2021年天津市滨海新区塘沽一中高考数学三模试卷(解析版)

2021年天津市滨海新区塘沽一中高考数学三模试卷
一、选择题（共9小题）.
1．设全集为R，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤3}，集合B＝{1，2}，则集合A∩（∁R B）＝（）A．{﹣1，0}B．（﹣1，1）∪（2，3]
C．（0，1）∪（1，2）∪（2，3]D．{0，3}
2．设x∈R，则“|x﹣1|＜4”是“＞0”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数f（x）＝的部分图象大致为（）
A．B．
C．D．
4．为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在[9，11）的学生人数为25，则n的值为（）
A．70B．60C．50D．40
5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）
A．16 πB．20πC．24πD．32π
6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数．设a＝f（log80.2），b ＝f（log0.34），c＝f（21.1），则a，b，c的大小关系是（）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）
A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）
C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）
8．已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．2
9．已知函数g（x）＝，f（x）＝|kx﹣2|﹣g（x）在（0，+∞）上有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）
A．（4﹣8，+∞）B．（4﹣8，1）∪（1，+∞）
C．（4﹣8，4）D．（4﹣8，1）∪（1，4）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10．复数z＝（i是虚数单位）的实部为，|z|＝．
11．已知F是抛物线y＝4x2的焦点，点P（x0，y0）在抛物线上，且|PF|＝2，则y0＝．
12．某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口．如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为，用ξ表示他遇到红灯的次数，则E（ξ）＝.（用数字作答）
13．二项式（x﹣）6的展开式中常数项为﹣20，则含x4项的系数为.（用数字作答）14．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝6，且＝，•＝﹣2，
则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．
15．已知正实数a，b满足：a+b＝1，则的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．函数f（x）＝（sin x+cos x）2+cos（2x+π）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期并求当x∈[0，]时，函数f（x）的最大值和最小值．（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝1，sin C＝2sin B，且a＝2，求△ABC的面积．
17．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，CA⊥平面ABB1A1，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1．
（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C．
（Ⅱ）求异面直线CA1与BC1所成角的余弦值．
（Ⅲ）若点M是线段AB上的一个动点，试确定点M的位置，使得二面角C﹣A1C1﹣M 的余弦值为．
18．已知数列{a n}，{b n}，S n是数列{a n}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3a n＝2S n+3，数列{b n}是等差数列，b1＝log3a1，且b2+5，b4+1，b6﹣3成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式．
（Ⅱ）记c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．
（Ⅲ）求c k c k+1．
19．椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点H（0，1），若直线y＝x+t与椭圆C相交于两点C，D且直线HC，HD的斜率之和为﹣2，求实数t的值．
（Ⅲ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．
20．（16分）已知函数f（x）＝m（﹣klnx）+n[e x+1（e x+1﹣ax+a﹣1）]，其中e＝2.718…
是自然对数的底数，f′（x）是函数f（x）的导数．
（Ⅰ）若m＝1，n＝0，
（ⅰ）当k＝1时，求曲线f（x）在x＝1处的切线方程．
（ⅱ）当k＞0时，判断函数f（x）在区间（1，]上零点的个数．
（Ⅱ）若m＝0，n＝1，当a＝时，求证：若x1≠x2，且x1+x2＝﹣2，则f（x1）+f（x2）＞2．
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集为R，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤3}，集合B＝{1，2}，则集合A∩（∁R B）＝（）A．{﹣1，0}B．（﹣1，1）∪（2，3]
C．（0，1）∪（1，2）∪（2，3]D．{0，3}
解：∵全集为R，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤3}＝{0，1，2，3}，
集合B＝{1，2}，
∴集合A∩（∁R B）＝{0，3}．
故选：D．
2．设x∈R，则“|x﹣1|＜4”是“＞0”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解：解|x﹣1|＜4，得A＝{x|﹣3＜x＜5}，解，得B＝{x|2＜x＜5}，
∵B⫋A，∴A是B的必要不充分条件．
故选：B．
3．函数f（x）＝的部分图象大致为（）
A．B．
C．D．
解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
，则函数f（x）为奇函数，可排除AC；
又，可排除D．
故选：B．
4．为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在[9，11）的学生人数为25，则n的值为（）
A．70B．60C．50D．40
解：由频率分布直方图得学习时长在[9，11）的频率为：
1﹣（0.05+0.15+0.05）×2＝0.5，
∵学习时长在[9，11）的学生人数为25，
∴n＝＝50．
故选：C．
5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）
A．16 πB．20πC．24πD．32π
解：∵各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，
∴设正四菱形的底面边长为a，则a2×4＝16，
解得a＝2，
∴这个球的半径r＝＝，
∴这个球的表面积S＝4π×（）2＝24π．
故选：C．
6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数．设a＝f（log80.2），b ＝f（log0.34），c＝f（21.1），则a，b，c的大小关系是（）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，则f（x）在（0，+∞）为减函数，
则a＝f（log80.2）＝f（log85），b＝f（log0.34）＝f（），
又由0＜log85＜1＜＜2＜21.1，
则有c＜b＜a，
故选：A．
7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）
A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）
C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）
解：若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，
则f（）为函数的函数的最大值或最小值，
即2×+φ＝kπ+，k∈Z，
则φ＝kπ+，k∈Z，
又f（）＞f（π），sin（π+φ）＝﹣sinφ＞sin（2π+φ）＝sinφ，sinφ＜0．
令k＝﹣1，此时φ＝﹣，满足条件sinφ＜0，
令2x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，
解得：x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）．
则f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．
故选：C．
8．已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，
圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．2
解：双曲线的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：b cos30°＝b，
可得：＝b，即＝，可得离心率为：e＝．
故选：A．
9．已知函数g（x）＝，f（x）＝|kx﹣2|﹣g（x）在（0，+∞）上有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）
A．（4﹣8，+∞）B．（4﹣8，1）∪（1，+∞）
C．（4﹣8，4）D．（4﹣8，1）∪（1，4）
解：∵f（x）＝|kx﹣2|﹣g（x）在（0，+∞）上有3个不同的零点，
∴|kx﹣2|＝g（x）在（0，+∞）上有3个不同的解，
当k＝0时，g（x）＝2，显然有3个不同的解，
当k≥4时，由图可知，函数y＝|kx﹣2|和y＝g（x）在（0，+∞）上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意，
当1＜k＜4时，由图可知，函数y＝|kx﹣2|和y＝g（x）在（0，+∞）上有3个不同的交
点，如下图所示，
当k＝1时，由图可知，函数y＝|kx﹣2|和y＝g（x）在（0，+∞）上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意，
当0＜k＜1时，由图可知，函数y＝|kx﹣2|和y＝g（x）在（0，+∞）上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意，
当k＜0时，由图可知，要使|kx﹣2|＝g（x）在（0，+∞）上有3个不同的解，
必须满足y＝|kx﹣2|与y＝﹣4x2+8x（0＜x≤2）有两个不同的交点，
当y＝|kx﹣2|与y＝﹣4x2+8x（0＜x≤2）相切时，满足|kx﹣2|＝﹣4x2+8x有唯一根，如下
图所示，
此时2﹣kx＝﹣4x2+8x有唯一解，由△＝0可求得k＝或k＝（舍去），∴＜k＜0，
综上所述，＜k＜1或1＜k＜4．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10．复数z＝（i是虚数单位）的实部为，|z|＝．
解：∵z＝＝，
∴复数z的实部为；
|z|＝＝．
故答案为：；．
11．已知F是抛物线y＝4x2的焦点，点P（x0，y0）在抛物线上，且|PF|＝2，则y0＝．解：抛物线y＝4x2的标准方程是x2＝y，其准线方程是y＝﹣，点P（x0，y0），∵|PF|＝2
∴点P到准线的距离为2，即y0+＝2，得y＝．
故答案为：．
12．某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口．如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有15种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为，用ξ表示他遇到红灯的次数，则E（ξ）＝2.（用数字作答）
解：经过6个红绿灯路口，遇到2次红灯的分布情形有种，
随机变量ξ～B（6，），∴E（ξ）＝．
故答案为：15，2．
13．二项式（x﹣）6的展开式中常数项为﹣20，则含x4项的系数为﹣6.（用数字作答）解：∵二项式（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣a）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，
可得展开式中常数项为﹣•a3＝﹣20，∴a＝1．
则令6﹣2r＝4，求得r＝1，可得展开式中含x4项的系数为×（﹣1）＝﹣6，
故答案为：﹣6．
14．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝6，且＝，•＝﹣2，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．
解：建立如图以B点为坐标原点的坐标系，，
设，由，得
，
，
所以，
①当M在N的左侧时，设M（x，0），N（x+1，0），x∈[0，5]，
∴，
②当M在N的右侧时，设N（x，0），M（x+1，0），x∈[0，5]，
∴，
综上的最小值为．
故答案为：．
15．已知正实数a，b满足：a+b＝1，则的最大值是．解：∵正实数a，b满足：a+b＝1，
∴b＝1﹣a，
∴
＝+
＝+
＝，
而
＝（a+1）+﹣3
≥2﹣3
＝2﹣3，
当且仅当（a+1）2＝3时“＝”成立，
故≤＝，
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．函数f（x）＝（sin x+cos x）2+cos（2x+π）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期并求当x∈[0，]时，函数f（x）的最大值和最小值．（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝1，sin C＝2sin B，且a＝2，求△ABC的面积．
解：（I）f（x）＝（sin x+cos x）2+cos（2x+π）＝1+sin2x﹣cos2x＝1+2sin（2x﹣），T＝π，
当x∈[0，]时，（2x﹣）∈[，]，
所以sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
故当2x﹣＝，即x＝时，函数取得最大值3，当2x﹣＝﹣，即x＝0时，函数取得最小值1﹣；
（II）f（）＝1+2sin（2A﹣）＝1，即sin（2A﹣）＝0，
由A为三角形内角，得A＝，
由sin C＝2sin B及正弦定理得c＝2b，
由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣bc，
所以4＝b2+4b2﹣2b2，
故，
△ABC的面积S＝＝＝．
17．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，CA⊥平面ABB1A1，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1．
（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C．
（Ⅱ）求异面直线CA1与BC1所成角的余弦值．
（Ⅲ）若点M是线段AB上的一个动点，试确定点M的位置，使得二面角C﹣A1C1﹣M
的余弦值为．
【解答】（Ⅰ）证明：因为CA⊥平面ABB1A1，所以CA⊥AB，CA⊥A1A，
因为四边形ABB1A1是正方形，所以AB⊥A1A，
所以AC、AB、AA1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
＝（0，1，1），＝（1，0，﹣1），＝（，，0），
设平面A1C1C的法向量为＝（x，y，z），
，令y＝﹣1，＝（1，﹣1，1），
因为•＝﹣1+1＝0，所以AB1∥平面A1C1C．
（Ⅱ）解：因为＝（﹣1，0，1），＝（﹣，1），
所以异面直线CA1与BC1所成角的余弦值为＝＝．（Ⅲ）解：设AM＝t，则M（0，t，0），
＝（，，0），＝（0，t，﹣1），
设平面A1C1M的法向量为＝（u，v，w），
，令v＝1，＝（﹣1，1，t），
由（Ⅰ）知平面A1C1C的法向量为＝（1，﹣1，1），
所以二面角C﹣A1C1﹣M的余弦值为＝＝，
整理得（t﹣1）（t﹣5）＝0，解得t＝1，t＝5（舍去），
于是当M运动到B点时二面角C﹣A1C1﹣M的余弦值为．
18．已知数列{a n}，{b n}，S n是数列{a n}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3a n＝2S n+3，数列{b n}是等差数列，b1＝log3a1，且b2+5，b4+1，b6﹣3成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式．
（Ⅱ）记c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．
（Ⅲ）求c k c k+1．
解：（Ⅰ）对于任意n∈N*，都有3a n＝2S n+3，
可得n＝1时，3a1＝2S1+3＝2a1+3，解得a1＝3，
n≥2时，3a n﹣1＝2S n﹣1+3，又3a n＝2S n+3，
可得3a n﹣3a n﹣1＝2S n+3﹣2S n﹣1﹣3＝2a n，
即为a n＝3a n﹣1，
所以a n＝3•3n﹣1＝3n；
数列{b n}是等差数列，设公差为d，
b1＝log3a1＝log33＝1，
由b2+5，b4+1，b6﹣3成等比数列，可得（b4+1）2＝（b2+5）（b6﹣3），
即为（2+3d）2＝（6+d）（5d﹣2），解得d＝2，
则b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（Ⅱ）c n＝＝，
当n为偶数时，T n＝（3+27+...+3n﹣1）+（1+3+...+n﹣1）
＝+＝+n2；
n为奇数时，T n＝T n+1﹣n＝+（n+1）2﹣n＝+．
所以T n＝；
（Ⅲ）c k c k+1＝c1c2+c2c3+...+c2n﹣1c2n+c2n c2n+1，
由c2n﹣1c2n+c2n c2n+1＝c2n（c2n﹣1+2n+1）＝（2n﹣1）（32n﹣1+32n+1）＝（2n﹣1）•9n，设R n＝1•91+3•92+5•93+...+（2n﹣1）•9n，
9R n＝1•92+3•93+5•94+...+（2n﹣1）•9n+1，
两式相减可得﹣8R n＝9+2（92+93+...+9n）﹣（2n﹣1）•9n+1
＝9+2•﹣（2n﹣1）•9n+1，
化简可得R n＝+•9n+1，
所以c k c k+1＝+•9n+1．
19．椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且
垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点H（0，1），若直线y＝x+t与椭圆C相交于两点C，D且直线HC，HD的斜率之和为﹣2，求实数t的值．
（Ⅲ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．
解：（Ⅰ）由e＝＝＝，即＝，且＝3，
解得a＝2，b＝，
则椭圆的方程为+＝1：
（Ⅱ）联立直线y＝x+t，与椭圆方程3x2+4y2＝12，可得7x2+8tx+4t2﹣12＝0，
设C（x1，y1），D（x2，y2），可得△＝64t2﹣28（4t2﹣12）＞0，解得﹣＜t＜，x1+x2＝﹣，x1x2＝，
则k HC+k HD＝+＝+＝2+（t﹣1）•＝2+（t﹣1）•（﹣）＝﹣2，
解得t＝2（﹣3舍去）；
（Ⅲ）由椭圆方程可得F1（﹣1，0），F2（1，0），
由角平分线的性质定理可得＝，即为＝，
可得＝＝＝，
所以|PF2|＝2（1﹣m）∈（a﹣c，a+c），即1＜2（1﹣m）＜3，
解得m∈（﹣，）．
20．（16分）已知函数f（x）＝m（﹣klnx）+n[e x+1（e x+1﹣ax+a﹣1）]，其中e＝2.718…
是自然对数的底数，f′（x）是函数f（x）的导数．
（Ⅰ）若m＝1，n＝0，
（ⅰ）当k＝1时，求曲线f（x）在x＝1处的切线方程．
（ⅱ）当k＞0时，判断函数f（x）在区间（1，]上零点的个数．
（Ⅱ）若m＝0，n＝1，当a＝时，求证：若x1≠x2，且x1+x2＝﹣2，则f（x1）+f（x2）＞2．
【解答】（Ⅰ）解：（ⅰ）当m＝1，n＝0，k＝1时，f（x）＝﹣lnx，
则f（1）＝，f'（x）＝，所以f'（1）＝0，
故切点坐标为（1，），切线的斜率为0，
故切线方程为y＝；
（ii）由f（x）＝﹣klnx（k＞0）可得，，
令f'（x）＝0，解得x＝，
当0＜x＜时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，
当x＞时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，
所以当x＝时，f（x）取得极小值即最小值f（）＝，
①当0＜k＜e时，f（x）无零点；
②当k＝e时，f（x）在区间（1，]上单调递减，且f（）＝0，
所以x＝是f（x）在（0，]上的唯一零点；
③当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且
又f（1）＝，f（）＝，
所以f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．
综上所述，当0＜k＜e时，f（x）在区间（1，]上无零点；
当k≥e时，f（x）在区间（1，]上仅有一个零点；
（Ⅱ）证明：当m＝0，n＝1，当a＝时，＝
，
令x+1＝t，t1+t2＝0，不妨设t＝x1+1＞0，h（t）＝，
令H（t）＝
＝
＝≥0，
其中，
因为H（0）＝2，
所以当t＞0时，H（t）＞2，
故若x1≠x2，且x1+x2＝﹣2，则f（x1）+f（x2）＞2．。