人教A版高二数学必修四教案

人教A版高二数学必修四教案
【导语】着眼于眼前，不要沉迷于玩乐，不要沉迷于学习进步没有别*的痛苦中，进步是一个由量变到质变的过程，只有足够的量变才会有质变，沉迷于痛苦不会改变什么。

xx高二频道为你整理了《人教A版高二数学必修四教案》，希望对你有所帮助！
【篇一】
预习课本P103～105，思考并完成以下问题
(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？
(2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？
(3)向量数量积的性质有哪些？
(4)向量数量积的运算律有哪些？
[新知初探]
1．向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积：
条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cosθ
记法a·b＝|a||b|cosθ
(2)零向量与任一向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
[点睛](1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.
(2)数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． [点睛](1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成a·b|a|.
(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
3．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.
(4)cosθ＝a·b|a||b|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[点睛]对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即假设要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；假设两个非零向量的数量积为0，那么它们互相垂直．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[点睛](1)向量的数量积不满足消去律：假设a，b，c均为非零向量，且a·c ＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
[小试身手]
1．判断以下命题是否正确．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)
(1)两个向量的数量积仍然是向量．()
(2)假设a·b＝b·c，那么一定有a＝c.()
(3)假设a，b反向，那么a·b＝－|a||b|.()
(4)假设a·b＝0，那么a⊥b.()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2．假设|a|＝2，|b|＝12，a与b的夹角为60°，那么a·b＝()
2
答案：B
3．|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·15b＝－36，那么a与b的夹角为()
A．60°B．120°
C．135°D．150°
答案：B
4．a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3.
(1)假设θ＝135°，那么a·b＝________；
(2)假设a∥b，那么a·b＝________；
(3)假设a⊥b，那么a·b＝________.
答案：(1)－32(2)6或－6(3)0
向量数量积的运算
[典例](1)向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a ＋b)·
(a－2b)．
(2)如图，正三角形ABC的边长为2，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a. [解](1)①由得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法
运算．
[活学活用]
|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2
＝2×32＋5×3×4×－12－3×42＝－60.
与向量的模有关的问题
[典例](1)(浙江高考)e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.假设平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，那么|b|＝________.
(2)向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，那么|b|＝________. [解析](1)令e1与e2的夹角为θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝12.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，
从而|b|＝1cos30°＝233.
(2)∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos45°＝22|b|，
|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.
[答案](1)233(2)32
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [活学活用]
向量a，b满足|a|＝|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|.
解：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos60°
＝50＋2×5×5×12＝75，
∴|a＋b|＝53.
∵|a－b|2＝(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝|a|2＋|b|2－2a·b
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝25，
∴|a－b|＝5.
∵|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)
＝4|a|2＋|b|2＋4a·b
＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos60°＝175，
∴|2a＋b|＝57.
两个向量的夹角和垂直
题点一：求两向量的夹角
1．(重庆高考)非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，那么a与b 的夹角为()
解析：选C∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝2π3.
题点二：证明两向量垂直
2．向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．
证明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴a2＝b2.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
题点三：利用夹角和垂直求参数
3．a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，那么k的值为()
C．±32D．1
解析：选B∵3a＋2b与ka－b互相垂直，
∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∵a⊥b，∴a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
∴12k－18＝0，k＝32.
求向量a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此根底上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．
层级一学业水平达标
1．向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，那么a与b的夹角θ为() 解析：选C由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.
2．|b|＝3，a在b方向上的投影为32，那么a·b等于()
解析：选B设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ＝32，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.
3．|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，那么k的值为()
A．－6B．6
C．3D．－3
解析：选B∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，那么|a＋b|＝()
A．37B．13
解析：选C|a＋b|＝ a＋b 2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.
5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，那么四边形ABCD是()
A．矩形B．菱形
C．直角梯形D．等腰梯形
解析：选B∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
6．给出以下命题：
①假设a≠0，那么对任一非零向量b都有a·b≠0；
②假设a·b＝0，那么a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，那么a2＝b2.
其中，正确命题的序号是________．
解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．答案：③
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，那么(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋7e1·e2－2e22＝－6＋
7×cos60°－2＝－92.
答案：－92
8．假设|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，那么向量a与b的夹角为________．解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a 与b的
夹角．
解：因为|e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos60°＝12，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7，
且a·b＝－6e21＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋12＝－72，
所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－727×7＝－12，
所以a与b的夹角为120°.
10．|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.
∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.
层级二应试能力达标
1．|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为π3，那么向量m＝a－4b的模为() A．2B．23
C．6D．12
解析：选B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m|＝23.
2．在Rt△AB C中，C＝90°，AC＝4，那么·等于()
A．－16B．－8
C．8D．16
解析：选D法一：因为cosA＝ACAB，故·＝||·||cosA＝||2＝16，应选D.
法二：在上的投影为||cosA＝||，故·＝|cosA＝||2＝16，应选D.
3．向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，那么|a－b|＝()
C.5D．3
解析：选C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因为|a|＝1，|b|
＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，那么|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.
4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，那么·＝()
A．－3B．0
C．－1D．1
解析：选C·＝AB―→＋12AD―→·(－)
＝12·－||2＋12||2
＝12×2×2×cos60°－22＋12×22＝－1.
5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，假设|a|＝1，那么|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
那么c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如图，作＝＝a，
＝b，那么＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，那么|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．
解析：12a＋b·(2a－3b)＝a2＋12a·b－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－4＝0，解得|b|＝2(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝2×22＝1.
答案：21
7．非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.
(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，
∴a2－b2＝12，
即|a|2－|b|2＝12.
又|a|＝1，
∴|b|＝22.
∵a·b＝12，
∴|a|·|b|cosθ＝12，
∴cosθ＝22，
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝12，
∴|a－b|＝22.
8．设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，假设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得 2te1＋7e2 · e1＋te2 |2te1＋7e2|·|e1＋te2| 当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)人教A版高二数学必修四教案.。