命题逻辑等值式

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且A B. (这一命题等价演算的规则我们称之为置换规则)
由上面真值表可知原等价式成立。 A '是A的一部分,且 A '也是一 定义 设A是一个命题公式， 个命题公式，则称 A ' 是A的子公式。 B ' 是一命题公式且 A ' B '. 定理1 设 A ' 是A的子公式， 将A中的A ' 用B ' 来取代 ，则得到一个新的公式，记为B， 证明（略）
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§2.1公式的等价性
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两个不同的命题公式，对于其命题变元的各种真值指派， 可有相同的真值。如由前面真值表可知 p q 与q p 在各种真值指派下，它们有相同的真值。 例1 列出pq,(p∧q) ∨(p∧q),(p q)∧(q p)的 真值表
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例6 判断下列公式的类型。
(1)
q ((p q) p);
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解： (1)
(2) (p p) ((q q) r ); (3) ( p q) p.
本章说明
本章的主要内容
– 等值式与基本的等值式 – 等值演算与置换规则
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– 析取范式与合取范式、主析取范式与主合取范式
– 联结词完备集(不讲)
本章与后续各章的关系
– 是第一章的抽象与延伸 – 是后续各章的现行准备
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n 中所有的命题变元。如果对于P 真值组合 1, P 2 ,, P n的2 个 的每一个，A的真值和B的真值都相同，则称公式A等价 (或等值)与公式B，记作 AB 要判断两个命题公式是否等价，根据定义，只要将两个命 题公式的真值表列出，判断两个真值表是否相同即可。 例2 证明 (pq) pq 证明：列出真值表如下 p q (pq) pq p q
排中律(excluded
矛盾律(contradiction)
A∧¬A0
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常用逻辑等值式(关于→)
蕴涵等值式(conditional
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as disjunction)
A→B¬A∨B
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(3). ((pq)r) ((pq)r) ((pq)r) ((pr)(qr)) ((pr)(qr)) (4).
// 蕴涵等值式 // 德摩尔根律 // 分配律与交换律 // 蕴涵等值式 // 蕴涵等值式 // 德摩尔根律 // 幂等律与结合律 // 蕴涵等值式
p
0 1
q
0 0
p q
1 0
(p∧q) ∨(p∧q)
1 0
(pq)∧(q p)
1 0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
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定义 设A、B是两个命题公式, p1,p2,…,pn出现在A和B
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在某次研讨会的中间休息时间，3 名与会者根据王教授的 口音对他是哪个省市的人进行了判断： 甲说王教授不是苏州人，是上海人。 乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。 听完以上3人的判断后，王教授笑着说，他们3人中有一人 说的全对，有一人说对了一半，另一人说的全不对。试用 逻辑演算法分析王教授到底是哪里人？
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吸收律(absorption
laws)
A ∨ (A ∧ B ) A
常用逻辑等值式(关于¬)
¬¬AA
A ∧ (A ∨ B ) A
双重否定律(double negation law) 德●摩根律(DeMorgan’s laws) ¬(A∨B)¬A∧¬B ¬(A∧B)¬A∨¬B
laws)
结合律(associative
(A∨B)∨CA∨(B∨C) (A∧B)∧CA∧(B∧C)
分配律(distributive
laws)
A∨(B∧C)(A∨B )∧(A∨C ) A∧(B∨C)(A∧B )∨(A∧C )
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(排中律) (矛盾律) (零律)
0
（3） （p q） p p
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（p q） p (蕴涵等值式) (吸收律)
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由此可知，（3）为可满足式。
P25 例2.6 应用题
as implication)
A↔B(A→B)∧(B→A)
等价否定等值式
A↔B¬A↔¬B 有了上面的基本等值（等价）式，再由定理1 我们就可 利用这写等价式进行等价演算。 例３ 证明 p （q r ) p q r
证明：p （q r ) p （q r ) p （q r） p q r
常用逻辑等值式(关于∨与∧)
幂等律(idempotent
laws)
A A∨ A
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A A∧ A
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交换律(commutative
laws)
A∨ B B∨ A
A∧ B B∧ A
假言易位(contrapositive
law)
A→B¬B→¬A
归谬论
(A→B )∧( A→¬B )¬A
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常用逻辑等值式(关于↔)
等价等值式(biconditional
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// 的交换律 // 蕴涵等值式 // 的结合律
(2)
(p(qr)) (p(qr)) // 蕴涵等值式
(p(qr)) ((pq)r) ((pq)r) ((pq)r)
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// 德摩尔根律，反向运用 // 蕴涵等值式，反向运用
例5 证明(P Q) (P Q)P
证明 (P Q) (P Q)
P (Q Q) P 1 P
P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R) Q Q 1 P 1P
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常用逻辑等值式(关于0,1)
零律(dominance
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laws)
A∨11 A∨0A A∨¬A1
A∧00
laws)
同一律(identity
A∧1A
middle)
2.1 等值式
(1)两公式什么时候代表了同一个命题呢？ (2)抽象地看，它们的真假取值完全相同时即 代表了相同的命题。 (2)设公式A,B共同含有n个命题变项，可能对 A或B有哑元，若A与B有相同的真值表，则说 明在2n个赋值的每个赋值下，A与B的真值都相 同。于是等价式AB应为重言式。
A或B中可能有哑元出现。 p→q (┐p∨q)∨(┐r∧r) r为左边公式中的哑元。 用真值表可以验证两个公式是否等值。 9/21/2015 6:30 PM Discrete Math. , QingTai Wu
q ((p q) p) q ((p p) ( q p)) (分配律) q (0 ( q p)) q (q p) q （q p ) （q q） p 1 p 1
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【例4】验证下列等值式 L 0 g i c (1). ((pq)r) ((qp)r) 命 题 逻 辑 (2). (p(qr)) ((pq)r) (3). ((pq)r) ((pr)(qr)) (4). ((pq)r) ((pr)(qr)) (5). (p(qr)) ((pq)(pr)) (6). (p(qr)) ((pq)(pr)) 【证明】证明的思路有两种，第一种思路是通过列真值 表，可看到上述等值式的两边在任何真值赋值下都有 相同的真值，从而完成上述等值式的验证。读者不妨自 己按照这种思路进行证明。第二种思路是利用定理1和 基本等值式来证明。可以看到上述等值式主要是关于蕴 涵的等值式，证明关于蕴涵的等值式的方法是利用蕴涵 的等值式将蕴涵化成只出现与、或、非的公式，再来验 证它们的相等。
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定理1 设A是永真式(永假式)，P是A中的任一命题变元， B是一个命题公式，若用B取代A中出现的每一个P，则所 得到的命题公式仍是一个永真式(永假式)。 证明 由于无论怎样指派A中命题变元的真值，A对应的真 值都是1(0),所以，用B取代A中出现的每一个P后所得的 公式，无论B的真值如何，其真值永为1(0). 定理2 设A、B是命题公式，AB当且仅当AB为永真式。 证明 若AB，即对A和B中命题变元，无论怎样指派其真 值，A和B相应的真值都相同，所以AB为永真式。 反之，若AB为永真式，即无论如何指派AB中 命题变元的真值， AB的真值都是T，也就是说A和B的 真值始终相同，所以AB 。
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(1).((pq)r) ((pq)r) // 蕴涵等值式
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((pq))r
// 蕴涵等值式
(p(q))r
(qp)r
// 德摩尔根律
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((p q)r) ((p q)r) ((p q)r) ((pr) (qr)) ((pr) (qr))
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(5). (p(qr)) (p)(qr) // 蕴涵等值式 (p)(p)(qr) (pq)(pr) (pq)(pr) (6). // 的幂等律 // 的交换律和结合律 // 蕴涵等值式
(矛盾律) (同一律) (德 摩根律) (结合律) (排中律) (零律)
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（2） (p p)((q q) r) 1 ((q q) r) 1 (0 r) 1 0
由此可知，（2）为永假式。
由此知，（1）为永真式。
(p(q r)) (p)(q r) // 蕴涵等值式 (pq) (pr) (pq) (pr) // 对的分配律 // 蕴涵等值式
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