【优质人教】2019-2020届高三数学上学期第二次联考试题 文

2019届高三数学上学期第二次联考试题文
考试时间：120分钟满分：150分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题目要求.
1、已知集合{}
1,0,1
M=-，{}
210
N x x
=-<，则M N=
A．{}
1,0,1
- B．{}0 C．{}
11
x x
-≤≤ D．{}1
x x≤
2、已知复数
12
,z z在复平面内对应点的分别为(1,1),(2,1)
--，则2
1
z
z
的共轭复数为A．
31
22
i
- B．
31
22
i
+ C．
31
22
i
-- D．
31
22
i
-+
3、执行如右图所示框图，若输出结果为31，则M处的条件为
A. ?
32
≥
k B. ?
32
<
k C．?
16
≥
k D. ?
16
<
k
4、在等比数列{}n a中，11
a=，公比为q，且1
q≠，若
m
a=
12345
a a a a a，则m=
A．9 B．10 C．11 D．12
5、已知抛物线E的顶点在坐标原点上，焦点F在x轴上，E上
的点(3,)
P m
-到F的距离为5，则E的方程为
A. 28
y x
= B. 28
y x
=- C. 24
y x
= D. 24
y x
=-
6、从3,4,5,6,7中随机取出两个不同的数，则和为奇数的概率为
A．0.8 B．0.5 C．0.4 D．0.6
7、右图是某几何体的三视图其中正(主)视图是腰长为2的
等腰三角形，侧(左)视图是直径为2的半圆，则该几何
体的体积为
A．
3
π
B C．
3
D．
3
8、已知函数()
f x的图象如右下图所示，则()
f x的解析式可以是
A．
ln
()
x
f x
x
= B．()
x
e
f x
x
= C．
2
1
()1
f x
x
=- D．
1
()
f x x
x
=-
9、下列关于函数()sin(sin cos)
f x x x x
=+的说法中，错误的是
A．()
f x的最小正周期为π
B．()
f x的图象关于点(,0)
8
π
对称
C．()
f x的图象关于直线
8
x
π
=-对称
（第3题图）
D ．()f x 的图象向右平移个
8
π
单位后得到一个偶函数的图象 10、我们可以利用计算机随机模拟方法计算2
y x =与4y =所围成的区域Ω的面积. 先利用计算 机产生两个在区间[]0,1内的均匀随机数11,a RAND b RAND ==，然后进行平移与伸缩变换
1142,4a a b b =-=，已知试验进行了100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为
65，最后两次试验的随机数为110.3,0.8a b ==及110.4,0.3a b ==，则本次随机模拟得出
Ω的面积的近似值为
A ．10.4
B ．10.56
C ．10.61
D ．10.72
11、在三棱锥A BCD -中，侧棱,,AB AC AD 两两垂直，,,ABC ACD ABD ∆∆∆
的面积分别为2则三棱锥A BCD -的外接球的体积为
A
B
． C
． D
．
12、定义在R 上的函数()f x 满足(2)()1f x f x +=+，且[]0,1x ∈时，()4x
f x =；(]1,2x ∈时，
(1)
()f f x x
=
. 令[]()2()4,6,2g x f x x x =--∈-，则函数()g x 的零点个数为 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13、已知向量(1,3)a =，(2,)b λ=-，且a 与b 共线，则a b +的值为 .
14、若实数,x y 满足0,1,1.x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩ 2z x y =+的最大值和最小值分别m 和n ，则m n -= .
15、已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 的右支上一
点，直线1PF 与圆222
x y a +=相切，且212PF F F =，则C 的离心率为 .
16、已知数列{}n a 满足*(2)(1)(32),(,)n n a n m n m n N =++--∈，若对于任意的*
N m ∈，不
等式∑=-≥
--m
i i a
k k 21
1
22
12恒成立，则实数k 的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分）
已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin sin sin a A c C b B c A +-=，
6cos cos 1A C =.
（Ⅰ）求角B 的大小及sin sin A C 的值；
（Ⅱ）若b =ABC ∆的面积.
18、（本小题满分12分）
进行调查，在高三全体1000100布直方图．
算高三全体学生视力在5.0这100名学生视力的中位数（精确到0.1）； （Ⅱ）学习小组发现，学习成绩突出的学生， 近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成 绩是否有关系，对高三全体成绩名次在前50 名和后50名的学生进行了调查，部分数据如 表1，根据表1及临界表2中的数据，能否在
犯错误的概率不超过0.05（参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
19、（本小题满分12分）
如图，在多面体EF ABCD -中，四边形,ABCD ABEF 均为 直角梯形，0
90ABC ABE ∠=∠=，四边形DCEF 为平行四 边形，平面ABCD ⊥平面DCEF ． （Ⅰ）求证：平面ADF ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）若ABD ∆是边长为2的等边三角形，且异面直线BF 与CE 所成的角为0
45，求点E 到平面BDF 的距离．
20、（本小题满分12分）
已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点3(1,)2
M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在过点(2,1)P 的直线l 与C 相交于不同的两点,A B ，满足2
PA PB PM ⋅=？ 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
21、（本小题满分12分） 已知函数()ln x m
f x e
x +=-．
（Ⅰ）设1x =是函数()f x 的极值点，求证：ln x
e e x e -≥；
（Ⅱ）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．（其中正 常数a 满足ln 1a a =）
选考题：请在第．．．22．．、．23．．题中任选一题作答，．．．．．．．．．若．多做，则按所做的第一题计分．．．．．．．．．．．．．． 22、[选修4―4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知三点(0,0)O ，(2,
)2
A π
，)4
B π
．
（Ⅰ）求经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为
1cos ,
1sin .x a y a ϕϕ=-+⎧⎨
=-+⎩
（ϕ为参数），若圆1C 与圆2C 相外切，求实数a 的值．
23、[选修4―5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设函数()221f x x x =--+. （Ⅰ）解不等式()0f x ≤；
（Ⅱ）0x R ∃∈，2
0()24f x m m -≥，求实数m 的取值范围.
参考答案
二、填空题：
13、2；
14、6； 15、5
3
； 16、(,1][3,)-∞-+∞.
17、解：（Ⅰ）由sin sin sin sin a A c C b B c A +-=及正弦定理，得ac b c a =-+2
2
2
1分
由余弦定理得2221
cos 222
a c
b a
c B ac ac +-=
== … … … … … … 3分 又0B π<<， 则3
π
=
B … … … … … … … … … … 5分
由6cos cos 1A C =得1
cos cos 6
A C =
由1cos()cos()cos 2A C B B π+=-=-=-，得1cos cos sin sin 2
A C A C -=- 则12
sin sin cos cos 23
A C A C =+
= … … … … … … … 7分 （Ⅱ）由正弦定理得 sin sin sin a c b A C B ==
，
又b =3
π
=B 则
4sin sin a c
A C
== … … … … … … … … … … 8分 从而
16sin sin sin sin a c ac A C A C ⋅==，又2sin sin 3
A C = 所以232
16sin sin 1633
ac A C ==⨯
= … … … … … … … … 10分
故1132sin 22323
ABC S ac B ∆=
=⨯⨯= … … … … … 12分 18、（Ⅰ）由图表可知，第一组有1000.150.23⨯⨯=人，第二组有1000.350.27⨯⨯=人，第三 组有100 1.350.227⨯⨯=人，则后四组的人数为100(37)90-+=人 … … 1分
因为后四组的频数成等差数列，所以后四组的频数依次为27,24,21,18 … 2分 故样本中，高视力在5.0以下的人数为1001882-=人
由样本估计总体，估计高三全体学生视力在5.0以下的人数为82
1000820100
⨯
=人 4分 因为前三组的频率之和为(0.150.35 1.35)0.20.370.5++⨯=<， 前四组的频率之和为24
0.370.610.5100
+
=>，所以中位数在[4.6,4.8)内 … 5分
法一：估计这100名学生视力的中位数为0.50.37
4.60.2 4.70.24
-+
⨯≈ … … … 7分
（法二：设这100名学生视力的中位数为x ，
则有24
(0.150.35 1.35)0.2( 4.6)(
0.2)0.5100
x ++⨯+-⨯÷=，解得 4.7x ≈ 估计这100名学生视力的中位数为4.7 … … … … … … 7分） （Ⅱ）由已知，22⨯的列联表如右表： … … … … 8分
则2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
2
100(4216348)50507624
⨯-⨯=⨯⨯⨯
200
3.509 3.84157
=
≈< … … … … … … … … 11分 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下没有把握认为视力与学习成绩有关系 … 12分
19、（Ⅰ）∵0
90ABC ABE ∠=∠=， ∴AB BC ⊥，AB BE ⊥
又,BC BE BCE ⊂平面且交于点B ， ∴AB ⊥平面BCE … … 1分 又CE ⊂平面BCE ， ∴AB ⊥CE … … … … … … … … 2分 又∵AB ∥CD ，CE ∥DF ， ∴CD ⊥DF … … … … … … 3分 又平面ABCD ⊥平面DCEF 且交于CD ，DF DCEF ⊂平面
∴DF ⊥平面ABCD … … … … … … … … … 5分 又DF ADF ⊂平面， ∴平面ADF ⊥平面ABCD … … … … … 6分 （Ⅱ）∵CE ∥DF
∴BFD ∠为异面直线BF 与CE 所成的角，则0
45BFD ∠= … … … 7分
Rt BDF ∆中，045BFD DBF ∠=∠=，∴2DF BD == … … … 8分
∵ABD ∆是边长为2的等边三角形，0
90ABC ∠=
∴Rt BCD ∆中，0
30CBD ∠=， ∴1CD =
，BC = … … … 9分
∵CE ∥DF ，DF BDF ⊂平面，CE BDF ⊄平面 ∴ CE ∥平面BDF
∴点C 到平面BDF 的距离即为点E 到平面BDF 的距离 … … … 10分 由（Ⅰ）可知DF ⊥平面ABCD ，则DF 为三棱锥F BCD -的高 设点E 到平面BDF 的距离为h
由E BDF C BDF F BCD V V V ---==， 得11
33
BDF BCD S h S DF ∆∆⋅=
⋅
BDF ∆20、（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>
由12
c e a ==得2a c =，则2222
3b a c c =-= … … … … … … 1分
所以C 的方程为2222143x y c c +=且经过点3
(1,)2
M
则2213144c c +=，解得2
1c = … … … … … … … … 3分 故椭圆C 的方程为22
143
x y += … … … … … … … … 4分 （Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，
由题意直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)1y k x =-+，
由22
1,43
(2) 1.x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩
，消去y 得2222
(43)8(2)8(221)0k x k k x k k +--+--= 6分 由2222
64(2)32(43)(221)0k k k k k ∆=--+-->得630k +>，解得12
k >- 7分
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21228(2)43k k x x k -+=+，2122
8(221)
43
k k x x k --=+ … 8分 由2PA PB PM ⋅=得12225
(2)(2)(1)(1)4
x x y y --+--= … … 9分
则2
125(2)(2)(1)4
x x k --+=
即2
12125[2()4](1)4x x x x k -+++=
所以222
228(221)16(2)5[4](1)43434
k k k k k k k ----++=++
整理得22
4(1)5434k k +=+，解得1
2k =± … … … … … … … … 11分 又12k >-，所以1
2
k =
故存在直线l 满足条件，其方程为1
2
y x =，即20x y -= … … 12分
21、（Ⅰ）证明：1()(0)x m
f x e
x x
+'=-> 因为1x =是函数()f x 的极值点，所以1(1)10m
f e +'=-=，解得1m =-
经检验，1m =-符合题意
则1
1
()(0)x f x e x x
-'=-
>，1()ln (0)x f x e x x -=-> … … … … 2分 当01x <<时，1
001x e e -<<=，1
1x
-
<-，所以()0f x '<； 当1x >时，1
01x e
e ->=，1
10x
-<-
<，所以()0f x '> 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增 … … … 4分 所以min
()(1)1f x f ==，从而()1f x ≥，即ln 1x
e x e
-≥，所以ln x e e x e -≥ 6分
（Ⅱ）1()(0)x m
f x e x x +'=-
>，设1()(0)x m g x e x x +=->，则21
()0x m g x e x
+'=+> 所以()g x 即()f x '在(0,)+∞上单调递增 … … … … … 7分 由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()f x '在(0,)+∞上的唯一零点 所以00
1x m
e
x +=
，则001ln ln x m
e x +=，即00ln x m x +=- … … … 8分
当00x x <<时，0()()0f x f x ''<=；当0x x >时，0()()0f x f x ''>= 所以函数()f x 在0(,)x x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，
从而函数()f x 在0x x =处取得最小值 … … … … … … 9分 所以0000000
11
()()ln ()x m
f x f x e
x x m x m x x +≥=-=
++=++ 因为()0f x ≥恒成立，所以00
1
0x m x ++≥ 所以00001ln x m x x x +
≥-=+，即00
1
ln x x ≥，也即00ln 1ln x x a a ≤= … 10分 令()ln (0)h x x x x =>，则有0()1()h x h a ≤=
因为函数()ln h x x x =在1
(0,)e 单调递减，在1(,)e
+∞上单调递增， 且当(0,1)x ∈时，()0h x <；当(1,)x ∈+∞时，()0h x >， 所以0x a ≤ 从而0x a -≥-，0ln ln x a -≥-，于是00ln ln x x a a --≥--
所以ln m a a ≥--，故m 的取值范围为[ln ,)a a --+∞ … … … … 12分
22、（Ⅰ）点(0,0)O ，(2,
)2
A π
，)4
B π
对应的直角坐标分别为点(0,0)O ，(0,2)A ，(2,2)B
… … … … … …… … … … … … 1分 则过,,O A B 的圆1C 的直角坐标方程为22
220x y x y +--= … … … 3分
又cos ,sin x y ρθρθ==，代入整理得过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程为
)4
π
ρθ=+
… … … … … … … … 5分
（Ⅱ）2C 的参数方程1cos ,1sin .
x a y a ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数）对应的普通方程为222
(1)(1)x y a +++=，
… … … … … … … … … … … … 7分
其圆心2(1,1)C --，半径2R a =
由（Ⅰ）可知圆1C 的圆心1(1,1)C
，半径1R =
由圆1C 与圆2C 相外切，得1212C C R R =+
，则a = … … 9分
解得a =… … … … … … … … … … 10分
23、（Ⅰ）不等式()0f x ≤，即221x x -≤+，即2
2
44441x x x x -+≤++ … 2分
整理得2
3830x x +-≥，解得1
3x ≥
或3x ≤- … … … … … … 3分 所以不等式()0f x ≤的解集为1
{3
x x ≥或3}x ≤- … … … … … … 4分
（Ⅱ）()=221f x x x --+=13,2131,223,2x x x x x x ⎧
+<-⎪⎪
⎪
-+-≤≤⎨⎪
-->⎪⎪⎩
… … … … … … 6分
故()f x 的最大值为15
22
f ⎛⎫-
= ⎪⎝⎭ … … … … … … 8分 因为0x R ∃∈，2
0()24f x m m -≥，即0x R ∃∈，2
0()24f x m m ≥+
所以2
5242
m m +≤
，即2
4850m m +-≥，24850m m +-≤ 解得5122m -≤≤，所以实数m 的取值范围为51
[,]22
- … … … 10分。