2020-2021贵阳市十九中初二数学下期末第一次模拟试题附答案

2020-2021贵阳市十九中初二数学下期末第一次模拟试题附答案
一、选择题
1．若63n是整数，则正整数n的最小值是（）
A．4B．5C．6D．7
2．直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（）
A．ab=h2B．a2+b2=2h2C．111
a b h
+=D．
222
111
a b h
+=
3．下列各命题的逆命题成立的是（）
A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等4．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD 的面积是（）
A．30B．36C．54D．72
5．已知正比例函数y kx
=（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是
（）
A．1B．2C．3D．4
6．计算41
33
÷的结果为（）.
A．3
2
B．
2
3
C．2D．2
7．如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（）
A ．10米
B ．16米
C ．15米
D ．14米
8．若函数()0y kx k =≠的值随自变量的增大而增大，则函敷2y x k =+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数是（ ）
A ．-2
B ．﹣1+2
C ．﹣1-2
D ．1-2
10．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以下说法不一定成立的是（ ）
A ．∠ABC=90°
B ．AC=BD
C ．OA=OB
D ．OA=AD
11．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 的中点C '上.若6AB =，9BC =，则BF 的长为( )
A ．4
B ．32
C ．4.5
D ．5
12．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，下列结论：①15BAE DAF ∠=∠=o ；②3GC ；③BE +DF =EF ；④2CEF ABE S S ∆∆=.其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③④
二、填空题
13．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE∥BC，交AB 于点E ，DF∥AB，交BC 于点F ，当△ABC 满足_________条件 时，四边形BEDF 是正方形．
14．如图，在▱ABCD 中，∠D ＝120°，∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E ，连接BE.若AE ＝AB ，则∠EBC 的度数为_______.
15．函数y ＝21x x -中，自变量x 的取值范围是_____． 16．如图所示，将四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD 的形状，并使其面积变为原来的一半，则这个平行四边形的一个最小的内角的度数是_____．
17．函数1y x =
-的自变量x 的取值范围是 ． 18．有一组数据如下：2，3，a ，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是 ．
19．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需______米．
20．如图，矩形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是-1，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则这个点E 表示的实数是_______
三、解答题
21．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使
CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．
22．某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
23．计算：(.
24．如图为六个大小完全相同的矩形方块组合而成的图形，请仅用无刻度的直尺分别在下列方框内完成作图：
（1）在图（1）中，作与MN平行的直线AB；
（2）在图（2）中，作与MN垂直的直线CD．
25．如图，一个长5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1m至C点．
（1）求梯子底端B外移距离BD的长度；
（2）猜想CE与BE的大小关系，并证明你的结论．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】 63n 63n 273n ⨯7n 7n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为7．
【详解】 63n 273n ⨯7n 7n
∴7n 7n 是完全平方数；
∴n 的最小正整数值为7．
故选：D ．
【点睛】
主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.a b ab =b b a a
=.解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式. 2．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据直角三角形的面积可以导出：斜边c=
ab h
． 再结合勾股定理：a 2+b 2=c 2．
进行等量代换，得a 2+b 2=222a b h ， 两边同除以a 2b 2， 得
222
111a b h +=． 故选D ． 3．C
解析：C
【解析】
试题分析：首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
解：A 、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
B 、绝对值相等的两个数相等，错误；
C 、同位角相等，两条直线平行，正确；
D 、相等的两个角都是45°，错误．
故选C ．
4．D
解析：D
【解析】 【分析】
求▱ABCD 的面积，就需求出BC 边上的高，可过D 作DE ∥AM ，交BC 的延长线于E ，那么四边形ADEM 也是平行四边形，则AM=DE ；在△BDE 中，三角形的三边长正好符合勾股定理的逆定理，因此△BDE 是直角三角形；可过D 作DF ⊥BC 于F ，根据三角形面积的不同表示方法，可求出DF 的长，也就求出了BC 边上的高，由此可求出四边形ABCD 的面积．
【详解】
作DE ∥AM ，交BC 的延长线于E ，则ADEM 是平行四边形，
∴DE=AM=9，ME=AD=10，
又由题意可得，BM=
12BC=12AD=5， 则BE=15，
在△BDE 中，∵BD 2+DE 2=144+81=225=BE 2，
∴△BDE 是直角三角形，且∠BDE=90°，
过D 作DF ⊥BE 于F ，
则DF=365
BD DE BE ⋅=， ∴S ▱ABCD =BC•FD=10×
365=72．
【点睛】
此题主要考查平行四边形的性质和勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
5．B
解析：B
【解析】
由图象可得
25
35
k
k
<
⎧
⎨
>
⎩
，解得
55
32
k
<<，故符合的只有2；故选B.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次根式的除法法则进行计算即可.
【详解】
原式2
===.
故选：D.
【点睛】
本题考查二次根式的除法，掌握二次根式的除法法则是解答本题的关键.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】
由题意得BC=6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
=10米．
所以大树的高度是10+6=16米．
故选：B．
【点睛】
此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．此题也可以直接用算术法求解．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据正比例函数和一次函数的图像与性质逐项判断即可求解.
∵函数()0y kx k =≠的值随自变量的增大而增大，
∴k ＞0，
∵一次函数2y x k =+，
∴1k =1＞0，b=2k ＞0，
∴此函数的图像经过一、二、四象限；
故答案为C.
【点睛】
本题考查了正比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数和一次函数的图像特点是解题的关键.
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
∵边长为1=
∴
∵A 在数轴上原点的左侧，
∴点A 表示的数为负数，即1
故选D 10．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据矩形性质可判定选项A 、B 、C 正确，选项D 错误.
【详解】
∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD ，OA=OB ,
故选D
【点睛】
本题考查了矩形的性质，熟练运用矩形的性质是解决问题的关键.
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
∵点C′是AB 边的中点，AB=6，
由图形折叠特性知，C′F=CF=BC -BF=9-BF ，
在Rt △C′BF 中，BF 2+BC′2=C′F 2，
∴BF 2+9=（9-BF ）2，
解得，BF=4，
故选A ．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
易证Rt ABE Rt ADF V V ≌，从而得到BE DF =，求得15BAE DAF ∠=∠=︒；进而得到CE CF =，判断出AC 是线段EF 的垂直平分线，在Rt AGF n 中，利用正切函数证得②正确；观察得到BE GE ≠，判断出③错误；设BE x =，CE y =，在Rt ABE V 中，运用勾股定理就可得到22
22x xy y +=，从而可以求出CEF V 与ABE V 的面积比．
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，AEF V 是等边三角形，
∴90B BCD D AB BC DC AD AE AF EF ∠=∠=∠=︒=====，，．
在Rt ABE V 和Rt ADF V 中， AB AD AE AF ⎧⎨⎩
＝＝∴()Rt ABE Rt ADF HL V V ≌． ∴BE DF =，∠BAE =∠DAF ∴()()1190601522BAE DAF BAD EAF ∠=∠=
∠-∠=︒-︒=︒ 故①正确；
∵BE DF BC DC ==，，
∴CE BC BE DC DF CF =-=-=，
∵AE AF =，CE CF =，
∴AC 是线段EF 的垂直平分线，
∵90ECF ∠=︒，
∴GC GE GF ==，
在Rt AGF n 中，
∵tan tan 60AG AG AFG GF GC
∠=︒===
∴AG =，故②正确；
∵BE DF GE GF ==，，
15BAE ∠=︒，30GAE ∠=︒，90B AGE ∠=∠=︒
∴BE GE ≠
∴BE DF EF +≠，故③错误；
设BE x =，CE y =，
则CF CE y ==，AB BC x y AE EF ==+===
=，． 在Rt ABE V 中，
∵90B ∠=︒，AB x y BE x AE =+==
，，，
∴222())x y x ++=．
整理得：2222x xy y +=．
∴CEF S V ：ABE S V 11CE ?CF :AB?BE 22⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()•:?CE CF AB BE ==2y ：()x y x ⎡⎤+⎣⎦
()()
2222:2:1x xy x xy =++=．
∴CEF ABE 2S S =V V ，故④正确；
综上：①②④正确
故选：C.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，而采用整体思想（把2x xy +看成一个整体）是解决本题的关键． 二、填空题
13．∠ABC=90°【解析】分析:由题意知四边形DEBF 是平行四边形再通过证明一组邻边相等可知四边形DEBF 是菱形进而得出∠ABC=90°时四边形BEDF 是正方形详解:当△ABC 满足条件∠ABC=90°
解析：∠ABC=90°
【解析】
分析: 由题意知,四边形DEBF 是平行四边形,再通过证明一组邻边相等,可知四边形DEBF 是菱形, 进而得出∠ABC =90°时,四边形BEDF 是正方形.
详解: 当△ABC 满足条件∠ABC =90°
,四边形DEBF 是正方形. 理由:∵DE ∥BC ,DF ∥AB ,
∴四边形DEBF 是平行四边形
∵BD 是∠ABC 的平分线,
∴∠EBD =∠FBD ,
又∵DE ∥BC ,
∴∠FBD =∠EDB ,则∠EBD =∠EDB ,
∴BE=DE .
故平行四边形DEBF 是菱形,
当∠ABC=90°时,菱形DEBF是正方形.
故答案为:∠ABC=90°.
点睛: 本题主要考查了菱形、正方形的判定,正确掌握菱形以及正方形的判定方法是解题关键.
14．45°【解析】【分析】由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠D＝108°AB∥CD 得出∠BAD＝180°﹣∠D＝60°由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A BE＝75°即可得出∠EBC的度数【详解
解析：45°
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠D＝108°，AB∥CD，得出∠BAD＝180°﹣∠D＝60°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABE＝75°，即可得出∠EBC的度数.【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝120°，AB∥CD，
∴∠BAD＝180°﹣∠D＝60°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝60°÷2＝30°，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝(180°﹣30°)÷2＝75°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝45°；
故答案为：45°.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确理解和掌握性质定理是解决本题的关键.
15．x≠1【解析】【分析】根据分式有意义的条件即可解答【详解】函数y＝中自变量x的取值范围是x﹣1≠0即x≠1故答案为：x≠1【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围当函数表达式是分式时要注意考虑分式的分
解析：x≠1
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件即可解答.
【详解】
函数y＝
2
1
x
x
中，自变量x的取值范围是x﹣1≠0，即x≠1，
故答案为：x≠1．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．
16．30°【解析】【分析】过A 作AE⊥BC 于点E 由四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD 的形状面积变为原来的一半可得AE ＝AB 由此即可求得∠ABE＝30°即平行四边形中最小的内角为30°【详解】解：过A 作
解析：30°
【解析】
【分析】
过A 作AE ⊥BC 于点E ，由四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD 的形状，面积变为原来的一半，可得AE ＝12
AB ，由此即可求得∠ABE ＝30°，即平行四边形中最小的内角为30°．
【详解】
解：过A 作AE ⊥BC 于点E ，如图所示：
由四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD 的形状，面积变为原来的一半，
得到AE ＝
12AB ，又△ABE 为直角三角形， ∴∠ABE ＝30°，
则平行四边形中最小的内角为30°．
故答案为：30°
【点睛】 本题考查了平行四边形的面积公式及性质，根据题意求得AE ＝12
AB 是解决问题的关键． 17．x ＞1【解析】【分析】【详解】解：依题意可得解得所以函数的自变量的取值范围是
解析：x ＞1
【解析】
【分析】
【详解】
解：依题意可得10x ->，解得1x >，所以函数的自变量x 的取值范围是1x > 18．2【解析】试题分析：先由平均数计算出a=4×5-2-3-5-6=4再计算方差（一般地设n 个数据x1x2…xn 的平均数为=（）则方差=）==2考点：平均数方差
解析：2
【解析】
试题分析：先由平均数计算出a=4×5-2-3-5-6=4，再计算方差（一般地设n 个数据，x 1，
x2，…x n的平均数为x，x=1
n
（12n
x x x
++⋯+），则方差
2 S=1
n
[222 12n
x x
x x x x
-+-+⋯+-
（）（）（）]），
2 S=1
5
[22222
2434445464
-+-+-+-+-
（）（）（）（）（）]=2．
考点：平均数，方差
19．2+2【解析】【分析】地毯的竖直的线段加起来等于BC水平的线段相加正好等于AC即地毯的总长度至少为（AC+BC）【详解】在Rt△ABC中
∠A=30°BC=2m∠C=90°∴AB=2BC=4m∴AC=
解析：2+23
【解析】
【分析】
地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC）．
【详解】
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°，
∴AB=2BC=4m，
∴2223
AB BC
-=m，
∴3（m）.
故答案为：3
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，解此题的关键在于准确理解题中地毯的长度为水平与竖直的线段的和.
20．—
1【解析】【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长进而得到AE的长再根据A点表示-1可得E点表示的数【详解】∵AD长为2AB长为1∴AC=∵A点表示-
1∴E点表示的数为：-1故答案为-1【点睛】本题
51
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数．
【详解】∵AD长为2，AB长为1，
∴AC=22
+=，
215
∵A点表示-1，
∴E点表示的数为：5-1，
故答案为5-1.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
三、解答题
21．见解析；
【解析】
试题分析：（1）直接利用三角形中位线定理得出DE BC，进而得出DE=FC；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长
试题解析：（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE BC，
∵延长BC至点F，使CF=BC，∴DE FC，即DE=CF；
（2）解：∵DE FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴DC=EF=．
考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
22．(1) =﹣100x+50000；(2) 该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；(3)见解析.
【解析】
【分析】（1）根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；
（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【详解】（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；
（2）∵100﹣x≤2x，
∴x≥100
3
，
∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正数，
∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；
（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，
331
3
≤x≤60，
①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②a=100时，a﹣100=0，y=50000，
即商店购进A型电脑数量满足331
3
≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y取得最大值．
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点睛】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，弄清题意，找出题中的数量关系列出函数关系式、找出不等关系列出不等式是解题的关键.
23．7-2
【解析】
【分析】
利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】
原式＝＝7﹣2．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
24．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
试题分析：画图即可.
试题解析：
如图：
25．（1）BD=1m ；（2）CE 与BE 的大小关系是CE=BE ，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求出OB ，求出OC ，再根据勾股定理求出OD ，即可求出答案；
（2）求出△AOB 和△DOC 全等，根据全等三角形的性质得出OC=OB ，∠ABO=∠DCO ，求出∠OCB=∠OBC ，求出∠EBC=∠ECB ，根据等腰三角形的判定得出即可．
【详解】
（1）∵AO ⊥OD ，AO=4m ，AB=5m ，
∴OB=22AB AO -=3m ，
∵梯子的顶端A 沿墙下滑1m 至C 点，
∴OC=AO ﹣AC=3m ，
∵CD=AB=5m ，
∴由勾股定理得：OD=4m ，
∴BD=OD ﹣OB=4m ﹣3m=1m ；
（2）CE 与BE 的大小关系是CE=BE ，证明如下：
连接CB ，由（1）知：AO=DO=4m ，AB=CD=5m ，
∵∠AOB=∠DOC=90°，
在Rt △AOB 和Rt △DOC 中
AB DC AO DO
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △AOB ≌Rt △DOC （HL ），
∴∠ABO=∠DCO ，OC=OB ，
∴∠OCB=∠OBC ，
∴∠ABO ﹣∠OBC=∠DCO ﹣∠OCB ，
∴∠EBC=∠ECB ，
∴CE=BE ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质等，能灵活运用勾股定理进行计算是解（1）的关键，能求出∠DCO=∠ABO和OC=OB是解（2）的关键．。