6.3.1 第一课时 平面向量基本定理(解析版)-高一数学同步备课系列(人教A版2019第二册)

6.3.1第一课时平面向量基本定理【课时分层练】
2020-2021学年高一数学同步备课系列【基础题】
一、单选题
1．在ABC 中AB a =，CB b =，则CA 等于（ ）
A ．a b +
B ．a b -
C ．b a -
D ．a b --
【答案】C
【分析】 根据向量的线性运算可得选项．
【详解】
CA CB BA b AB b a =+=-=-，
故选：C.
2．如图所示，M ，N 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，且2AM MB =，2NC AN =，则向量MN =（ ）．
A ．1233A
B A
C - B ．1233
AB AC + C ．1233AC AB - D ．
1233AC AB +
【答案】C
【分析】
根据平面向量基本定理，由平面向量的线性运算，利用题中条件直接计算， 即可得出结果.
【详解】
因为2AM MB =，2NC AN =， 所以1233
MN AN AM AC AB =-=-. 故选：C. 3．如图，ABC 中，E 是AB 的中点，点F 满足2BF FC →→=，则EF →
=（ ）
A ．1263A
B A
C →→-+ B ．1263
AB AC →→+ C ．1163AB AC →→-+ D ．1123
AB AC →→+ 【答案】A
【分析】
根据向量的运算法则计算即可．
【详解】 121212232363EF EB BF AB BC AB AC AB AB AC →→→
→→→→→→→⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭， 故选：A
4．已知矩形ABCD 中，13
AE AB =，若AD a =，AB b =，则CE =（ ）
A ．2
3a b -+ B ．23
a b -- C ．23a b + D ．2
3
a b - 【答案】B
【分析】 先由题中条件，得到13AE AB =
，再由平面向量的线性运算，用AD 和AB 表示出CE ，即可得出结果. 【详解】 因为13AE AB =，所以13
AE AB =， 所以()
122333CE AE AC AB AB AD AB AD b a =-=
-+=--=--. 故选：B. 5．如图，在ABC 中，14
MC BC =，设AB a =，AC b =，则AM =（ ）
A ．1344a b -
B ．3144a b -
C ．1344a b +
D ．3144
a b + 【答案】C
【分析】 根据平面向量基本定理将()
14AM AC AB AC =+-，再用AB a =，AC b =表示可得答案. 【详解】
因为14
MC BC =，AB a =，AC b =，所以 ()1144AM AC CM AC CB AC AB AC =+=+=+-()
113444b a b a b =+-=+. 故选：C.
6．设1e ，2e 为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）
A ．12e e +和12e e -
B ．1224e e +和2124e e -
C ．122e e +和122e e +
D ．122e e -和2142e e -
【答案】D
【分析】
如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断．
【详解】
解：1e 、2e 是平面内所有向量的一组基底， 12e e +与12e e -，不共线，可以作为基底，
1224e e +与2124e e -，不共线，可以作为基底，
122e e +与122e e +不共线，可以作为基底，
122e e -与2142e e -，存在实数2-，使得()
21124222e e e e -=--，所以122e e -和2142e e -共线，不可以作为基底，
故选：D ．
7．已知等边三角形ABC 的边长为6，点P 满足320PA PB PC ++=，则PA =（ ）
A ．79
B
C
D 【答案】C
【分析】
根据320PA PB PC ++=，变形转化得到1136
AP AB AC =
+，再利用数量积运算求解. 【详解】 因为320PA PB PC ++=，
所以()()
622AP AP PB AP PC AB AC =+++=+， 所以1136
AP AB AC =+， 所以22
2211111369936AP AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭，22111666cos60679936=⨯+⨯⨯⨯+⨯=， 故7PA =
故选：C.
8．已知D 为ABC 所在平面内一点，3=DC CB ，则AD = （ ）
A ．1
4
33AB AC -+ B ．1
3
32+AB AC
C ．4
1
33AB AC - D ．1344AB AC
【答案】A
【分析】
利用平面向量的基本定理结合向量的加减线性运算计算表示. 【详解】
由题意作图，如图所示，因为3=DC CB ，所以
4
4
14
()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+.
故选：A.
9．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设,AD a BE b ==，则BC 等于（
）
A ．4
233a b + B ．2
433a b +
C ．24
33a b - D ．24
33a b -+
【分析】
由题意2BE BA BC =+△；22AD BA BC =-+.△
消去BA 即得42b a +=3BC ，进而运算可得答案.
【详解】 由题意()
12BE BA BC =+所以2BE BA BC =+，△ 同理得2()
2AD AB AC BA BC BA BA BC =+=-+-=-+ 即22AD BA BC =-+.△
△×2＋△得4BE +23AD BC =，即42b a +=3BC ，所以BC =
2433
a b +. 故选：B.
【点睛】 本题考查向量的线性运算，利用向量的中点公式，并灵活消元是关键.
二、多选题
10．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A ．λ1e +μ2e (λ，μ△R)可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α内任一向量a ，使a =λ1e +μ2e 的实数对(λ，μ)有无穷多个
C ．若向量λ11e +μ12e 与λ21e +μ22e 共线，则有且只有一个实数λ，使得λ11e +μ12e =λ(λ21e +μ22e )
D ．若实数λ，μ使得12λμ+=0e e ，则λ=μ=0
【分析】
根据平面向量基本定理可以判定ABD ，取向量λ1e +μ2e 与λ21e +μ22e 均为零向量或者λ21e +μ22e 为零向量的特殊情况，可以判定C.
【详解】
由平面向量基本定理可知，A ，D 是正确的.
对于B ，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.
对于C ，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ11e +μ12e 为非零向量，而λ21e +μ22e 为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.
故选:BC .
【点睛】
本题考查平面向量基本定理，属基础题，要准确全面掌握平面向量的基本定理的内容和意义.判定C 时要注意考虑问题要周密.
三、填空题
11．如图，在ABC 中，13AN NC →
→=，P 是BN 上的一点，若311AP AB AC m →→→=+，则实数m 的值为________.
【答案】211
【分析】
解法1：先根据13AN NC →
→=得到4AC AN →→=，从而可得3411
AP AB N m A →→→=+，再根据三点共线定理，即可得到m 的值. 解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底AB AC →→，去表示AP →，根据图形可得：AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，通过向量线性运算可得：()14AP AB AC λλ→→→
=-+，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得m 的值. 【详解】
解法1：因为13AN NC →
→=，所以4AC AN →→=， 又311AP AB AC m →
→→=+，所以3411AP AB N m A →→→=+ 因为点,,P B N 三点共线，所以3+4111m =，解得：211
m =. 解法2：
因为AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，所以AP AB BN λ→→→
=+， 因为13AN NC →→=，所以14AN AC →→=，又BN AN AB →→→=-， 所以14BN AC AB →
→→=-，所以()=4141AP AB AC AB AB AC λλλ→→→→→→⎛⎫=+-+ ⎝-⎪⎭， 又311AP AB AC m →→→=+，所以31114m λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得：8=11211m λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以211m =. 故答案为：211
.
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.
12．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，△ABC ＝60°，AH△BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM ＝λAB ＋μBC ，则λ＋μ＝________
【答案】 23
【分析】
解直角三角形求得,BH BC 的长，根据12
AM AH =
，用,AB BC 表示AH ，由此得到AM 的表达式，从而求出,λμ的值，进而求得λμ+的值.
【详解】 .因为AB ＝2，△ABC ＝60°，AH△BC ，所以BH ＝1.因为BC ＝3，所以BH ＝BC ．
因为点M 为AH 的中点，所以
＝＝ (＋)＝＝＋，又＝λ＋μ，所以
λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
【点睛】 本小题主要考查解平面向量的线性运算，考查平面向量的基本定理的运用，还考查了解直角三角形的知识.对于几何图形中的向量运算，往往转化为同一个基底的向量的线性和来表示，如本题中的AM 这个向量，就转化为了,AB BC 这两个向量的线性和的形式，根据平面向量的基本定理，这个形式是唯一的，由此可求得,λμ的值.
13．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若125,3BC e DC e ==，则OC ＝________．(用12,e e 表示)
【答案】125322
e e + 【分析】
根据OC ＝
12AC ，利用向量的线性运算转化即可. 【详解】 在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，
所以OC ＝()()()
121211115353222222AC AB AD DC BC e e e e =+=+=+=+, 故答案为：125322
e e +. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，较为容易.
14．在四边形ABCD 中，8AB =.若3144
DA CA CB =+，则AB CD ⋅=__________. 【答案】16-
【分析】 利用平面向量的基本定理，用向量,CA CB 表示向量,C AB D ，再利用向量的数量积运算求解.
【详解】 因为31114444
DA CA CB CA CB CD CA CA ===--+-，AB CB CA =-， 所以AB CD ⋅=()()221111164444
CB CA CA CB CB CA AB ⎛⎫--=--=-=- ⎪⎝⎭， 故答案为：-16
四、解答题
15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，求AE BD ⋅.
【答案】2
【分析】
将,AE BD 表示为以,AB AD 为基底的形式，根据向量数量积运算，求得表达式的值.
【详解】
△如图所示，E 是CD 中点，
AE AD DE ∴=+12
AB AD =+ 又BD AD AB =-，
1()2AE BD AB AD AD AB ⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪⎝⎭
221122AD AB AD AB =--⋅ 2222111||||0222222
AD AB =--⨯=-⨯=
【点睛】
本小题主要考查向量数量积的运算，考查利用基底表示向量，属于基础题.
16．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E 、F 为BC 的三等分点，若AB a =，AC b =，用a ，b 表示AD 、AE 、AF .
【答案】AD 1122a b =+，AE 2133a b =+，AF 1233
a b =+ 【解析】 分析：由题由AB a =，AC b =，求出BC ，再求出,,AD AB BD AE AB BE AF AB BF =+=+=+即可.
详解:△12AD AB BD AB BC =+=+ ()
111222a b a a b =+-=+; △13AE AB BE AB BC =+=+ ()
121333a b a a b =+-=+; △23AF AB BF AB BC =+=+ ()
212333a b a a b =+-=+. 点睛：本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义的应用问题，解题时应结合图形，是基础题目． 17．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且,AB a AD b ==.试用基底{},a b 表示,,,OA OB OC OD .
【答案】1122OA a b =--，1122OB a b =-，1122OC a b =+，1122
OD a b =-+. 【分析】
利用平面向量基本定理，结合平面向量加法减法的几何意义求解即可.
【详解】 1111,,()2222AC a b DB a b OA AC a b a b =+=-∴=-
=-+=--. 11111111;;22222222
OC AC a b OB DB a b OD OB a b ==+==-=-=-+. 所以1122OA a b =--，1122OB a b =-，1122OC a b =+，1122OD a b =-+. 【点睛】 本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量加法和减法的几何意义. 18．如图所示，梯形ABCD 中，AB △CD ，且2AB CD =，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB a =，AD b =，用a ，b 表示DC ，BC 和MN ．
【答案】12DC a =
；12BC a b =-+；MN 14
a b =- 【分析】 利用向量的加减运算、数乘运算化简、转化即可求解．
【详解】
解：由AB △CD ，且2AB CD =，△1122DC AB a ==． 1122
BC BA AD DC a b a a b =++=-++=-+． 11()22
MN MC CB BN DC BC BA =++=+-+
11112222
a a
b a ⎛⎫=⨯--+- ⎪⎝⎭14a b =-． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的加减法、数乘运算，属于容易题．。