沪教版高三C专题(二轮复习-数列的通项与求和4星)

专题：数列的通项与求和★★★★
教学目标
1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式，掌握数列求通项的几种方法
2、掌握数列求和的几种方法
3、理解n a 与n S 的关系，培养观察能力和化归能力．
知识梳理
1、通项常见的求法
1. 公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。

常用的公式有)2n (S S a 1n n n ≥-=-，等差数列和等比数列的通项公式。

2. 归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。

这种方法叫做归纳法。

3. 累加法：利用恒等式)a a ()a a (a a 1n n 121n --+⋯+-+=求通项公式的方法称为累加法。

累加法是求型如)n (f a a n 1n +=+的递推数列通项公式的基本方法（其中数列{f(n)}可求前n 项和）。

4. 累乘法：利用恒等式)0a (a a a a a a a a n 1
n n 23121n ≠⋯⋅⋅=-求通项公式的方法称为累乘法。

累乘法是求型如n 1n a )n (g a =+的递推数列通项公式的基本方法（数列g{n}可求前n 项积）。

5. 转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为与等差或等比有关的数列而求得通项公
式的方法称为转化法。

常用的转化途径有：
（1）凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式d qa a n 1n +=+（q 、d 为常数，0q ≠，1q ≠）。

通过凑配变成⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=-++1q d a q 1q d a n 1n ，或消常数项转化为)a a (q a a n 1n 1n 2n -=-+++； （2）倒数变换——如将一阶分式递推公式d
a ca a n n 1n +=+（c 、d 为非零常数）取倒 数得c
1a 1c d a 1
n 1n +⋅=+；
（3）对数变换——如将一阶递推公式)1p ,0p ,0c ,0a (ca a n p n 1n ≠>>>=+取对数
得c lg a lg p a lg n 1n +=+
（4）换元变换——如将一阶递推公式n n 1n d qa a +=+（q 、d 为非零常数，1q ≠，1d ≠）变换
成
d 1dd qa d a n n 1n 1n +=++，令n n n d
a b =，则转化为一阶线性递推公式。

2、数列求和的最基本最重要的方法.
一、公式法
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2
1[+==∑=n n k
S n k n 二、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
三、反序相加法求和：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
四、分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
五、裂项法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+
（3）1
11)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])
2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 六、合并法求和：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
七、利用数列的通项求和：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
典例精讲
例1. （★★★） 已知数列满足}{n a )(,)21
(,3*
11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列的通项公式. 解：1*113(212()16(2
k n k n k a k N n k --⎧⋅=-⎪⎪=∈⎨⎪⋅⎪⎩)当时)当=2时
回顾总结
（1）若p a a n n =⋅+1(p 为常数)，则数列{n a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.
例2. （★★★）求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,2
11
n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=11
1 （裂项） 则 11
321
211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-
＝11-+n
例3. （★★★★）数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++
由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得
,2,3,1654-=-=-=a a a
,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a
……
2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a
∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和）
＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a
2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+
＝2002200120001999a a a a +++
＝46362616+++++++k k k k a a a a
＝5
例4. （★★★★） 求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(9199999111111
1-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k
个个 （找通项及特征） ∴
11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(9
1)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝
)1111(91)10101010(911321
个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9
110)110(1091n n ---⋅ ＝)91010(81
11n n --+
巩固练习
1、在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=
n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 2
11211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=
∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项） ∴ 数列{b n }的前n 项和
)]1
11()413
1
()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝ 1
8+n n 2、求证：
1
sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设
89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=
S （裂项求和）
＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1 -+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝
1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立
3、在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.
解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=
由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得
)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和） ＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅
＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++
＝10
4、已知数列{a n }：∑∞=+-+++=1
1))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])
4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征） ＝])
4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组） ＝)4131(8)4121(
4+-+++-+⋅n n n n （裂项） ∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)413
1(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和） ＝418)4131(4⋅++
⋅ ＝
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回顾总结
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n n 4、 )1(2
11+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 2、 213)]1(2
1
[+==∑=n n k S n
k n。