椭圆

c 0 e a 1 离心率:
通径：
2b 2 a
性质的探究
y
P F1 -a -c G 0 B F2 A c a
M
N a2
c
x
OF2 PF2 AF2 OA OF2 1、e OA PM ON BF2 AN
2、若AB∥OG，求离心率e。
3、若∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面积。
x 2 y 2 1（a b 0) b2 a 2
2、椭圆的参数方程
x 2 y 2 1（a b 0) 椭圆 2 a b2
的参数方程是：
{ y=bsinθ
x=acosθ
（θ为参数）
要求：
1、对椭圆的标准方程要分清焦点的位置，若不确 定，要分类；或设为
x 2 y 2 1(m2 n2 ) m2 n 2
x2 y 2 1 5、椭圆 上的点P到左准线的距离是 100 36
10，那么P到右准线的距离是 。
6、若F1,F2是椭圆9x2+16y2=144的两个焦点，过F1作 直线交椭圆于A,B两点，则△ABF2的周长等于 。
7、已知F1，F2分别为椭圆
的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2，-6）， P为椭圆上一个动点，求：
2、椭圆的参数方程实质是三角代换，θ没有实在 的几何意义，但也可根据θ的取值范围，判断x，y 的范围。
3、会根据条件求椭圆方程
练习：
1、已知x，y满足9x2+4y2=36，求xy的最值。 2、如果方程x2+my2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那 么实数m的取值范围是 。
例题
例1、已知椭圆的焦点为F1(-1,0)和F2(1,0),P是椭圆 上的一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,求 椭圆的方程。
0 F2(4,0)
A2(5,0) x
A1(-5,0)
0
A2(5,0) x
P1
M
数学之友127页
例题3 例题4
四、综合应用
1、椭圆4x2+9y2=36的焦点F1，F2，点P为其上的动点， 当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围 是 。 变形：若椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0) 上存在点P使 ∠F1PF2为钝角（ F1，F2为椭圆的焦点）,求离心率 e的取值范围。 2、椭圆25x2+16y2=400的焦点为F1，F2，椭圆上是否存 在使∠F1PF2=90°的点？若存在，求△F1PF2的面积， 若不存在，说明理由。
三、椭圆的性质
以焦点在x轴上为例
范围： |x|≤a，|y| ≤b
顶点：(±a,0),(0, ±b)
a2=b2+c2
a2 准线方程: x c
焦半径: 焦准距: |MF1|=a+ex0
对称轴: x轴,y轴
对称中心: (0,0) 焦点坐标: (±c,0)
|MF2|=a-ex0
a 2 c b2 p c c
注意：一定要注意椭圆定义中限制条件 “大于|F1F2|”是否满足．
基础知识梳理
(2)平面内<e<1)的 点的轨迹，即
|MF| d ＝e.
定点F为椭圆的焦点 ，定 直线l为椭圆 该焦点对应的准线 的 ．
基础知识梳理
2．椭圆中的几何量 (1)长轴|A1A2|＝ 2a ，短轴 2b，焦距|F F |B1B(2)离心率：e＝ (0<e<1)． |＝ 2c ，且 2|＝ 1 2 满足 a2＝b2＋c2 . (3)焦点到相应准线的距离：p＝ . c (4)焦点在 x 轴上的椭圆焦点弦长 d (2)椭圆的离心率 a ＝ ． （3）椭圆的焦点在x轴的焦点 2ab2 弦长a2－c2cos2θ(其中 θ 为倾斜角)
1
c
2
c
1
c
2
c
基础知识梳理
焦半 径 焦距 离心 率
|MF1|＝a＋ex0， |MF2|＝a－ex0 |MF1|＝a＋ey0， |MF2|＝a－ey0
|F1F2|＝2c(c>0)，c2＝a2－b2
c e＝ a (0<e<1) 2b2 a
通径
练习
1、如图，已知点A为圆内一点，点P在圆周上运 动，线段PA的垂直平分线交OP于点M，求点M的 轨迹。
例2、已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上， 长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3,2),求椭圆的方程。
例3、已知中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点 与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴较近顶 点的距离为4（ 2 -1），求此椭圆方程。
练习：
如图，在△AFB中，∠AFB=150°，S△AFB= 2 3 一个椭圆以F为一个焦点，以A、B分别为长、短 轴的一个端点，以原点O为中心，求该椭圆的方 程。
P
M O
A
2、如图，定圆O1与圆O2相内含，动圆O与O2外切， 与O1内切，求动圆圆心O的轨迹。
O O1 O2
3、如图，定圆O1与圆O2相内含，动圆O与O1 ， O2 都内切，求动圆圆心O的轨迹。
O
O1
O2
4、△ABC中，已知B,C的坐标分别为(-3,0)和 (3,0),且△ABC的周长等于16，则顶点A的轨迹 方程为 。
知识点：
1、椭圆的定义 2、椭圆的标准方程和参数方程 3、椭圆的几何性质
基础知识梳理
1．椭圆的定义 (1)平面内一点P与两定点F1、 F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹，即 |PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2| . 若常数等于|F1F2|，则轨迹 线段F1F2 . 是 若常数小于|F1F2|，则轨 不存在 ． 迹
O B A
x2 y2 1 100 64
5 | （1） PM | 3 | PF2 |的最小值；
（2）|PM|+|PF2|的取值范围。
二、椭圆的标准方程与参数方程
1、椭圆的标准方程
（1）焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是：
x 2 y 2 1（a b 0) a 2 b2
（2）焦点在y轴上时，椭圆的标准方程是：
基础知识梳理
顶 点
A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0)
对称轴： x轴、y轴 ，长轴 |A1A2|＝2a ， 轴 长： |B 短轴长： 1B2|＝2b 焦 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 点 准 线 l ：x＝－a2，l ：x＝a2 l ：y＝－a2，l ：y＝a2
例1、如图，A1,A2为椭圆的两个顶点，F1,F2为椭圆 的两焦点。
（1）写出椭圆的方程； （2）过线段OA2上异于O,A2任意一点K作OA2的垂 线，交椭圆于P1,P2两点，直线A1P1,与A2P2交于M
x2 y 2 点，求证：点M在双曲线 上。 1 25 9
y y P2
A1(-5,0)
F1(-4,0)
3、已知椭圆4x2+9y2=36,过点P(0,3)作直线l顺次交椭 圆于A,B两点，以线段AB为直径作圆。试问该圆能 否经过原点？若能，求出以AB为直径的圆过原点时 直线l的方程；若不能，请说明理由。
例2、如图，一点光源P照射球O在地面上的投影 为一椭圆，若PA与地面垂直，PB与地面成45° 角，求椭圆的离心率。 P