最新抛物线的几何性质ppt(1)教学讲义ppt

( p 0) y R 关于x 轴
对称，无
y2 2 px x 0 , ( p 0) y R
对称中心
(0,0)
e=1
x2 2 py y 0, ( p 0) x R
关于y 轴 对称，无
对称中心
x2 2 py y 0,
( p 0) x R
抛物线的几何性质特点
（1）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸， 但没有渐进线。 （2）只有一条对称轴，没有对称中心。 （3）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。 （4）离心率e是确定的，即e =1
中（代数方法）
o •F x
形
(1)得到抛物线上点的 横、纵坐标的范围。
范 围
X 0 ，y取全体实数
对称性 关于x轴对称，无对称中
心
顶
点
(0,0)
(2)怎样说明抛物线具 有这些对称性。
（3）得出抛物线与坐标 轴交点的坐标吗?
离心率
四、抛物线的离心率 y2=2px
． y M
(P>0)
抛物线上的点到
．
对称，无
y2 2 px x 0 , ( p 0) y R
对称中心
(0,0)
e=1
x2 2 py y 0, ( p 0) x R
关于y 轴 对称，无
作业：教材64 页A组4，5，6
对称中心
x2 2 py y 0,
( p 0) x R
小结
抛物线的性质和椭圆与双曲线比 较起来，差别较大:它的离心率等 于1；它只有一个焦点、一个顶点、 一条对称轴、一条准线；没有对称 中心；没有渐近线。
若m=0，得到一元一次方程 若m≠0，得到一元二次方程
直线与抛物线的 对称轴平行
相交（一个交点）
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
作业： 1、 已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(0,1)， 斜率为k,k为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只有一个 公共点；有两个公共点；没有公共点？
（5）一次项系数的绝对值越大，开口越大
例1 已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标
x 原点，并且经过点 M2,22 ，求它的标准方程，
并画草图。
例 2:一种卫星接收天线的轴截面(如图)所示,卫星波束 呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反 射聚集到焦点处,已知接收天线的口径为 6m,深度为 1m, 试建立适当的坐标系.求抛物线的标准方程和焦点坐 标.
相 离 0 无交点
相 切 = 0 一个交点
相 交 0 两个交点
判断方法： 通 过 联 立 方 程 组 ， 用 法
二:直线与双曲线位置关系种Y 类 Y
O
X
O
X
交点个数 两个交点 一个交点 0 个交点
相交
相相 交切
相离
例1 已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(-2,1)， 斜率为k,k为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只有一个 公共点；有两个公共点；没有公共点？
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如图），光源位于 抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线 的标准方程和焦点位置．
y
A
●
o
x
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜 的顶点（抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于灯口直径。
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0).由已知可得点A的坐标为（ 40，30）,代入方程得
302=2p×40，解得 p= 45 4
所以所求抛物线的标准方程为 y2=45 x，
焦点坐标为（45 ，0）
2
8
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部 分（如图），光源位于抛物线的焦点处．已 知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物 线的标准方程和焦点位置．
●
由此可: y得 1 y2
即线段AB关于x 轴对称,因为 x轴垂直于AB,且 ∠Aox=30°
抛物线的几何性质ppt(1)
方 程
y22px(p0)
观察：
图
y
o •F x
形
观察抛物线的形状， 你能从图上看出它的 范围吗？它具有怎样
的对称性？抛物线上
范 围
X 0 ，y取全体实数 哪些点比较特殊？
对称性 关于x轴对称，无对称中
心
顶
点
(0,0)
方 程Байду номын сангаас
y22px(p0)
探究一：
从抛物线的方程
图
y
1
2
1
2
( x 2 x 2 ) 2 p ( x x ) 0
1
2
12
( x x )x ( x 2 p ) 0
1
21
2
x 1 0 ,x 2 0 , 2 p 0 , x 1 x 2
图形
标准方程 范围 对称性 顶点
离心 率
y2 2 px x 0 ,
( p 0) y R 关于x 轴
2. 在 抛 物 线 y x2 上 求 一 点 Q ， 使 Q 到 直 线
2 x y 6 0 的距离最短，并求出距离的最小值.
例 1 斜 为 1 的 直 线 l经 过 抛 物 线 y 2 4 x 的 焦 点 F ,且 与
例3正三角形的一个于顶坐点标位原 , 点
另外两个顶点在y2抛 2物 pxp线0上,
求这个正三角形的边长
解:如图8—26,设正三角形OAB的顶点A、 B在抛物线上,且坐标分别为,则:
y1 22p1,x y2 22p2,x 又 O A OB
x1 2y1 2x2 2y2 2
即 x 2 x 2 2 p x 2 p x 0 ,
OF
焦点的距离和它 x 到准线的距离的
比叫做抛物线的
离心率。
e=1
五、抛物线开口大小
y y2=2px (P>0)
A
l
· o F
过焦点且垂直于对称轴的直线 x 被抛物线截得的线段AB叫做抛
物线的通径，长为2p
B
A(p,p)、B(p,p)
2
2
P越大，开口越阔
图形
标准方程 范围 对称性 顶点
离心 率
y2 2 px x 0 ,
2. 在 抛 物 线 y x2 上 求 一 点 Q ， 使 Q 到 直 线
2 x y 6 0 的距离最短，并求出距离的最小值.
抛物线与直线的位置关系
Y
X 交点个数 两个交点 一个交点 0 个交点
相交 相 交
相 相离 切
判断直线与抛物线位置关系的操作程序 把直线方程代入抛物线线方程 得到 mx2+nx+p=0
y1 tan30 3
x
3
1
x
y2 1,
1 2p
y2 3p, 1
A B2y43p. 1
小结
抛物线的性质和椭圆与双曲线比 较起来，差别较大:它的离心率等 于1；它只有一个焦点、一个顶点、 一条对称轴、一条准线；没有对称 中心；没有渐近线。
抛物线与直线的位置关系
复习：
一:直线与椭圆的位置关系及判断方法