组合KdV方程的Hamilton系统

组合KdV方程的Hamilton系统
吕书强;蔡春;马青华
【摘要】In this article, according to Hamilton Systems of the KdV Equation, and proved Hamilton Systems of the Compound KdV Equation.%本文根据KdV方程的Hamilton系统，构造并证明了组合KdV方程的Hamilton系统。

【期刊名称】《信息安全与技术》
【年(卷),期】2014(000)008
【总页数】3页(P93-95)
【关键词】组合KdV方程;Hmailton算子;Hmailton系统
【作者】吕书强;蔡春;马青华
【作者单位】北京联合大学应用文理学院基础教学部北京 100191;北京联合大学应用文理学院基础教学部北京 100191;北京联合大学应用文理学院基础教学部北京 100191
【正文语种】中文
KdV和mKdV方程是发现最早且最具代表性的非线性发展方程，在数学、物理、工程等领域，都有十分重要的应用前景。

近些年来，对它们的可积性质的研究不断增多，得到一些结论。

本文考虑组合KdV方程
它可看作一维非线性晶格传播波的模型，也可作为流体力学中的一个模型方程，组合KdV方程是KdV和mKdV方程的复合，既包含有非线性效应，又包含频散作
用。

对于组合KdV方程，已经得到了一些精确解。

下面讨论它的Hmailton系统。

19世纪20年代Hmailton在描述几何学时发现了Hmailton系统，成为力学上与Lagrange力学等价的又一种力学描述方式。

由于这类系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hmailton系统（或它的扰动系统）的形式出现，因此该领域的研究多年来成为人们关注的研究方向。

定义1对任意函数f(t,x,u),g(t,x,u)，定义内积
定理1线性算子D：Am→Am为Hmailton算子，若其满足：
（ⅰ）反对称性：D*=-D；
（ⅱ）Jacobi恒等式：
＜p,D'[Dq]r＞+＜q,D'[Dr]p＞+＜r,D'[Dp]q＞=0,p,q,r为任意向量函数。

定义2一对算子D1,D2称相容的，若它们的线性组合aD1+bD2也是Hmailton 算子，a,b为任意常数。

定义3若非线性演化方程ut=K(u),K(u)∈Am
可以表示成
其中D是Hmailton算子，是泛函的变分导数，则称其为一个Hmailton系统。

定义4若非线性演化方程ut=K(u),K(u)∈Am
可以表示成
其中1,2为相应的Hmailton泛函，而且D1,D2为相容的Hmailton算子对，则称其具有双Hmailton系统。

定理2若H(u)∈F,且H'=(H')*,则
其中是微分函数的全体，H是Hmailton函数，H'是H的Freché t导数，(H')*是H的共轭。

对于组合KdV方程
可以写成
即存在使等式
成立，因此组合KdV方程是一个Hmailton系统。

证明：首先证明1存在，即，则
即H1'=(H1')*
由定理2可得
其次证明D=∂x为Hmailton算子。

因为（i）D*=-∂x=-D，满足反对称性；
（ii）对于p,q,r为任意向量函数，
满足Jacobi恒等式，因此D=∂x为Hmailton算子，从而组合KdV方程是一个Hmailton系统。

另外，当b=2a=4δ时，组合KdV方程变为
ut=δ(uxxx+2uux+4u2ux)
可以写成
即存在
使等式成立，并且算子D1,D2称相容的，因此组合KdV方程在b=2a=4δ时，是一个双Hmailton系统。

证明：首先证明2存在，即
取H2=4δu，则H'2=4δ,(H'2)*=4δ,即H'2=(H'2)*
由定理2可得
其次证明为Hmailton算子。

因为ux=-D2，满足反对称性；
（ii）对于p,q,r为任意向量函数，
满足Jacobi恒等式，因此为 Hmailton算子。

最后证明算子D1，D2称相容的，只需证明aD1+bD2也是Hmailton算子，a，b为任意常数。

满足反对称性；
（ii）对于p,q,r为任意向量函数，
满足Jacobi恒等式，因此为 Hmailton算子。

从而组合KdV方程具有双Hmailton系统。

吕书强（1971-）,男，河南泌阳人，中国矿业大学（北京），硕士研究生，副教授，主要从事应用数学的教学和科研工作；主要研究方向和关注领域：为非线性方程。

【相关文献】
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[2]谷超豪等.孤立子理论与应用[M].浙江：浙江科技出版社,1995.
[3]李翊神.孤子与可积系统[M].上海：上海科技教育出版社,1999.
[4]陈登远.孤子引论[M].北京：科学出版社,2006.
[5]王艳红，王振辉，毛星星.KdV-mKdV方程的精确解[J].河南理工大学学报(自然科学
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