神秘的黄金分割,曼妙的斐波纳契数列

植物的神秘数字
在中国，梅花有着类似的象征意义。民 间传说梅花五瓣代表着五福。民国把梅花 定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和， 具有敦五伦、重五常、敷五教的意义。但 是梅花有五枚花瓣并非独特，事实上，花 最常见的花瓣数目就是五枚，例如与梅同 属蔷薇科的其他物种，像桃、李、樱花、 杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。常见的 花瓣数还有：3枚，鸢尾花、百合花(看上 去6枚，实际上是两套3枚)；8枚，飞燕草； 13枚，瓜叶菊；向日葵的花瓣有的是21枚， 有的是34枚；雏菊的花瓣有的是34、55或 89枚。而其他数目花瓣的花则很少。
甲
乙
丙
一个有趣的实验：
心理学家测量了大家选出来的矩形 21
5
8 8
13
34 13
21
什么是“斐波纳契数列”
坐落在意大利比萨的 斐波纳契雕像
斐波纳契(1170-1240)是中世纪意大 利数学家，他也许是在生活在丢番图 (Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出的 数论学家。我们对他的生平知道得很少。 他出生在意大利那个后来因为伽里略做过 落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现 在那里还有他的一座雕像。他年轻是跟随 经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就是 由此而学习到了世界各地不同的算术体系。 在他最重要的著作《算盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度阿拉伯数码（包括0）及其演算法则。数 论方面他在丢番图方程和同余方程方面有 重要贡献。
在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对 兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子； 在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子； 在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的 雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；……如此这般计算 下去，兔子对数分别是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, ...看出规律了吗？
黄金分割与优选法
数学上最优化问题的解决方法大致分为两类： 间接最优化方法和直接最优化方法。间接最优化 方法是把研究对象用数学方程表示出来，再用数 学方法求最优解。但在许多情况下，对象本身处 理不清楚，间接最优化方法就无法使用，于是人 们就通过大量试验来寻找最优解。如何安排试验， 较快较省地求得最优解，这就是直接最优化方法。 如果将实验点定在区间的0.618左右，那么实验 的次数将大大减少。实验统计表明，对于一个因 素问题，用“0.618法”做16次实验，就可以取 得“对分法”做2500次试验所达的效果。20世 纪50、60年代华罗庚在全国推广“0.618法”， 在生产中获得大量应用，特别在工程设计方面应 用最多，成效最佳。

一个有趣的实验：
这四个矩形，哪一个看上去更 协调匀称？
甲
乙
丙
丁 這四個矩形看上去,
一个有趣的实验：
甲
乙
丙
丁 這四個矩形看上去, 哪一個最協調勻稱?
一个有趣的实验：
这四个矩形，哪一个看上去更 协调匀称？
甲
乙
丙
丁
這四個矩形看上去,哪一個最協
一个有趣的实验：
这三个矩形，哪一个看上去更 协调匀称？
生命的黄金分割
最有意味的是，在人的生命程序 DNA 分子中，也包含着“黄金分 割比”。它的每个双螺旋结构中都 是由长 34个埃与宽21个埃之比组 成的，当然34和21是斐波那契系 列中的数字，它们的比率为 1.6190476，非常接近黄金分割的 1.6180339。这是否说明黄金分割 律是比DNA中的遗传密码更基本 的东西？因为承载DNA的结构— —双螺旋结构——也遵循黄金分割 律。黄金分割律也许是我们的宇宙 的DNA中的遗传密码？
神秘的黄金分割 曼妙的斐波纳契数列
主讲人：北京市陈经纶中学 牟成梅
一些有趣的现象：
什么是黄金分割？
黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家 毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏 拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数 字的比例关系，即把一条线分为两部分， 此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长 段之比，其数值比为1.618 : 1或 1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全长与 短段的乘积。
什么是“斐波纳契数列”
斐波纳契是在解一道关于兔子繁殖的问题时，得出了这 个数列。假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在 长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子 产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此 这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对 兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔 子？
从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。
黄金分割与斐波纳契数列的关系
黄金数是方程 x2 x 的1 根 ，0 整理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程有：x 1 1 x
我们利用这个关系构造一个数列：
a1
1, an

1 1 an1
(n

2, n
N)
黄金分割与斐波纳契数列的关系
我们可以得到：
大自然里一些花草长出的枝条 也会出现斐波那契数，有一种 叫着“喷嚏麦”（Sneezewort 的直译，可能会像鲁迅指出的 闹“牛奶路”Mikyway的笑话， 希望懂植物学的读者赐以正确 的中文名）的花草，新的一枝 从叶腋长出，而另外的新枝又 从旧枝长出来，老枝条和新枝 条的数目的和就像那兔子问题 一样。
黄金分割哲学（黄金分割的启示）
从黄金分割率的美感中, 我领略出另一种韵味无 穷的人生哲学. 称其为0.618哲学, 或者更响亮一些, 黄金哲学. 它相仿于半半哲学: 平和, 稳健, 乐天知命. 可是, 它又多了一点儿向上, 一点儿进取, 超越了一 点儿平庸.
人生之旅, 说短亦短, 说长亦长. 在这个旅程上, 你要有事业, 有生活, 有朋友... 每每用黄金分割率来 度量, 你会有一种说不清道不尽的身心怡旷...
拿破仑兵败黄金分割
一代枭雄的拿破仑大帝可能怎么也不会 想到，他的命运会与0.618紧紧地联系在 一起。1812年6月，正是莫斯科一年中气 候最为凉爽宜人的夏季，在未能消灭俄军 有生力量的博罗金诺战役后，拿破仑于此 时率领着他的大军进入了莫斯科。这时的 他可是踌躇满志、不可一世。他并未意识 到，天才和运气此时也正从他身上一点点 地消失，他一生事业的顶峰和转折点正在 同时到来。后来，法军便在大雪纷扬、寒 风呼啸中灰溜溜地撤离了莫斯科。三个月 的胜利进军加上两个月的盛极而衰，从时 间轴上看，法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰 莫斯科城时，脚下正好就踩着黄金分割线。
建筑中的神秘数字
建筑中的神秘数字
建筑中的神秘数字
绘画艺术中的黄金分割
绘画艺术中的黄金分割
绘画艺术中的黄金分割
绘画艺术中的黄金分割
武器装备与黄金分割
当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它 的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方 便于抓握和瞄准。到了1918年，一个名叫阿尔 文·约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造， 改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合0.618 的比例。
黄金分割美的本质其实就是“和谐”！
黄金分割的计算
黄金分割点的作法
怎么样用直尺和圆规找出这一点来？ 过B点作一条直线垂直AB，然后在这直线上
取线段BD，使得BD的长是AB的一半，然后联 结AD。再以D为圆心，DB的长为半径画一个弧， 这弧交AD于E点，然后再以A为圆心，AE的长 为半径画弧，这弧交AB于C点，这C点就是所要 找的将AB黄金分割的点。（见图一）
植物的神秘数字
计算机绘制的斐波纳契螺旋
生命的神秘数字
动物界的神秘数字
人体的黄金分割点
人体的黄金分割点
面部的黄金分割
维纳斯的标准体型
芭蕾演员虽然 身材修长，但其 腰长与身高之比 平均约为0．58， 只有在翩翩起舞 时、踮起脚尖， 方能展现 0．618的魅力。
健康的黄金分割率
气温在人体正常体温 的黄金分割点上23℃ 左右时，恰是人的身心 最适度的温度；医学专 家也观察到，当人的脑 电波频率下限是8赫兹， 而上限是12.9赫兹，上 下限的比率接近于 0.618时，乃是身心最 具快乐欢愉之感的时刻。 正常人的心跳在心电图 上也显示出T波出现的 位置恰好大约是一次心 跳节拍的“黄金分割” 位置上（如图）。
黄金分割哲学
黄金分割的哲学之事业篇 黄金分割的哲学之交友篇 黄金分割的哲学之生活篇
结束语
林语堂在"生活的艺术"一文中, 隐喻地阐述了 黄金哲学的理想境界:"观测了中国的文学和哲 学之后, 我得到了一个结论: 中国文化的最高理 想人物, 是一个对人生有一种鉴于明慧悟性上的 达观者. 这种达观产生宽宏的怀抱. 能使人带着 温和的心情度过一生. 丢开功名利禄, 乐天知命 地生活. 这种达观也产生了自由意识, 放荡不羁 的爱好, 傲骨和谟然的态度. 一个人有了这种自 由的意识和淡泊的态度, 才能深切热烈地享受快 乐的人生".
123
a1 1, a2 2 , a3 3 , a4 5
a5

5 8
, a6

8 13
,
a7

13 , 21

这些数总在0.618左右，而且他们的分子、分母 都是相邻的斐波纳契数。
因此，往往我们在谈论“黄金分割”或“黄金 数”时，通常还包含“斐波纳契数列”或“斐波 纳契数”。
植物的神秘数字