t '
>，故()u t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增，
所以1150,,()3ln 20222t u t u ⎛⎫⎛⎫
∀∈<=-< ⎪
⎪
⎝
⎭⎝⎭，所以()0m t '
<，故()m t 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，所以1()5ln 22m t m ⎛⎫
>=
⎪⎝⎭
，即1225ln 2x x +>，即12
2e
32x x +>，所以不等式得证.………………………………………………（17分）。