2018.12南京信息工程大学 数学物理方程试卷A卷(1)

x2
(C)
7 6
x+
1 6
x3
(D)
7 6
x
1 6
x3
第1页共5页
二、(共 20 分) 设二阶偏微分方程
(1)（5 分）判断该方程的类型； 解
uxx 4uxy 4uyy e y .
得分
(2)（5 分）写出特征方程, 并求特征线； 解
(3)（10 分）将该偏微分方程化为标准形式 解
第2页共5页
u
(
x,
0)
cos
x 2
,
ut
(
x,
0)
0,
0 x
ux (0,t) 0,
t0
解
第3页共5页
四、(共 20 分)
(1) 证明特征值问题
X '' x X x 0, 0 x l,
X
'0
X
l
0.
的特征值及相应的特征函数分别为 (n=0,1,2….)
n
n l
2
,
Xn (x)
An
三、(共 20 分) 求解下列弦振动问题
得分
(1) （10 分）用 Kirchhoff 公式求解无界弦问题 解
utt uxx 1, x ,t 0 u(x, 0) x2,ut (x, 0) 1, x
utt uxx ,
0 x ,t 0
(2)
（10 分）用延拓法求解半无界弦问题
得分
II. 利用镜像法计算三维空间的半空间 {(x, y, z) y 1, x, y }上的 Green 函数，
并用该 Green 函数求解定解问题
选 ( )，其解：
uuxx
uyy | y 1
uzz
第5页共5页
cos
n l
x.
证
得分
(2) 长为 l 的杆沿 x 轴放置，杆身和杆的 x 0 端与 x l 端保持绝热； t 0 时杆上的温度分布
为(x) ，则有定解问题
uut(
x,
a2uxx , 0)
(
x),
0 x l,t 0
t0
。请结合第(1)小题的结论，利
ux (0,t) 0, ux (l,t) 0, 0 x l
用分离变量法求 t 0 时杆上的温度分布。 解
第4页共5页
五、(共 20 分) 请在 I、II 两题中选做一题
I. 用 Fourier 变换求解下列定解问题
t
u x
u t
0,
u(x, 0) sin x,
x ,t 0 x
已知 Fourier 变换性质： F[ f (x c)] eicF[ f (x)]
x, 0, u(1,
t
)
0 1,
x t0
1, t
0
为使得方程与边界条件同时齐次化，可令 u(x,t) v(x,t) (x) ，即函数 v 满足方程与边界条件
vvt(t0, tv)xx ,
0,
v(1,
t
)
0 x 0,
t
1,
t 0
0
则可选 ( )
(A)
7 6
x+
1 6
x2
(B)
7 6
x
1 6
(A) 椭圆型
(B) 抛物型
(C) 双曲型
(
)
(D) 以上都不是.
4.
已知
e2
x
的
Fourier
变换
F[e2
x
]
为
4 2
4
，则
e2
xc
的
Fourier
变换为
(
)
(A)
4 2 4
(B)
4ei c 2 4
(C)
4e i c 2 4
(D)
4i 2
4
5. 设定解问题的泛定方程与边界条件如下
uut(t0, tu)xx
得分
1. 设长为 L 的均匀细杆，侧面绝缘，一端温度为 0 ，另一端有恒定热源 q 进入（单位时间内
通过单位截面积流入的热量），设杆的热传导系数为常数 k ，则边界条件为 (
)
(A) u(0,t) 0,ux (L,t) q
(B)
u(0, t )
0, ux
( L, t )
q k
(C) u(0,t) 0,u(L,t) q
南京信息工程大学试卷
2018 － 2019 学年 第 1 学期 数理方程 课程试卷 ( A 卷)
本试卷共 5 页；考试时间 120 分钟；任课教师
；出卷时间 2018 年 12 月
学院
专业
级
班
学号
姓名
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
阅卷人 说明：请直接在试卷上作答。
一、(每小题 4 分, 共 20 分) 选择题
(D) u(0,t) 0,u(L,t) q k
2. 微分方程 uxxx uxyy sin u 1 x2 是 (A) 三阶线性偏微分方程 (C) 三阶线性齐次偏微分方程
(B) 三阶非线性偏微分方程 (D) 三阶非线性常微分方程
(
)
3. 方程 uxx 2uxy 2uyy uy 0 （其中 u u(x, y) ） 属于