异方差

(一 )直观图示检验法
1.用X-Y的散点图进行判断（估计后判断） 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋 势（即不在一个固定的带型域中）
某地区全体居民在31年中个人收入X (单位:万元) 及个人储蓄Y(单位:万元)资料如下表所示:
案例2.1
• 图示检验法观察异方差。
2.计算检验法：该方法的共同思路
（3）对每个子样本分别进行OLS，并分别计算各自的残差平方和。
（4）在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量
nc 2 ~ e2i ( 2 k 1) nc nc F ~ F( k 1, k 1) nc 2 2 2 ~ e1i ( 2 k 1)
5 ⑥检验。给定显著性水平 ，确定 F 分布表中相应的临界
Homoscedasticity
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。即：
Var (i ) Var ( j ), i j; i, j 1, 2,, k
的方差-协方差矩阵:
Cov 1 , 2 Var 1 Cov 2 , 1 Var 2 Var ( ) E Cov , Cov , n 1 n 2 12 0 0 1 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 n 仍然满足Cov( i , j ) 0, (i j )等5个条件. 仅主对角线不再是 2 , 而是各不相同 i2 i 1, 2, , n . i j i j; i, j 1, 2, , n Cov 1 , n Cov 2 , n Var n 0 0 2 0 n



下面证明无偏性.
1 ˆ E (β ) E (( X X ) X Y )
E (( X X ) 1 X ( Xβ μ ))
1 1 β ( X X ) E ( X μ ) X X X E E 0 β 1 所以, X X X Y 仍是的无偏估计量.
2.当计量模型存在异方差时,OLS估计量不再是有效估计量
1 1 )( ) E X E ( X X Y X X X Y 1 1 E X X X X X X X X 1 1 E X X X X X X 1 1 E X X X X X X X X X E X X X
~2 e 即用 i 来表示随机误差项的方差。
从而可进一步考察其与X的相关性及其具体的形式。
~ e 1 (2)X- i
~2 e i
2
的散点图进行判断
~2 e i
看是否形成一斜率为零的直线
与哪一个X有关 要依次试
X 同方差 递增异方差
X
~2 e i
~2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
X
2 • 案例2.1,观察X— ei 的散点图。
n Q 1 2 的估计量 X X X Y , Q ei ee Y X Y X ; i 1 1.当计量模型中存在异方差时,OLS估计仍具有线性与无偏性. X X 1 X Y 是Y的一次函数, 显然 是关于Y的线性函数. 证明:由于
2、异方差的类型
• 同方差时：i2 = 常数，与解释变量观测值Xi无关；
异方差时：i2 = f(Xi)，与解释变量观测值Xi有关。 • 异方差一般可归结为三种类型：
– 单调递增型： i2随X的增大而增大 – 单调递减型： i2随X的增大而减小 – 复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
3、实际经济问题中的异方差性
2.戈德菲尔德-夸特(Goldfeld-Quandt)检验
• G-Q检验1965年被提出，该检验以F检验为基础， 适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况。
假定方程随机扰动项i 服从期望为零的正态分布,且Cov(i j ) 0, i j G Q检验的零假设为 :
2 2 H 0 : 12 2 n 同方差 2 2 H1 : 12 2 n 方差各不相同,不妨设是递增型异方差
1
计算公式,应用计算机相关程序进行模拟,表明当存在异方差时, 2 X X 的有效性不能得到保障. 的元素会夸大或缩小真实的方差和协方差,因此 由此会导致的相关检验和置信区间失效,进而引起预测失效.
1
三、异方差性的检验 Detection of Heteroscedasticity
• 由于异方差性就是相对于不同的解释变量观
测值，随机误差项具有不同的方差。那么：
检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差Var(i )与解释变量 观测值Xij i 1, 2,, n; j 1, 2, k 之间的相关性及其相关的" 形式"。
• 问题在于如何获得随机误差项 （从总体带 i 来的）的方差
例3.1：截面（如：同一时刻）资料下研究居民 家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入。 高收入家庭：储蓄的差异较大； 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小。
例1: 以某一行业的多个企业为样本建立企业生产 函数模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3e 被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、 技术A。 • 每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含 在随机误差项中。 对于不同的企业，它们对产出量的影响程度不同， 造成了随机误差项的异方差性。 •随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的 变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
具体检验步骤如下:
1 将观测值按递增的误差方差排列,由于假定是递增型的异方差,
所以可将解释变量X t的值按升序排列.
2 任意选择c个中间观测值略去.经验表明,略去数目c的大小,大约相当于
1 nc 样本观测值个数的 .剩下的n c个观测值平均分成两组,每组观测值的个数为 . 4 2
Var ( i ) E ( i2 ) 2
Cov ( i , j ) E ( i j ) 0
假设5：解释变量与随机项不相关
Cov ( X ji , i ) 0 j 1,2, k
假设6：随机项满足正态分布
这一条件不满足， LS估计就不满足无偏性
i ~ N ( 0, )
为了使参数估计量具有良好的统计性质，对 多元线性回归模型可以做出类似于一元线性回 归分析那样的若干基本假设。 假设1：模型设定是正确的。 假设2：解释变量是非随机的或固定的，且各X 之间互不相关（无多重共线性）。 假设3：随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一有限常数。
2 ( X X ) / n Q, i
n
假设4：随机误差项具有零均值、同方差及不 序列相关性
E ( i ) 0
i j i,Βιβλιοθήκη j 1,2,, nY X U
Y1 0 1 X 11 2 X 21 k X k1 1 Y X X X 0 1 12 2 22 k k2 2 2 Yn 0 1 X 1n 2 X 2 n k X kn n
§2.1 异方差性 Heteroscedasticity
一、异方差的概念 二、异方差性的后果
三、异方差性的检验
四、异方差的修正
五、例题
一、异方差的概念
1、异方差
对于模型: Yi 0 1 X1i 2 X 2i k i i
(i 1, 2,, n)
Var ( i X 1i , X 2i , , X ki ) 2 常数 Var ( i X 1i , X 2i , , X ki ) i2 常数
值 F (v1 , v 2 ) 。 若 F> F (v1 , v 2 ) ，存在递增异方差； 反之，不存在异方差。
上面我们分析的是随X 增加而增加,即递增型异方差的G-Q检验.如果是
第 二 讲 经典单方程计量经济学模型：放宽基 本假定的模型 Relaxing the Assumptions of the Classical Model
说 明
•回归分析，是在对线性回归模型提出若干基 本假设（6个）的条件下，应用普通最小二乘 法得到了最佳、线性、无偏的参数估计量。
多元线性回归模型的基本假定
一般的处理方法：
设Y X 矩阵形式 , 用样本资料采用OLS 对模式进行估计, 得 X 矩阵形式 ,由此得残差 : e Y Y . Y i i i
~ Y (Y ˆ) e i i i OLS
~ 2 最好在大样本条件下使用 Var ( i ) E ( i2 ) e (2.4.7) i
1 1
• 现在求
2 X X X X X X
1
1
不是单位矩阵
的方差-协方差矩阵为: 由前面可知当计量模型具有同方差时, 1 )( ) 2 X E ( X 的协方差矩阵的 所以当计量模型中存在异方差时, 2 X X 不再是
2
• 但是，在实际的计量经济学问题中，完 全满足这些基本假设的情况并不多见。 • 如果违背了某一项基本假设，那么应用 普通最小二乘法估计模型就不能得到无 偏的、有效的参数估计量，OLS法失效， 这就需要发展新的方法估计模型。
• 基本假设违背主要 包括： – 随机误差项序列存在异方差性； – 随机误差项序列存在序列相关性； – 解释变量之间存在多重共线性； – 解释变量是随机变量且与随机误差项相关； – 模型设定有偏误； – 被解释变量的方差不随样本容量的增加而收 敛。
二、异方差性的后果 Consequences of Using OLS in the Presence of Heteroskedasticity
1、参数估计量非有效
• OLS估计量仍然具有线性和无偏性，但不具有有 效性（即最小方差性）。设计量模型为：
注意变化
Y1 0 1 X 11 2 X 12 k X 1k 1 Y X X X 2 0 1 21 2 22 k 2k 2 Y X 行向量形式 Yn 0 1 X n1 2 X n 2 k X nk n 且Var ( ) E ( ) 2 2 I n , 从而该计量模型存在异方差性.由OLS得